파동방정식의 해는 어떤 파동의 형태인가요?
구면파(~1/r)의 경우는 해가 안되던데요. plane wave 가 아닌 형태중에 해가 되는 경우도 있구요.
파동방정식인데 어떤 파동은 해가되고 어떤 것은 해가 안되다니..
제가 잘못 푼것인가요? 좀 가르쳐 주세요.
어떤 파동 방정식을 썼는지 궁금하군요...
일반적인 파동 방정식은 시간에 대한 미분항을 포함합니다...
∂2U/∂x2 - 1/c2 ∂2U/∂t2 = 0
이런 파동 방정식의 해는 일정 속도로 진행하는 임의 모양의 함수가
해가 됩니다...
즉 f(kx-wt)의 꼴이 되지요...
그런데 monochromatic이라는 가정을 쓸경우...
(monochromatic 이라는 말은 시간적으로 단일 주파수를 갖는다는 말입니다...
예를 들면 파동함수의 시간 의존항이 exp(-iwt) 등으로 주어지는 경우입니다...)
시간에 대한 미분항이 제거되고 위치 만의 미분 방정식을 얻는데...
이런 위치 만의 미분으로 표현된 파동 방정식을...
"헬름홀츠 방정식"이라고 부릅니다.....
∂2U/∂x2 + k2 U = 0
아마도 구면파라는 말을 쓴 걸로 봐서...
이 헬름홀츠 방정식의 해를 찾는 것 같은데...
구면파 exp(ikr)/r 는 헬름홀츠 방정식의 해가 됩니다...
라플라시안을 계산할 때 구면 좌표계를 사용해 보세요...
그리고 파동 방정식은 파동이 가져야할 하나의 구속 조건입니다...
모든 모양의 함수가 다 해가 되는 것은 물론 아니지요...
또 파동 방정식 자체가 3차원에서 묘사 되기 때문에...
일반해를 구하는 것은 아주 어렵지요...
그러나 아주 단순한 평면파나 구면파 등의 선형 결합으로...
웬만한 경계에서의 일반해를 구할 수는 있답니다...