순수 상태니 혼합 상태니 하는 말은 "뭇입자계"에 대해 사용되는 말입니다.
쉽게 말하면 뭇입자계 즉 많은 수의 원자들이 모여 있는 경우
"모든 원자가 같은 상태"에 있다면 그 상태를 순수상태라고 부릅니다.
이 "같은 상태"라는 것이 에너지 고유 상태여도 좋고, 그런 에너지 고유 상태의
중첩(선형 결합)이어도 좋습니다. 다만 "모든 원자가 같은 상태"에 있는지 아닌지가
순수냐 혼합이냐를 결정합니다.
그것은 단순히 측정을 했느냐 하지 않았는냐 하는 문제로 구분지을 수는 없습니다.
예를 들면 "원자 하나"의 상태를 기술하는 경우 이 원자의 상태는 측정 전이든
측정 후이든 항상 순수 상태에 있다고 말할 수 있습니다. 측정 전 에너지 고유 상태의
중첩으로 있든, 측정 후 한 상태로 환원 되었든, 원자의 상태가 상태 "벡터"로서
언제든 표시될 수 있기 때문입니다.
측정과 관련해서는 다음과 같이 생각할 수 있습니다. 순수 상태에 있는 뭇입자를
생각합니다. 그 입자들이 모두 두 에너지 상태의 중첩상태에 있다고 합시다.
이렇게 순수 상태에 있는 입자들에 대해 측정을 행하면 각 입자들이 두 에너지 상태 중
하나를 선택합니다. 이 과정이 환원과정이고 환원이 일어나는 메카니즘은
그동안 해탈님이 조금씩 말씀해 주셨습니다. 어쨌든 환원에 의해 각 원자들이
두 에너지 상태중 하나를 선택해서 모든 원자들의 상태가 같지 않은 경우 혼합 상태가
되었다고 합니다. 즉 혼합 상태는 뭇 입자의 상태가 일부 서로 다른 상태에 있는 것입니다.
이렇게 혼합 상태에 있는 입자계는 밀도 연산자로만 표시될 수 있습니다.
물론 밀도 연산자는 혼합 상태 및 순수 상태 둘 다 표시할 수 있고요.
그리고 한 가지 용어 사용의 부적절한 부분에 대해 말씀드릴께요.
"degeneracy" 이란 용어는 축퇴라고 보통 해석하는데
어떤 연산자의 고유 공간(eigen space)의 차원이 1보다 큰 경우를 말합니다.
좀더 설명하자면 어떤 연산자에 대해 한 고유값을 주는 고유벡터들의 모임을
"고유 공간"이라고 합니다. 고유 공간도 벡터 공간을 형성하는데 이 벡터 공간의
차원이 바로 축퇴도가 됩니다. 자세한 내용은 선형대수 책을 참고 하세요.
>state가 시간에 따라 변하는 경우는 3가지가 있는것 같은데..
>1)H이 시간이 함수인 경우(아직 공부안해봤음 조만간 볼 예정)
>2)H의 고유상태가 아닐경우
>3)상태함수가 에너지기저에서 중첩됬을경우..
2)와 3)은 같은 경우로 보이네요. 그외에 측정(환원)에 의해서도 state는 변합니다.
물론 측정 과정 자체를 1)과 몇가지 기본 가정으로부터 유도할수 있다고도 합니다.
>이때 H의 고유함수가 아닌 경우는 구체적으로 어떤 현상이 있나요?
>음..솔직히 물리적으로 H의 고유함수가 아니다!란것도 잘 와닿지는 않습니다..
포톤을 흡수하거나 방출하는 동안 원자는 두 에너지 기저의 중첩에 놓이게 됩니다..
저는 솔직히 입자들이 자연 상태에서 왜 해밀토니안의 고유 상태 즉 에너지 고유상태에
더 많이 있게 되는지 그게 더 와 닿지 않아요. 슈뢰딩거 방정식의 일반해는 해밀토니안
연산자의 고유상태의 선형 결합으로써 표현되거든요. 그러니까 수학적으로는 수소 원자가
모든 상태의 중첩으로써 존재할 수 있어야 하는데, 현실적으로 수소원자는 각 에너지
고유 상태 중 한 상태에만 놓여 있으려고 합니다. 왜 일까요? 그게 더 궁금하지 않나요?
나에게 주어진 것이 슈뢰딩거 방정식 뿐이고 다른 여타의 구속 조건이 없다면 수소원자가
에너지 고유 상태보다 중첩 상태에 있어야 하는 것이 더 타당합니다.
어쨌든 현실적으로 원자는 에너지 고유 상태에 있기도 하고, 또 두 에너지 상태의 중첩으로
있기도 합니다. 다만 자연 상태에서 원자는 에너지 고유 상태에 있는 경우가 많으며,
중첩된 경우는 포톤을 흡수하거나 방출하는 동안만입니다. 이렇게 되는 현실적인 이유를
알기 위해서는 전자기장을 양자화(quantize)하여 포톤을 포함하는 해밀토니안을 세워서,
그리고 현재 해탈님이 잘 알고 계신 decoherence 과정도 포함해서 문제를 풀어야만합니다.
>그리고 위치나,운동량 연산자에 대응하는 ideal measurement 가 존재하는데..예를 들면
>위치연산자는 무한소 파장의 빛이겠고,운동량 연산자는 무한대 파장의 빛일테고...등등..
여기서 "ideal measurement" 라는 용어의 의미가 뭔지 잘 모르겠지만 제 생각을 말씀
드릴께요. 위치 측정을 했다고 칩시다. 환원되어서 입자의 파동함수가 델타함수가
됐겠죠? 위치 공간에서 델타 함수는 운동량 공간에서 무한히 넓게 퍼진 상수 함수가
됩니다. 이 경우 운동에너지 기대값을 계산해 보면 무한대가 나옵니다. 즉 위치 측정을
위해 무한대 에너지를 공급해 주었다는 말이 됩니다. 그러나 현시적으로 이는 불가능
합니다. 따라서 어떻게 실험하든 인간의 실험으로써는 파동함수를 델타함수로 만들 수 없고,
위치 측정의 고유함수가 되게할 수 (환원 시킬 수) 없습니다. 즉 위치 측정이라는 말은
현실적으로는 불가능한 것이기 때문에 ideal(이상적) 이라는 말을 쓴 것 같습니다. 맞나요?
운동량 측정도 마찬가지겠지요. 운동량의 고유 상태는 무한히 길게 펼쳐진 주기함수입니다.
이런 상태의 파동함수를 보관하려면 실험실의 크기가 무한해야 할거에요. 이런
현실적인 문제 때문에 위치나 운동량의 측정에서는 "ideal" 이라는 말을 붙이는 것 같습니다.
물론 여기까지 다 "ideal" 이란 말의 의미를 제 나름대로 생각한 것 뿐이에요.
>그럼 H연산자에 해당하는 ideal measurement 가 존재하나요??
>능동적으론 할수 없고 단지 에너지 스펙트럼의 결과를 보고 분석 하는것
>뿐인것 같은데..
>이상입니다..
위에 설명한 제 생각이 맞다면 "ideal"한 에너지 측정도 생각할 수 있는 거겠죠.
"ideal" 이란 말은 실제가 아닌 "이상적인(또는 가상의)" 측정이니까요.
그리고 현실적으로 원자의 에너지의 측정은 분명 에너지 스펙트럼의 결과를 보고
분석하는 게 맞는 것 같아요.
쉽게 말하면 뭇입자계 즉 많은 수의 원자들이 모여 있는 경우
"모든 원자가 같은 상태"에 있다면 그 상태를 순수상태라고 부릅니다.
이 "같은 상태"라는 것이 에너지 고유 상태여도 좋고, 그런 에너지 고유 상태의
중첩(선형 결합)이어도 좋습니다. 다만 "모든 원자가 같은 상태"에 있는지 아닌지가
순수냐 혼합이냐를 결정합니다.
그것은 단순히 측정을 했느냐 하지 않았는냐 하는 문제로 구분지을 수는 없습니다.
예를 들면 "원자 하나"의 상태를 기술하는 경우 이 원자의 상태는 측정 전이든
측정 후이든 항상 순수 상태에 있다고 말할 수 있습니다. 측정 전 에너지 고유 상태의
중첩으로 있든, 측정 후 한 상태로 환원 되었든, 원자의 상태가 상태 "벡터"로서
언제든 표시될 수 있기 때문입니다.
측정과 관련해서는 다음과 같이 생각할 수 있습니다. 순수 상태에 있는 뭇입자를
생각합니다. 그 입자들이 모두 두 에너지 상태의 중첩상태에 있다고 합시다.
이렇게 순수 상태에 있는 입자들에 대해 측정을 행하면 각 입자들이 두 에너지 상태 중
하나를 선택합니다. 이 과정이 환원과정이고 환원이 일어나는 메카니즘은
그동안 해탈님이 조금씩 말씀해 주셨습니다. 어쨌든 환원에 의해 각 원자들이
두 에너지 상태중 하나를 선택해서 모든 원자들의 상태가 같지 않은 경우 혼합 상태가
되었다고 합니다. 즉 혼합 상태는 뭇 입자의 상태가 일부 서로 다른 상태에 있는 것입니다.
이렇게 혼합 상태에 있는 입자계는 밀도 연산자로만 표시될 수 있습니다.
물론 밀도 연산자는 혼합 상태 및 순수 상태 둘 다 표시할 수 있고요.
그리고 한 가지 용어 사용의 부적절한 부분에 대해 말씀드릴께요.
"degeneracy" 이란 용어는 축퇴라고 보통 해석하는데
어떤 연산자의 고유 공간(eigen space)의 차원이 1보다 큰 경우를 말합니다.
좀더 설명하자면 어떤 연산자에 대해 한 고유값을 주는 고유벡터들의 모임을
"고유 공간"이라고 합니다. 고유 공간도 벡터 공간을 형성하는데 이 벡터 공간의
차원이 바로 축퇴도가 됩니다. 자세한 내용은 선형대수 책을 참고 하세요.
>state가 시간에 따라 변하는 경우는 3가지가 있는것 같은데..
>1)H이 시간이 함수인 경우(아직 공부안해봤음 조만간 볼 예정)
>2)H의 고유상태가 아닐경우
>3)상태함수가 에너지기저에서 중첩됬을경우..
2)와 3)은 같은 경우로 보이네요. 그외에 측정(환원)에 의해서도 state는 변합니다.
물론 측정 과정 자체를 1)과 몇가지 기본 가정으로부터 유도할수 있다고도 합니다.
>이때 H의 고유함수가 아닌 경우는 구체적으로 어떤 현상이 있나요?
>음..솔직히 물리적으로 H의 고유함수가 아니다!란것도 잘 와닿지는 않습니다..
포톤을 흡수하거나 방출하는 동안 원자는 두 에너지 기저의 중첩에 놓이게 됩니다..
저는 솔직히 입자들이 자연 상태에서 왜 해밀토니안의 고유 상태 즉 에너지 고유상태에
더 많이 있게 되는지 그게 더 와 닿지 않아요. 슈뢰딩거 방정식의 일반해는 해밀토니안
연산자의 고유상태의 선형 결합으로써 표현되거든요. 그러니까 수학적으로는 수소 원자가
모든 상태의 중첩으로써 존재할 수 있어야 하는데, 현실적으로 수소원자는 각 에너지
고유 상태 중 한 상태에만 놓여 있으려고 합니다. 왜 일까요? 그게 더 궁금하지 않나요?
나에게 주어진 것이 슈뢰딩거 방정식 뿐이고 다른 여타의 구속 조건이 없다면 수소원자가
에너지 고유 상태보다 중첩 상태에 있어야 하는 것이 더 타당합니다.
어쨌든 현실적으로 원자는 에너지 고유 상태에 있기도 하고, 또 두 에너지 상태의 중첩으로
있기도 합니다. 다만 자연 상태에서 원자는 에너지 고유 상태에 있는 경우가 많으며,
중첩된 경우는 포톤을 흡수하거나 방출하는 동안만입니다. 이렇게 되는 현실적인 이유를
알기 위해서는 전자기장을 양자화(quantize)하여 포톤을 포함하는 해밀토니안을 세워서,
그리고 현재 해탈님이 잘 알고 계신 decoherence 과정도 포함해서 문제를 풀어야만합니다.
>그리고 위치나,운동량 연산자에 대응하는 ideal measurement 가 존재하는데..예를 들면
>위치연산자는 무한소 파장의 빛이겠고,운동량 연산자는 무한대 파장의 빛일테고...등등..
여기서 "ideal measurement" 라는 용어의 의미가 뭔지 잘 모르겠지만 제 생각을 말씀
드릴께요. 위치 측정을 했다고 칩시다. 환원되어서 입자의 파동함수가 델타함수가
됐겠죠? 위치 공간에서 델타 함수는 운동량 공간에서 무한히 넓게 퍼진 상수 함수가
됩니다. 이 경우 운동에너지 기대값을 계산해 보면 무한대가 나옵니다. 즉 위치 측정을
위해 무한대 에너지를 공급해 주었다는 말이 됩니다. 그러나 현시적으로 이는 불가능
합니다. 따라서 어떻게 실험하든 인간의 실험으로써는 파동함수를 델타함수로 만들 수 없고,
위치 측정의 고유함수가 되게할 수 (환원 시킬 수) 없습니다. 즉 위치 측정이라는 말은
현실적으로는 불가능한 것이기 때문에 ideal(이상적) 이라는 말을 쓴 것 같습니다. 맞나요?
운동량 측정도 마찬가지겠지요. 운동량의 고유 상태는 무한히 길게 펼쳐진 주기함수입니다.
이런 상태의 파동함수를 보관하려면 실험실의 크기가 무한해야 할거에요. 이런
현실적인 문제 때문에 위치나 운동량의 측정에서는 "ideal" 이라는 말을 붙이는 것 같습니다.
물론 여기까지 다 "ideal" 이란 말의 의미를 제 나름대로 생각한 것 뿐이에요.
>그럼 H연산자에 해당하는 ideal measurement 가 존재하나요??
>능동적으론 할수 없고 단지 에너지 스펙트럼의 결과를 보고 분석 하는것
>뿐인것 같은데..
>이상입니다..
위에 설명한 제 생각이 맞다면 "ideal"한 에너지 측정도 생각할 수 있는 거겠죠.
"ideal" 이란 말은 실제가 아닌 "이상적인(또는 가상의)" 측정이니까요.
그리고 현실적으로 원자의 에너지의 측정은 분명 에너지 스펙트럼의 결과를 보고
분석하는 게 맞는 것 같아요.
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