수업 듣는 것도 포기하고 한 달간 몸으로 때워야해요... ㅠ.ㅜ
간략하게 제 의견을 말씀드리고 더 궁금한 것은 계속 질문을 던져 주세요...
다른 분들이 답해 주실 수 있을 거에요...
1. 한입자에 대한 상태 함수가 다음과 같이 주어집니다
g(x, t) = A∫G(k) exp i(kx-wt) dk
이것은 여러개의 plane wave가 중첩된 상황입니다.
2. 운동량을 측정하여 p_0라는 값을 얻었습니다
3. 다른 모든 plane wave는 사라지고 다음과 같이 한개의 plane wave로 환원 됩니다
< h_bar = h" 라고 표기하면>
g(x, t) = G (p_0/h") exp i{(p_0/h")x - wt}
4. 여기서 질문있습니다. G(k)는 p_0/h"에서 최대값을 가져야 하는데
그렇다면 측정할 때마다 G(k)가 그때 그때 결정 되는 건가요?
여기에는 약간의 문제가 있습니다..
위치나 운동량의 측정과 관련해서는...
양자 역학의 측정 및 환원 가정을 곧바로 적용하기 힘든 부분이 있습니다...
그것은 1회의 측정에 의해 고유값이 측정되고...
파동함수가 고유벡터로 환원되어야 하는데...
운동량 연산자의 고유벡터-exp(ikx)-는 제곱적분이 불가능하여...
물리적으로 실제적이지가 않습니다....
무한히 긴 파동을 보려면 무한히 큰 실험실이 필요합니다...
즉 우리의 실험실에서는 운동량 고유벡터로의 환원이 일어나지 않습니다...
위치의 측정도 마찬가지 입니다...
위치 연산자의 고유벡터는 델타함수인데..
이것도 제곱 적분이 불가능하며...
델타함수의 운동 에너지 기대값이 무한대이므로...
위치 고유벡터로 환원시키려면...
실험을 위해 무한대의 에너지를 공급해 주어야 합니다...
그래서 위치나 운동량의 측정에 있어서는....
양자역학의 환원 가정이 그대로 적용되는 측정이 현실적으로 불가능하며...
다만 근사적인 환원은 생각할 수 있습니다...
예를 들면 운동량의 측정에 의해...
파동함수가 exp(ik0x) 의 형태로 환원되지 않고...
∫G(k-k0) exp(ikx)dk (1)
의 형태로 환원된다고 보는 것입니다...
여기서 G(k-k0)는 k=k0 에서 최대값을 가지는 종(bell) 모양의 함수입니다...
그리고 관측되는 운동량의 실제 값은 ħk0 이라고 보는 것이지요...
지금 제시한 것은 근사적인 고유함수, 그리고 근사적인 고유값이라고 생각하면 됩니다...
측정을 위한 구체적인 실험 상황에 의해...
함수 G(k)의 모양이 결정된다고 생각할 수 있습니다...
정밀한 측정일수록 종모양이 홀쭉해진다고 보면 무리가 없을 겁니다...
좀 모호한 면이 있지요?
양자역학의 측정에 관한 이론은 아직 완전히 정립되지 않았기 때문에...
무어라 정확히 말씀드릴 수가 없어요...
교과서에 나오는 측정과 환원에 대한 내용은...
그 나름대로 중요한 의미를 가지고 있으며...
또한 지금의 논의와 같은 실제적인 문제를...
명쾌히 설명할 수 없는 부분이 있습니다...
위에서 말한 근사적인 고유함수, 근사적인 고유값에 의한 측정을 받아들인다면...
운동량 측정에 의해 파동 함수는 식 (1)의 근사적인 고유함수로 환원되고...
그 측정값은 함수 G(k)에 극값을 주는 k 값(또는 평균 k값)으로 측정됩니다...
그리고 이렇게 환원된 근사적인 고유함수는 다음 측정시까지...
∫G(k-k0) exp i(kx-wt)dk (2)
의 형태를 유지하게 되고 이 파묶음은....
군속도(group velocity) ħk0/m 로 진행합니다...
5. 이때 입자의 속도는 p_0/h" 에 대한 dw/dk의 값입니다.
예...
거시적인 입자는 위치와 속도가 잘 정의된 값을 가지지만...
슈뢰딩거 입자는 파동함수로 기술되기 때문에 그 움직임이 단순하지 않습니다..
파 묶음의 속도로써 파동의 움직임을 다 다 묘사할 수 없지만...
그것이 거시적인 입자의 속도를 나타낸다고 보는 데에는 무리가 없습니다...
6. 또 질문이 있습니다. dw/dk를 구하는 w(k)는 어떻게 주어지나요?
free particle의 경우 h"k²/(2m) 이라고 주어지던데..
이 분산방정식은 어떤 조건에 의해 결정되는지 궁금합니다.
분산 방정식은 파동방정식의 모양에 의해 결정됩니다...
w = ħk²/2m 이라는 분산 방정식은...
자유입자의 슈뢰딩거 방정식으로부터 나옵니다..
파동방정식을 푸는 과정을 잘 음미해 보면...
분산 방정식이 주는 물리적 의미를 알 수가 있습니다...
일반적으로 파동 방정식은 편미분 방정식으로써...
공간 미분과 시간 미분을 함께 포함하고 있습니다...
편미분 방정식을 푸는 일반적인 방법은 변수를 분리하는 것입니다...
예를 들면 ψ(x,t) = X(x)T(t) 의 형태로 놓고...
이를 미분 방정식에 대입하여 등호의 좌, 우편을 각각 한가지 변수만으로 정리합니다...
그러면 서로 독립인 각 변수로 이루어진 좌, 우변은 어떤 상수가 되어야만합니다...
이 상수를 도입하면 두개의 상미분 방정식을 얻을 수 있고...
이 두 상미분 방정식을 풀면 함수 X(x)와 T(t)를 구할 수 있습니다...
X(x)와 T(t) 각 함수 안에는 방금 도입한 상수가 변수로 포함되어 있습니다...
이 변수를 s라고 합시다. 그러면 s 값에 따라 무수히 많은 해들이 존재할 수 있습니다...
즉 공간 좌표를 독립 변수로 하는 상미분 방정식의 해들은 {Xs(x)},
시간 좌표를 독립 변수로 하는 상미분 방정식의 해들은 {Ts(t)} 가 됩니다...
만약 {Xs(x)} 와 {Ts(t)}가 각각 직교함수의 완전계를 형성하는 경우...
편미분 방정식의 일반해는 다음과 같은 모양으로써 표현될 수 있습니다...
ψ(x,t) = Σs Cs Xs(x) Ts(t) (3)
여기서 s 가 연속 변수일 경우 Σ는 ∫로 바뀌어야 합니다...
이것은 식 (3)의 모양으로 주어지는 함수가...
파동 방정식(편미분 방정식)을 만족하는 해 공간의 모든 영역을 채울 수 있다는 말입니다...
정리해 보면....
공간 미분과 시간 미분을 포함하는 파동 방정식의 해는 보통...
공간만의 함수와 시간만의 함수의 곱의 선형 결합으로써 구하여집니다...
선형 결합된 형태의 일반해는 변수 분리가 가능하지 않습니다...
변수 분리법으로 풀지만 최종 얻어지는 해는 변수 분리되지 않는 일반해입니다...
그리고 식 (3)에서 주의할 것이있는데...
공간만의 함수 Xs(x)와 시간 만의 함수 Ts(t)는...
매개변수 s에 의해 서로 연결되어 있다는 것입니다...
예를 들면 exp(ikx) 와 exp(-iwt)라는 두 함수의 곱이...
파동 방정식의 해가 될 수 있는데...
임의의 k와 임의의 w를 사용할 수가 없습니다...
공간만의 함수에서 k가 결정됬다면 이에 상응하는 시간만의 함수는...
w가 w=ħk²/2m 이어야만 합니다....
이런 구속 조건은 자유입자의 슈뢰딩거 방정식으로부터 나온 것입니다...
전자기파의 경우를 살펴 봅시다...
전자기 파동 방정식의 해도 exp(ikx) 와 exp(-iwt)의 곱으로 나타내어집니다...
이경우 공간만의 함수에서 k가 결정됬다면 이에 상응하는 시간만의 함수는...
w가 w=ck 이어야 합니다...
이런 구속조건이 바로 분산 관계식입니다...
구속조건이 없이 임의의 k와 임의의 w를 써서...
exp(ikx) 와 exp(-iwt)의 곱의 선형결합으로써 만들어지는 함수는...
x 와 t를 독립변수로 하는 2변수 함수의 벡터 공간을 모두 채울 수 있습니다...
이것은 임의의 2변수 함수이므로...
파동 방정식(편미분 방정식)을 만족하지 않을 수도 있는 것입니다...
결론적으로 이렇게 생각하면 될 것 같습니다...
만약 시각을 고정시키고 정지 화면으로 봤을 때...
공간적인 파동 함수의 모양이 exp(ikx) 라고 한다면...
(여기서는 k 값에 주목해야 합니다. 파동함수의 공간 모양을 결정하는 것이 k입니다.)
이 파동은 시간이 흐르는 동안 분산 관계식이 정해주는 진동수로 진동한다...
또는 분산 관계식이 정해주는 속도로 이동한다...
즉 공간 모양이 결정된 파동은 그 k 값에 의해 time evolution이 결정됩니다...
좀더 확장해서...
정지 화면에서 공간적인 파동 함수의 모양은 일반적으로 exp(ikx)의 꼴이 아닐 수 있습니다...
그럴 경우 푸리어 분석에 의해 exp(ikx)의 선형 결합으로 나타낼 수 있고...
일반적인 함수는 여러가지 k 값을 가지는 기본파들의 중첩으로 볼 수 있습니다...
각 기본파들의 time evolution은 알고 있기 때문에...
파동 방정식의 선형성을 이용하면 일반적인 모양의 파가...
시간에 따라 어떻게 진행해 나갈지 예측할 수 있습니다...
진공 중 전자기파의 파동방정식은...
분산 방정식이 w=ck 이기 때문에 모든 기본파들- {exp(ikx)} -의 위상 속도가 같습니다...
파묶음 속에 포함된 기본파들의 속도가 다 같기 때문에 퍼지는 일이 없습니다..
그런데 자유입자 슈뢰딩거 파동 방정식의 분산 방정식은 w=ħk²/2m 로 주어지고...
k 값에 따라 위상 속도가 다 달라서...
각 기본파들- {exp(ikx)} -이 각기 다른 속도로 움직이므로....
파묶음이 퍼지기도 하고 모아지기도 합니다...
7. 마지막으로 연속적으로 중첩된 상태함수의
envelope의 방정식은 구할수 없는지
궁금합니다.. .
envelope의 모양은 실험 상황에 의해 결정된다고 생각됩니다...
자유입자의 슈뢰딩거 파동방정식을 만족하는 해의 갯수는....
우리가 생각할 수 있는 envelope 함수의 갯수만큼 많기 때문에...
특정 조건이 주어지지 않는 한 구해질 수 없습니다...
다만 교과서 등에서 envelope의 모양을 가우시안으로 놓는 것은...
측정과 관련된 실제 상황에서 근사적으로라도...
그와 비슷한 모양일 것이라 생각할 수 있기 때문입니다...
딱히 가우시안이 아니더라도 파묶음의 움직임을 분석하는데는...
큰 차이를 주지 않는다는 말입니다...