양자역학에서는 어떤 한가지 물리량에 대한 고유 상태들은 서로를 포함안하기 때문에 벡터처럼 내적하면 0이 된다는 방법으로 기술합니다.
실험결과만 가지고도 양자역학의 특성을 일부 옅볼 수 있습니다.
선형편광을 실험해 보면, x축 편광된 빛은 y축 편광판을 통과못하므로, x축 편광된 빛 속에는 y축 편광된 빛이 없다는 것을 알 수 있고, 그 반대도 마찬가지이죠...
각각의 고유상태를 |x>와 |y> 로 표현할 수 있습니다.
둘의 내적은 <x|y> = 0 가 되죠...
참고로, 확률계산을 위해서 규격화를 하는데, <x|x> = <y|y> = 1 이라고 정합니다.
이번에는 x축과 45도 사이각을 갖는 편광된 빛을 각각 x편광판과 y편광판에 쏘아줍니다.
결과는 두 경우 50%만 투과한다는 것이 나옵니다.
|45˚> → [x 편광판] → 50% 통과, 상태는 |x>로 바뀜
|45˚> → [y 편광판] → 50% 통과, 상태는 |y>로 바뀜
양자역학에서는 실험으로 상태가 변질된다고 하지는 않습니다. 변질이 아니라 그 고유상태안에 다른 종류의 고유상태들이 포함되어 있다고 봅니다.
즉, 고유상태 |45˚> 안에는 50%의 |x>와 50%의 |y> 로 구성되어있다고 합니다.
|45˚>안에 |x>가 있을 확률을 구하려면, 내적을 한후 제곱을 해야 합니다.
확률(x) = |<x|45˚>|² = ½
마찬가지로
확률(y) = |<y|45˚>|² = ½
|45˚>의 상태를 x와 y의 고유상태들로 표현하면
|45˚> = (1/√2) |x> + (1/√2) |y>
가 됩니다. 45˚ 상태 안에 포함되지 않는 상태는 135˚ 상태이겠죠?!
|135˚> 역시 x와 y의 상태가 각각 50% 씩 발견됩니다. 그러나, 45˚ 편광판을 통과 못하니까
45˚와 135˚는 내적하면 0이 되어야 합니다.
<45˚|135˚> = 0
가장 쉽게 135˚ 상태를 결정하는 것은 |y> 상태에 (-) 부호를 붙여주는 거죠... 물론 이것은 임의성이 있습니다.
|135˚> = (1/√2) |x> - (1/√2) |y>
이번에는 원형편광을 실험해 봅니다. 전기장 벡터가 오른쪽으로 회전하는 상태를 |R> 상태라고 하고 왼쪽으로 회전하는 상태를 |L> 이라고 합시다.
두 상태를 각각 선형편광판에 통과 시키면
|R> → [x 편광판] → 50% 통과, 상태는 |x>로 바뀜
|L> → [y 편광판] → 50% 통과, 상태는 |y>로 바뀜
이것은 45˚ 상태와 결과가 같게 나옵니다. 그렇다면, 원형편광은 45˚나 135˚ 편광과 같다?
확인해 보려면, 45˚ 편광판을 통과 시켜 보면 됩니다. 실험결과는
|R> → [45˚ 편광판] → 50% 통과, 상태는 |45˚>로 바뀜
|L> → [135˚ 편광판] → 50% 통과, 상태는 |135˚>로 바뀜
이 실험결과로 원형편광은 45˚ 편광들과는 다른 고유상태라는 것을 알 수 있습니다.
그러나,
|R> ≠ (1/√2) |x> + (1/√2) |y>
이므로, |x>와 |y>의 조합을 다르게 해야 합니다. 그러나 구성 비율은 50%씩 해야 하니, 1/√2을 포기할 수는 없죠... 그래서 다른 대안이 바로 허수 i를 사용하는 것입니다. 편의상 |y> 상태 앞에 i를 붙여 놓죠...
원형편광상태를 x-y 편광상태로 표현하면
|R> = (1/√2) |x> + ( i /√2) |y>
|L> = (1/√2) |x> - ( i /√2) |y>
|R> → <R|로 바꾸는 규칙은 허수부분을 복소수 공액을 거는 것입니다. 즉, i → -i 로 바꾸는 거져
<R| = <x|(1/√2) + <y|( -i /√2)
|R> 과 |L>의 직교성을 테스트 해보면
<R|L> = ½<x|x> - ½ i <x|y> - ½ i <y|x> - ½ <y|y>
= ½<x|x> - ½ <y|y> = ½ - ½
∴ <R|L> = 0
물론, 45˚ 편광상태들과도 내적을 해보면
<45˚|R> = ( 1 + i ) / 2
확률은
|<45˚|R>|² = | 1 + i |² / 4 = ½
따라서, 원형편광까지 실험결과만 가지고 수학적 표현을 다 완성했습니다.
원형편광을 x-y편광으로 표현할 때 |y> 상태앞에 허수 i 를 붙였는데, 허수 i는 복소공간에서 위상이 90도를 뜻합니다.
|x>상태는 x축 전기장 진동에 대응되고 |y>상태는 y축 전기장 진동에 대응되죠...
고전 전자기학에서 원형편광을 만들때, x축 전기장 진동과 y축 전기장 진동의 위상차가 90도가 되게 합니다.
이것은 |R>과 |L> 이 원형편광에 대응된다는 것을 보여 주는 거죠...
이런 실험결과를 수학적 과정으로 표현할 때 실험결과가 검출효율로 인해 광자가 쪼개어지는 것을 놓쳐버렸을 지도 모른다고 하더라도,
검출된 결과(효율이 나빠도 결과는 50:50이므로) 만 가지고 이런 수학적 과정을 거치면
고전전자기학과 완전하게 대응되므로, 광자는 쪼개어지지 않는다고 할 수 있습니다.
고전물리에 대응된다는 것은 입자의 수가 많으면, 확률값의 비율로 거의 정확하게 분포를 한다는 것을 뜻합니다.
즉, 입자 수가 3개만으로 실험했고, 확률이 50:50이더라도 결과는 3:0 이 될 수도 2:1이 될 수도 있지만
입자 수를 3000000 개로 실험을 했다면, 거의 1500000 : 1500000 혹은 1498200 : 1501800 비율이 되어서 49.94% : 50.06 % 로 나온다는 거죠...
대응원리로 본다면 광자는 쪼개어지지 않는다고 할 수 있습니다.