1.행렬을 물리량으로 나타낸다고 하는데.......
슈뢰딩거 eq에서 연산자하고 비슷하게 생각하면 될까요?
거의 같다고 보면 됩니다. 모양만 다르지 대응관계는 일치하죠...
벡터 자체를 제곱한다고 치면 내적(?)해야하나요?;;
네 내적을 합니다.
그리구 벡터의 성분하나하나는 뭘 의미하는 건가요....?;;;;
벡터성분 중 0이 있으면 그 자리에 대응되는 파동함수가 없다는 것을 뜻하고 0이 아닌 수자가 있으면 그 숫자는 그 파동함수의 상태로 입자가 존재할 확률의 제곱근이 됩니다.
2.행렬역학에서 기대값은 어떻게 구하나요? 파동역학의 기대값과 비교하면....
(?)벡터*행렬*벡터...... 의 꼴로 나와야 하나요...?
(∫(공액복소함수*연산자*함수) dx 니....)
넹 맞아요.. 오홋
3.하이젠베르크 방정식이
dg/dt = -(2πi/h)*(gH-Hg) (g는 q와,p의 함수이면 뭐든지 됨.)
인데요.... 여기서 H와 g는 행렬인가요?
(생각해보면 당연한 말 같기도..;; 아니면 항상 0일테니..;;)
행렬이어도 되고 미분을 포함한 연산자 여도 되고 상관없습니다. 대응관계가 확실하니깐!
(행렬역학하고 파동역학하고 비교하는 게 가장 쉬운 방법 같내요......;;)
(행렬역학은 너무 추상적이어서 더 어려운 점이.....)
행렬역학은 측정한 데이타와 빈도수나 혹은 고유값이나 확률값만 자기고 계산하는 방식입니다. 파동역학은 미분연산자를 이용해서 파동함수를 직접 계산해서 하는 방식이고...
행렬역학은 결과만 가지고 계산하는 것이고 파동역학은 원인(?)까지 포함해서 하는 계산입니다.
따라서, 파동함수나 실험결과 없으면 행렬역학으로 할 수 있는 것은 아무것도 없죠...
하이젠베르그의 행렬역학은 아무것도 없는 과정에서 한 것은 아니고 전자기학의 전자의 운동을 푸리에 변환을 응용해서 만든 것입니다. 푸리에 변환에서 나오는 수식이 파동함수의 그것과 유사한 거죠...
4.
파동역학 ------------------ 행렬역학
연산자 --------------------- 행렬
함수 --------------------- 벡터
이렇게 놓으면요.......
하이젠베르크 방정식에서 고유값을 찾으면
크사이ξ 를 고유벡터라고 하고 그걸 찾는 식(H(P,Q)ξ = Wξ) 으로 된다고 하는데... 어떻게 (하이젠베르크방정식=>고유벡터 찾는 식) 이렇게 되는 거죠...?;;;
그렇게 되는 것이라기 보다는 그런 특수한 경우만을 골라내는 거죠...
행렬 A와 벡터 B 가 있을 때 일반적으로는
A B = C
가 됩니다. 그중에서
A B = a B
가 되는 벡터 B가 있겠죠... a는 단순 숫자이고.... 이런 특수한 벡터 B를 고유벡터라고 하고 a를 고유값이라고 합니다. 이렇게 되는 것이냐라는 질문은 좀 의미가 없겠죠??
5.
그리고 H(P,Q)ξ = Wξ 이 정상상태 슈뢰딩거 방정식( ^H( (h/2πi)*(d/dx), x )Φ=EΦ)하고 같다고 하면
만약에... 그러면 크사이ξ를 벡터라고 놓으면 파동함수 Ψ하고 같아지니까
Φ가 파동의 시간적 변화를 고려하지 않을 때의 공간적 성분이라고 하면.....
행렬역학은 슈뢰딩거방정식에서 Φ에 해당하는 것을 ξ로 구할텐데.....
해밀토니안이 시간의존하면 슈뢰딩거 eq에서
ψ에 해당하는 것을 행렬역학에서 어떻게 구하죠?
(슈뢰딩거 방정식을 ^Hψ=(-h/2πi)*(∂ψ/∂t) 로 쓰면 행렬역학에서 시간의존성있는 벡터를 못 구하므로(? => 이게 지금 모르는 내용..) ψ를 구할 수 있는 슈뢰딩거 방정식이 더 우위를 차지하나요? )
관계없어요... 시간에 따라 변화는 경우든 아닌 경우든...
시간의존인 경우는 벡터의 성분이 시간에 따라 변화하는 방법을 선택합니다.
6.
음 그런데요.... 디랙해석법은 행렬역학하고 파동역학을 모두 같은 테두리 안에서 표기할 수 있나요?
힐베르트(?) 공간은 디랙해석법에서 쓰이나요?
힐버트 공간은 미적분에서 선형미분 방정식에서 해들에 대한 특성을 공간에 비유해서 나온 개념이고요....
디랙해석법(?) 첨 듣네... 디렉표기법은 디렉이 파동역학(선형미분 방정식)과 행렬역학이 완전히 대응 됨을 알게 되어서 수학적 기호로 통일 시킨 기호표기법입니다.
디렉표기법은 파동함수 역학의 모습을 평상시에는 숨겨 놓고 행렬역학과 닮은 방식으로 표기하죠... 필요할 때 마다 적당한 조치를 취하면 디렉표기법에서 파동함수의 모양이 자동으로 튀어 나오게끔 합니다.
p.s.
쿨럭.....;; 너무 질문이 많아서 죄송해요....;; 서투른 마음이지만 양자가 재밌어지기 시작해서....;; 궁금한 게 너무 많네요...^^;;;
(양자를 보다가 해밀토니안이나 연산자나 행렬, 고유값,고유벡터,고유함수 같은 것들을 전보다 아주 많이 알게 되었어요....;; 수학에서 물리로의 접근만 시도하는 것보다는 물리에서 수학으로의 접근도 수학개념을 이해하는데는 괜찮은 시도인 것 같기도.... 솔직히 미분방정식 교재 같은 데에서 고유값이라고할 땐, 감이 잘 안오는데 슈뢰딩거방정식에서 양자에너지준위를 고유값이라고 하니... 확 와 닿는 듯한...)
상관없는 얘기 이겠지만... 디렉은 첨부터 물리학자는 아니였다고 합니다. 물리를 하다가 수학에는 없는 특성을 기술하기 위해 새로운 표기나 수학기호를 고안해 냈다고 합니다. 물리를 하다가 필요에 따라 수학을 만들어 낸 거죠 ㅋㅋ