유니타리 행렬의 특징은...
그전에 일반적인 특징 부터 보죠...
행렬 A에 벡터 ψ를 연산하면 새로운 벡터 φ가 됩니다.
φ = A ψ
근데 벡터 φ의 절대값 크기는 벡터 ψ의 절대값 크기와는 달라집니다.
φ†φ ≠ ψ†ψ
그러나 φ = U ψ 이면서 φ†φ = ψ†ψ 의 관계를 만족하는 행렬 U가 있다면 이 행렬을 유니타리한 성질을 가졌다고 합니다.
U†U = I
로 단위 행렬 I 가 됩니다.
유니터리 행렬이 필요로 한 이유는 유클리드 기하학의 벡터에서 처럼 변환을 위한 것입니다.
양자역학에서는 무수한 변환이 있는데 그중에서 가장 기본이 위치좌표에서 표현한 것을 운동량좌표공간으로 변환하는 것입니다.
이것을 디렉표기법을 응용하면 ψ(x) → φ(p)로 변환하는 푸리에 변환이 나옵니다.
이렇듯 같은 현상을 표기하는 방법이 여러가지가 가능하고 이것은 마치 유클리드 기하학에서 서로 다른 관성좌표계에서 반대편 좌표계로 변환하는 것에 대응합니다.
어떤 연산자의 행렬 A가 있다고 합시다. 이것을 b라는 힐버트공간에서 표현할 수도 있고 a라는 힐버트 공간에서 표현할 수도 있습니다. 행렬 A의 고유벡터로 이루어진 a 벡터들로 표현하면 대각행렬이 됩니다.
대각행렬성분은 그 연산자의 고유값들로 채워집니다.
이런 변환이 필요없을 것 같지만, 사실은 현실적인 문제에 속합니다.
(원래 변환은 실험에 따른 이론적 필요성에 의해 요구되는 경향이 강합니다)
예로...
스핀의 문제에서 Sz의 고유벡터인 스핀-업과 스핀-다운 두 상태를 먼저 골라 냅니다.
이 상태들을 이용하여 Sx를 측정해 보면.. 측정 결과치로 Sx의 행렬이 만들어 집니다.
그러면 이때 대각화를 하기 위해서는 Sx의 고유벡터를 Sz의 힐버트 공간에서 찾아야 하고 이 결과를 이용해서 유니터리 변환 행렬을 찾아 냅니다.
그러면, Sz의 힐버트 공간에서 표현된 이 Sx의 행렬은 유니터리 변환행렬로 Sx의 힐버트 공간에서 표현할 수 있게됩니다(대각화가 됨)
여기서 얻은 유니터리 행렬은 모든 Sz 기반의 행렬과 벡터를 Sx 기반으로 바꾸어 표현할 수 있게 됩니다.
유니터리 행렬의 특징으로 절대값 제곱 따위가 바뀌지 않으므로 확률이 바뀌지 않게 되는 것이고, 이것은 곧 물리 현상을 어떤 힐버트 공간에서 표현하든 물리적 실제 상황은 바뀔 수 없다는 특성에 충실하게 되는 것이죠.