Re:상태벡터의 성분은 무엇인가?

[antivirs]

1. 행렬 표현에서...

ψ_n = A_n sin nπx/L

로 표현했다면 이것은 하나의 벡터에 대응 되고, 벡터로 표현했을 때는 단지 1 입니다.

사인 함수 앞의 A_n은 벡터의 성분은 아니고 규격화한 상수 입니다.

따라서, 행렬표현을 쓰면

|ψn> =		0
		0
		0
		.
		.
		.
		1
		.
		.
		.
		0

n 번째 요소에 1 을 적으면 됩니다.

따라서, 임의의 벡터는 A_n으로 나열되는 것이 아니라 또다른 상수 C_n으로 나열되어야 하죠..

|ψ> =		C1
		C2
		C3
		.
		.
		.
		Cn
		.
		.
		.

그리고 헤밀토니안 안의 P와 X에 대해서는 실제적인 문제에서는 행렬표현을 잘 안씁니다. 것보다는 헤밀토니안의 행렬표현이 많이 쓰이죠... 가끔식, 분극현상의 경우(레이저라든지) 헤밀토니안 안에 X가 1차함수 형으로 들어간 경우에는 헤밀토니안의 일부로서 표현되죠..

운동량의 행렬표현은 거의 잘 안쓰는 것 같습니다.

2. 위치파동함수와 운동량 파동함수의 관계에서...

운동량파동함수 φ(p)로 표현하면, |φ(p)|² 는 p라는 운동량을 가질 확률밀도가 됩니다.

φ(p)로 일반적인 물리량의 기대값을 구할 수 있는지에 대한 답은... 푸리에 전개를 하면 알 수 있습니다.

φ(p) = <p|ψ> = ∫<p|x><x|ψ>dx

φ^*(p) = <ψ|p> = ∫<ψ|x><x|p>dx

어떤 물리량 A의 기대값은

<A> = ∫φ^*(p)Aφ(p)dp = ∫∫∫<p|x><x|ψ>A<ψ|x'><x'|p>dxdx'dp

      = ∫∫<x|ψ>A<ψ|x'>∫<x'|p><p|x>dpdxdx'

      = ∫∫<x|ψ>A<ψ|x'><x'|x>dxdx'

      = ∫∫<x|ψ>A<ψ|x'>δ(x' - x)dxdx'

      = ∫<x|ψ>A<ψ|x>dx

      = ∫ψ^*(x)Aψ(x)dx

가 됩니다.  결국은 ψ(x)로 구하는것과 같게 됩니다. 개념적으로 본다면, 모든 위치에 대해서 연산자 A의 적용을 받아서 다 더하는 것이나 모든 운동량에 대한 경우의 수를 다 따져서 연산자의 A의 기대값을 구하는 것이랑 다를게 없다는 것이죠...

3. 행렬표현은 () 안에 수자들을 행과 열을 따라 적는 것은 하나의 표현 방법일 뿐입니다.

또한 이 방법은 요소수가 적을 때 시각적으로 보기 좋아서 쓰는 것이죠...

수가 엄청나게 많거나 텐서와 같은 경우는 ()를 사용한 표현은 불가능합니다.

이럴 때 쓰는 표기법은 A_nm과 같은 첨자를 이용해서 몇번째 요소인지를 표현하죠...

텐서 같은 경우는 몇 차(?) 이냐에 따라 첨자 개수가 늘어 납니다.

2차 텐서는 보통의 행렬이라 A_nm 으로 쓰고

3차 텐서는 A_nml 로 첨자가 세개를 써서 표현합니다.

[antivirs]

임의의 함수를 고유함수로 전개가능하다는 것이 힐버트 공간의 특징인데요... 그 임의의 함수가 우연히 고유함수 중 하나가 될 수 있겠죠... 그때가 n 번째가 1 입니다.

[antivirs]

임의의 상태는 |ψ> = c1|ψ1> + c2|ψ2> + ... 이렇게 되고 Cn이 기여도, 즉, 그럴 확률에 비례하는 값이 됩니다.

[MrPsi]

흠.. jys34님이 헷갈려할만 합니다... 사실 [상태 벡터 = 어떤 행렬]로 쓰는 것은 엄밀하게는 맞지 않습니다... 상태 벡터를 행렬로 표현하려면 어떤 기저를 사용했다는 말을 해주어야 합니다.. 보통 자명한 경우 어떤 기저에서의 행렬 표현이라는 말을 하지 않게 됩니다...

[MrPsi]

제가 쓴 표현은 위치를 기저로 표현한 것이고요.. antivirs님은 에너지(해밀토니안) 고유벡터를 기저로 표현한 것입니다... 좀더 자세한 내용은 며칠 후에 올려 드릴께요.. 지금 급하게 계획서를 쓰는게 있어서...

[산들바람...]

규격화 하는 이유는요...확률을 다 더하면 1이 되어야 하기 때문에 1로 규격화 시켜주는겁니다.