티티우스-보데 법칙(Titius-Bode law)
티티우스-보데의 법칙이라고도 한다. 원래는 독일의 천문학자 J.D.티티우스가 1766년에 발견한 법칙인데, 1772년 베를린천문대의 J.E.보데가 세상에 소개하였다. 행성의 궤도반지름을 d라 하면, d=0.4 ＋(0.3×2^n)이라는 식에 n＝－∽, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …를 차례로 넣어서 생긴 [수열] 0.4, 0.7, 1, 1.6, 2.8, 5.2, 10, …이 수성, 금성, 지구, 화성, 소행성, 목성, 토성, …의 궤도반지름을 차례대로 나타낸다는 법칙이다. 이 법칙은 다음과 같이 [계차수열]을 응용하여 증명한다. 지구-태양간 거리를 1이라 할때, 각 행성과 태양과의 거리를 나타낸 표는 다음과같다.
수성 금성 지구 화성 소행성 목성 토성 천왕성
거리 0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10.0 19.6
행성간거리 0.3 0.3 0.6 1.2 2.4 4.8 9.6
이 표에서 보면 두 행성간 거리는 등비수열을 이루고 있습니다. 수성-금성간 거리인 0.3 을 제외하면, 금성-지구 부터 목성-토성은 모두 공비가 2이고 초항이 0.3인 [등비수열]이다. 계차수열의 일반항(n번째항)은 초항 + (다음항부터 n번째항까지의 합) 으로 구하는데 여기서는 금성-토성까지가 계차수열을 이루고 있다. 따라서 금성부터으로 토성까지의 '태양과의 거리'의 [일반항]은
An = 0.7 + (초항0.3 [공비]2인 등비수열의 합)
등비수열의 n항까지의 합 = 첫째항*((공비^n)-1)/(공비-1) 인데 여기에 공비=2, 첫항에 0.3을 넣으면
d(An) = 0.7 + 0.3(2^n-1) = 0.4 + 0.3*2^n
이 된다. 여기까지가 티티우스-보데법칙의 증명이고 n=-. n에 -무한대 를 넣으면 수성-태양간 거리가 나온다. 이 법칙은 지구와 태양간 거리를 1이라 할때 다른 행성과의 거리를 예측하고 있지만 아주 정확한건 아니다.
티티우스 보데 법칙을 발견할 시에는 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성의 위치만 알고 있었다. 따라서 화성-목성 사이에 천체가 있어야만 저 식이 완벽히 유도되는데 그렇지 않아서 이상하게 생각하던 중, n=6에 해당하는 궤도에서 천왕성이 발견되고 이 천왕성까지도 티티우스-보데법칙을 기막히게 들어맞았다. 이에 따라 천문학자들은 n=3위치의 행성을 찾기 시작했고 결국 발견된 행성이 소행성 [세레스]이고 비로소 이 법칙이 완성되었다. 하지만 [해왕성]과 [명왕성]은 이 법칙에 크게 벗어난다. 이후 n=3궤도에는 수많은 소행성들이 발견되었고 그 소행성들은 각기 다른 궤도로 태양 주위를 공전하고있다.