[고딩수학강의]로그 (logarithm) 1편

[F킬러]

 강의를 쓸 실력이 되는건지는 사실 의문이지만.ㅡㅡ 그냥 예시문 하나 제시 겸.. 이새벽을 하얗게 불태울 겸(Xnei님의 말을 인용하여..)

 *참고 기호 ^ 는 위첨자, _ 는 아래첨자다. 곱하기는 * 나누기는 / 로 표기하며 더하기와 빼기는 + - 이고 괄호는 [] 대괄호(혹은, 가우스기호를 뜻한다.) {}중괄호 () 소괄호 순이다. 알아서 보시길.(커헉;; 이런 무책임한..)

 다음부터 나오는 내용은 고등학교교과과정까지 내용이므로, 약간 틀린부분이나 빠진 부분이 있더라도 양해 바랍니당.

(1) 로그의 정의

 - 어떤 1 이 아니고 0보다 큰 실수 a와 실수 y에 대하여

 a^y = x 일때

 log_a (x) = y

 로 약속한다. 이때, a는 밑 이라고하며, x는 진수 라고 한다.

 또한 이를 a를 밑으로하는 x의 로그 는 y 라고 읽는다. (정식으로) 혹은, 약식으로 로그 a의 x 는 y라고 읽기도 한다.

 ex) 2^2 = 4 따라서 log₂4 = 2

 - 진수 x에 관하여..

 1이 아니고 0보다 큰 실수를 거듭제곱하여 나타난 수는 항상 0 보다 크다. (증명.. 본인의 실력으로 무리라고 판단, 연습문제로 맡겨둔다.)

 따라서, x의 범위는 0보다 큰 실수가 된다.

 - 밑 a에 관하여..

 a가 1 인경우는 로그를 정의하지 않는다. 그 이유는 1은 아무리 거듭제곱을 시행하여도 그대로 1 이기 때문에 의미를 가질 수 없기 때문이다.

(2) 표기가 특별한 로그

 - 밑이 10 인경우 log_10 (x) 에서 밑 표기를 생략하여 log (x) 로 나타내기도 한다. 이를 상용로그 라 부르며, 10진법에서 수의 크기(자리수) 판별, 근사값 구하기 등에 사용한다.

 ex) log 100 = 2

 - 밑이 e(오일러의 수.) 인 경우 log_e (x) 에서 e를 생략하고 log의 형태를 바꾸어 ln (x) 라고 표기한다. 이는 특별히 자연로그라고 부르며 함수로서 정의된 로그에서 가지는 많은 특성때문에 자주 등장한다.

 간혹, 오래된 책자의 경우 상용로그의 표기를 버리고 log를 자연로그로 쓰기도 하므로, 상용로그가 나올 일이 없는데 log표기가 나왔다고 한다면 자연로그인지 의심해보기 바란다.

 ex) ln e^2 = 2

(3) 로그가 가지는 특징

 로그로 나타내어진 수는 다음과 같은 성질을 가진다. (a>0 , a≠1 ,x>0, y>0)

 ⓐ log_a 1 = 0 , log_a a = 1

 pf)

 a^0 = 1 따라서 log_a 1 =0

 a^1 = a 따라서 log_a a =1

 ⓑlog_a xy = log_a x + log_a y

 pf)

  log_a x = d 라고 하자. 로그의 정의에 따라 a^d = x

  log_a y = e ‥‥ a^e = y

 따라서 x*y = a^(d+e) 이고 로그의 정의에 따라 log_a xy = d+e

 한편 log_a x = d이고 log_a y = e이므로

 log_a xy = log_a x + log_a y

 ⓒlog_a x/y = log_a x - log_a y

 pf)

 연습문제.ㅡㅡ

 ⓓlog_a (x^n) = n log_a x (단, n은 실수.)

 pf)

 log_a x = p 라고 하면 로그의 정의에 따라 a^p = x

 양변을 n승하면

 (a^p)^n = a^np =x^n

 로그의 정의에 따라

 log_a (x^n) = np

 한편, log_a x = p이므로

 log_a (x^n) = n log_a x

(4) 연습문제 (드디어..ㅡㅡ+ 남은거 다 연습문제 캬캬캬캬)

 ⓐ 1이 아니고 0보다 큰 실수를 거듭제곱하여 나타난 수는 항상 0 보다 크다. 를 증명, 혹은 치밀히 생각하시오.(이문제는 필자가 답이 없음.ㅡㅡ; 지원바람..ㅡㅜ)

 ⓑ (3)-ⓒ를 증명하시오.

 ⓒ a≠1, a>0, c≠1, c>0, b>0 일때, log_a b = (log_c b)/(log_c a) 임을 증명하시오.

 ⓓ a≠1, a>0, c≠1, c>0 일때, log_c a = 1/(log_a c)임을 증명하시오.

 ⓔ a≠1, a>0, b>0 일때, log_(a^m) (b^n) = (n/m) log_a b (단 m, n은 실수) 를 증명하시오.

 ⓕ a>0, b>0, b≠1, c>0 일때, a^(log_b c) = c^(log_b a) 를 증명하시오.

 이상입니다. ^_^

 연습문제는..ㅡㅡ 요청이 있을때부터 작성하도록 하겠습니다. (제발 없어라..ㅜㅜ)

 다음시간에는 상용로그. (음.. 과연..;; 다음시간까지 계속 쓸 수 있을지..ㅡㅡ;)

[ㅇ하하]

a번문제. x^n=y의 그래프에서 x>0이면 y>0. 더 엄밀히 하려면 미분을 하세요...

[F킬러]

크흘... 철저히 대수적으로 접근하려고 노력한건뎅..ㅜㅜ 그냥 이런 접근법도 있다는 것을..^_^

[소멸주]

ㅎㅎ 죄송 합니다만...... 연습문제 내주삼. 그리고 제 건의를 들어 주셔서 ㄳ. 공부 열쉼히 할게요

[꼬마 연금술사(과학자)]

역시 12살의 머리로는 이해자채가 불가능 한건가? 내년안에 중학생 수학배우겠다(퇴학... 당했다.)

[1차원수사대]

음.. 요즘 학원에서 배우는데 이해는 되지만 역시 햇갈려요 좋은글 감사합니다