[수리물리]르장드르 변환(Legendre transformation)

[캐슬실버]

라그랑지안에서 해밀토니안 유도 할때, 열역학에서 프리에너지 등을 얻을 때 쓰이는 르장드르 변환에 대해서 소개 하겠습니다.

수식이 있어서 한글 파일로 정리 후 그림파일로 올립니다.

오늘은 일단 수학적인 내용만 적었고 물리에 적용하는건 다음주에 올리겠습니다.^^

(조금씩 해야지 의욕만 앞서면 하다가 부담되서 안하게 됨...;;)

잘못된 부분등 코멘트 해주시면 수정반영 하도록 하겠습니다^^

코멘트가 없으면(수정할 부분 없으면) 나중에 한글 파일도 같이 올려 놓겠습니다.

[바운스K]

캐슬실버 일주일도 저렇게 올릴라면 일이죠;; 천천히 스트레스 안받게 하셔요~^^

[바운스K]

이 변환의 주 목적은 특정 함수(산출하기 원하는 물리량)를 내가 원하는 변수(측정가능하거나 예측 가능한 물리량)의 함수로 만드는데 있는거죠?

[캐슬실버]

넵ㅋ 함수의 변수를 원하는 변수로 바꾸는 변환입니다.
사실 함수f와 함수g는 물리적으로 동일하다고 보시면 돼요.
라그랑지안에 계의 정보가 들어있다면 해밀토니안에도 마찬가지로 똑같은 정보가 들어 있는 것 처럼요!
하지만 바꾸고 싶은 변수 u가 f(x,y)를 y로 미분한 형태여야 해요. 그래서 한계가 있죠.ㅎㅎ
원하는 변수로 항상 바꿔주는 만능 방법이 아님ㅡㅡ;
쉬운 예를들어 운동에너지 K(v)=mv^2/2 와 K(p) = p^2/2m
는 르장드르 변환관계가 아닙니다.

[캐슬실버]

다시 보니깐 운동에너지 K(v)=mv^2/2 와 K(p) = p^2/2m
는 르장드르 변환관계 맞네요ㅋㅋ;;

K(v)를 v로 미분하면 mv 가 되고 이걸 p라고 할때 K(p)로 바꾸기 위해선 르장드르 변환을 하면 됩니다.
즉, K(p) = vp - K(v) 를 계산하면 됩니다. 계산해보면 vp - mv^2/2 = p^2/m - p^2/2m = p^2/2m
로 나오네요...
(사실 이렇게 간단한 경우는 p=mv 를 중딩 수준으로 대입하면 됩니다-_-;;)
지금 보인 예는 르장드르 변환의 가장 간단한 예인거 같습니다.(여태껏 이걸 르장드르 변환이라고 말해주는 사람이 한명도 없었음 ㅡㅡ;; 중딩수준으로 하면 되는데 괜히 어렵게 할 필요 없어서 그런가 봅니다.)

[바운스K]

캐슬실버 오 완전 좋은 예인데요