존재양화사
Existential Quantifier 存在量化
존재양화사(存在量化詞)는 어떤 것이 존재한다는 것을 논리기호로 표시하는 수량사다. 여기서 말하는 존재는 구체적으로 실재하는 것이고 양화사는 어떤 것의 크기나 양을 표시하는 것이다. 존재양화사는 양화된 존재, 즉 양으로 표시할 수 있는 대상이므로 어떤 개체가 최소한 하나 이상 존재한다는 것을 함의한다. 논리학 특히 술어논리에서는 양 자체보다 존재한다는 사실을 중시한다. 그때 필요한 수와 양을 한정하는 양화사는 어떤 것의 크기와 양을 나타내는 표현이다. ①양(quantity)은 세거나 잴 수 있는 분량이나 수량이고, ②양화(quantification)는 어떤 것을 크기와 수량으로 표시하는 것이며, ③사(詞)는 문법적 품사이다. 술어논리에서는 보편양화사와 존재양화사를 구분한다. 보편양화사(universal quantifier)는 어떤 것인 존재의 보편을 지칭하는 수적인 개념이다. 보편양화사는 어떤 집합 전체를 양적으로 한정하는 양화사다.
존재양화사는 어떤 것의 존재를 지칭하는 수적인 개념이다. 이것은 어떤 개체가 최소한 하나 이상 존재한다는 것을 함의한다. ‘어떤’이라는 양화사는 ∃(x)로 쓰고 그 함수를 ∃(x)f(x)와 같은 논리기호로 표기한다. 존재양화사에는 ‘어떤(some), 약간(some), 어는 것도(any), 하나라도(at least one)’ 등이 있다. 존재양화사는 ‘어떤 것이 존재한다(there exists, there is)’는 문장으로 표기할 수 있다. 어떤 것의 존재는 명제논리에서 주어(S) + 술어(P)로 표기된다. 반면 프레게와 타르스키가 고안한 1차 술어논리에서는 이렇게 표기한다.
어떤 x가 있고, 그 x는 S이며, x는 P다.
there is some x such that x is S and x is P
술어논리의 특징은 명제논리에서 주어로 여겨지는 것을 술어로 만드는 것이다. 그래서 ‘S는 P다’는 ‘어떤 x가 있고, 그 x는 S이고 그리고 x는 P다’로 표기한다. 가령 ‘사과(S)’ ‘는 맛있다(P)’는 ‘어떤 사과가 있고, 그 사과는 맛있다’가 된다. 이것은 ‘①x가 존재한다’는 존재함의와 ‘②x는 맛있다’는 의미의 두 가지 명제로 구성되어 있다. 이런 방법으로 ‘존재(x)가 존재한다’는 것을 구체적이고 객관적으로 기호화할 수 있다. 술어논리는 ‘∃(x)f(x)’에서 보듯이 ‘어떤 것이 존재한다’가 아니라 ‘존재한다, 어떤 것이’로 존재를 우선한다. ‘사과는 맛있다’ 역시 ‘맛있다(D), 어떤 것이(x)’로 존재를 우선한다. 이것을 논리식으로 표기하면 ∃(x)[A(x)&D(x)]다. 여기서 중요한 것은 정의역으로 불리는 논항(domain of discourse)이다. 논항 즉 논의영역은 논의의 대상이 되는 것들의 집합이다. 술어논리에서 논항은 양화사가 다루는 개체의 집합이다.
논항을 수의 명제로 표기해보자. 어떤 명제 ∃(x)f(x)에서 ‘4 이하의 양의 정수 중 x2>10을 만족하는 x는?’ 이 x의 자리에 들어갈 수 있는 양의 정수는 1, 2, 3, 4의 네 수다. 그런데 1, 2, 3은 조건에 맞지 않는다. 주어진 조건은 10보다 큰 수이므로 4만이 x의 자리에 들어갈 수 있다. 물론 논항 (x)를 만족하는 양의 정수가 없고 공집합인 조건도 있을 수 있다. 일반적으로 ‘어떤 x’를 의미하는 논리식 ∃(x)는 최소한 하나 이상의 x가 존재한다는 것을 함의하고 있다. 이것을 존재함의 또는 존재함축이라고 한다. 사실 ‘모든(all)’을 의미하는 보편양화사도 존재를 함축한다. 가령 ‘모든 사과는 맛있다’에서 ‘모든’이 속박하는 논항인 사과(x)를 개체의 집합으로 본다면 존재를 함축하는 것이고, 사과(x)를 개념으로 본다면 존재를 함축하지 않는 것이다. 그런데 ‘이 법을 어기는 모든 사람은 처벌받는다’에서 보듯이 ‘모든’이 공집합일 수 있기 때문에 ‘모든’을 존재함축이라고 하지 않고 보편양화사라고 하는 것이다.
존재양화사는 논항을 속박한다. 이것을 속박변항(bound variable)이라고 한다. 속박되지 않은 변항은 자유변항(free variable)이다. 그런데 속박되는 변항의 범위에 관해서는 이견이 있다. 가령 다음 문장의 속박 범위는 다르다.
①모든 사과가 맛있는 것은 아니다.(Not all apples are delicious)
②어떤 사과는 맛있다.(Some apples are delicious)
‘①모든 사과가 맛있는 것은 아니다’의 ‘모든’은 특칭부정명제로 ‘어떤’의 의미다. 그러므로 그 뜻은 ‘어떤 사과는 맛있는 것은 아니다. 즉, 어떤 사과는 맛이 없다’이다. 한편 ‘②어떤 사과는 맛있다’는 특칭긍정명제로 맛있는 사과의 집합을 속박한다. 두 명제는 반대관계이므로 참과 거짓을 판정할 때는 진위를 따져보아야 한다. (김승환)
*참고문헌 Andrzej Mostowski, “On a generalization of quantifiers”, Fundamenta Mathematicae Vol. 44, No. 1, 12-36, (1957).
*참조 <기술이론[러셀]>, <기술이론과 존재>, <논리실증주의>, <명제>, <보편양화사>, <분석철학>, <빈이름/실체 없는 이름>, <술어논리>, <양화사>, <언어철학>, <지칭구>, <진리의미론[타르스키]>, <집합>
