[복소 해석학]분수꼴인 함수의 한점에서 테일러 급수 질문입니다

[ronz]

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이런 문제는 어떻게 해결해야하나요? 

4번에서 (z-z_0) 의 거듭제곱에 관한 식으로 정리해야하는데, 테일러급수의 계수를 어떻게 넣어야할지 모르겠습니다. 

f(z) 를 1+z+z^2+ z^3+... 식으로 정리해도 잘 안되네요  

[두리마루]

4번에서 1/(1-z)라는 closed form은 z^n의 합으로 나타내어집니다. 이를 참고하여 (z-z0)^k꼴이 나타나게끔 하려면 약간의 식 조작이 필요할 것입니다. 1/(1-z)=1/((1-z0)-(z-z0)) 고려해보시면 될 것 같습니다.

그리고 10번 문제 같은 경우는 두 급수의 중심이 모두 0또는 1이 아니므로 부분분수 분해를 고려하면 되겠습니다. 부지런히 계산하면 1/z^2+1/z+1/(1-z)가 나오게 됩니다. 이를 이용해서 계산을 진행해 봅시다. 우리가 원하는 건 (z-2)^n꼴이나 (z-i)^n꼴입니다. 하나만 계산해보도록 하지요.

(1) 1/z^2... 분모에 1차 인수가 아닌 2차 인수가 있네요? 이 아이는 항별 미분을 적용하는 것을 고려해보는 게 좋을 듯합니다. 1/(2-(z-2))=1/(2(1-(z-2)/2))으로부터 우리는 1/2*((z-2)/2)^n꼴의 일반항에 대한 무한급수를 얻게 되고, 항별 미분을 적용하면 이는 1/z^2의 z=2 중심으로 한 급수 전개
(2) 두번째 항은 (1)보다 수월하게 해내실 것 같습니다.
(3) 세번째 항은 1/(-(z-2)-1)=-1/(1+(z-2))으로 변형한 후 계산하면 되겠습니다.

[신선물고기]

고마워요~!