[위상 수학]동치관계 상위상 문제 질문입니다.

[모르겠어요]

동치관계에 주어진 상위상 문제 풀 때 위상동형사상 잡을 수 있을 것 같으면

1. 함수 f가 동치관계랑 동일하게 기능? 한다

2. 함수 f는 전사연속

3. 함수 f가 개사상 또는 폐사상

위의 세 가지만 보이면 되나요?

그랬을 때 아래 문제는 이렇게 풀어도 되는거 맞을까요?

이렇게 풀어도 될까요? 그리고 개사상 조건 보이는게 좀 애매한데 뭐라고 서술했으면 더 좋았을까요?

[심대원]

1번에서 동치관계와 동일하게 기능한다는 것이 무슨 말인지 잘 모르겠습니다.

위상동형을 보일 때는 전사함수가 아니라 전단사함수임을 보여야 합니다. (연속, 개사상은 맞습니다)

2번에서 다항함수의 일차결합이므로 전사함수란 말은 맞지 않습니다. (예를들어 x^2 + y^2은 전사함수가 아닙니다)

3번에서 g는 정의역이 X인 함수이므로 X에서 열린집합의 상이 [-1,1]에서 열린집합임을 보여야 합니다. (X는 (a,b) × (c,d)를 기저로 하는 위상을 가지므로 상이 열린집합임을 확인할 수 있습니다.)

g는 정의역이 X이므로 Y와의 위상동형을 증명하기 위해서는 설명이 더 필요할듯합니다.

[모르겠어요]

제가 g를 위상동형 사상이 아니라 사진의 정리를 만족하는 전사연속인 상함수?를 찾으려고 했던 것 같습니다.
혹시 이 정리를 이용해서 문제를 풀려고 했는데 위 문제 조건에 g가 부합한다고 할 수 있을까요

그리고 이 정리에 따랐을 때 제가 찾은 g가 정리의 조건을 만족한다면 g자체가 위상동형사상이 바로 되는건가요?
아니면 자연사상을 따로 합성해주어야 위상동형사상이 되는건가요?

[심대원]

네 이 정리를 사용하시면 괜찮습니다. 단, 3번은 첫 번째 답글이 유효합니다. (본문처럼 열린 구간의 역상으로 열린사상을 보일 수 없습니다)

g는 위상동형사상이 아닙니다. 첫 답글의 마지막이 그 의미이구요, 첨부한 정리에서도 f가 아니라 f 위에 ~가 붙어 있습니다. f를 통해 유도되는 사상입니다. 문제에서 본다면 g에 자연사상을 합성하는 것이 아니라 위상동형사상이랑 자연사상을 합성하면 g가 됩니다.

[모르겠어요]

답변 감사합니다.