오일러 공식

[귀뚜라미]

지난 오늘의 과학의 글(자연상수 e, 2010.03.23)에서 e의 출신에 대해서 설명하였다. 지난 글의 설명은 물리학자 리처드 파인만(Richard Feynman)의 강의를 일부 참고했는데, 파인만이 물리학 강의 도중 e^t 1+t를 설명한 것은 다음 오일러 공식을 설명하기 위해서였다.

물리의 대가가 따로 설명을 붙일 만큼 수학∙공학∙물리학 등에 중요한 공식이다. 그렇다면 오일러 공식은 어떻게 증명할까? 미분이나, 멱급수 이론 등을 쓰면 오일러 공식을 쉽게 증명할 수 있고, 수많은 교재와 웹사이트에서는 그렇게 설명하고 있다. 하지만, 복소수 함수의 미적분학을 알아야 한다거나, 멱급수나 미분방정식을 알아야 한다면 어쩐지 너무 먼 세상의 얘기가 돼 버린다. 더구나 왜 그런 공식이 나오는지 선뜻 와 닿지는 않는다는 단점도 있다. 필자는 오일러 공식을 어떻게 설명해야 할지 궁리하다가 미적분학을 쓰지 않고도 이해할 방법을 발견하였기에 이 자리를 빌려 공개하고자 한다.

복소수 지수는 무엇일까?

e의 출신의 글에서 제곱근 계산을 몇 번 반복하여, 지수함수의 다른 표현을 얻은 바 있다.

왜 이식을 다시 꺼내 든 걸까? 예를 들어 e³⁺²ⁱ와 같은 복소수 지수를 어떻게 정의해야 잘했다고 동네방네 소문이 날까 궁리해 본 사람이라면, 눈이 번쩍 뜨일만하다. 위의 식에서 오른쪽 변에는 t 대신 복소수를 대입할 수 있기 때문이다! 예를 들어 e³⁺²ⁱ의 경우, n=2, 3, 4, 5, … 키워나가면서 다음을 생각하고, 이 수들이 접근해 가는 값으로 정의하자는 생각이 들면 성공이다.

실제로 항상 수렴한다는 것을 증명할 수 있기 때문에 (아래 설명을 보면 어떻게 증명하는지 짐작할 수 있다) 복소수 지수를 정의하는 데 성공했다!

마음 급한 사람은 e³⁺²ⁱ를 실제로 계산해보기 시작했을지도 모른다. 적극 추천한다. 계산을 열심히 해봐야 감이 생기고, 조금 뒤에 설명할 방법이 얼마나 고마운 방법인지 실감할 수 있기 때문이다. 한편으로는 복소수 지수를 극한으로 정의해야 한다는 데 대해 석연치 않은 느낌이 드는 사람도 있을 것 같다. 이제 무턱대고 계산하지 않고도 복소수의 곱과 거듭제곱을 조금 쉽게(?) 구하는 방법을 소개하려고 한다.

복소수의 극형식

복소수 a+bi를 복소 평면에 나타낸 뒤, 원점과의 거리를 r이라 하고, x축의 양의 방향으로부터 잰 각을 θ라 하면 (세타, theta라고 읽는다), 다음처럼 쓸 수 있다. 복소수를 이런 식으로 표현한 것을 ‘극형식’으로 표현했다고 말한다. 복소수를 쉽게 곱하는 방법을 가르쳐 준다고 해놓고, 보기만 해도 어려운 삼각함수를 들이대는 배신을 했다며 떨떠름해할 사람도 있겠다. 조금만 기다리면 광명이 찾아온다.

복소수 a+bi와 c+di를 곱하면 (ac-bd)+(ad+bc)i이다. 실제 복소수를 곱하려면, ac, bd, ad, bc를 계산하며 곱셈을 네 번 해야 하고, ac - bd를 계산하며 뺄셈을 한 번, ad + bc를 계산하며 덧셈을 한 번 모두 여섯 번의 연산을 해야 한다. 이제 극형식으로 표현한 복소수 r(cosα+isinα)와 s(cosβ+isinβ)를 곱해보면 다음과 같다.

위의 식에 삼각함수의 덧셈 정리를 적용해보자. 예전에 호도법을 설명할 때 설명한 바 있는데, 여기서 사용할 삼각함수의 덧셈정리는 아래와 같다.

이제 덧셈정리를 적용한 후 간단하게 정리하면 아래 식을 얻는다!

극형식을 쓰면 rs를 곱할 때 곱하기 한 번, α+β를 더할 때 더하기 한 번만 하면, 복소수를 곱할 수 있다는 얘기다. 연산 여섯 번에 비하면 훨씬 효율적이니, 복소수를 거듭해서 곱할수록 노동력을 대단히 줄여줄 거라는 것을 짐작할 수 있을 것이다.

위 식을 오일러-드므아브르(Euler-De Moivre)의 공식이라 부르는데, 특히 r(cosα+isinα)를 n 제곱하면, rⁿ(cos(nα)+isin(nα))임을 알 수 있다.

미적분을 쓰지 않고 오일러의 공식을 유도하자

복소수의 곱셈에 삼각함수가 등장했으니, 곱셈의 일반화라 할 수 있는 지수에도 삼각함수가 등장하리라는 어렴풋한 감은 들 것이다. 이제 만반의 준비를 했으니, ebi를 계산해보자. ebi를 계산하기로 했으니 다음 식의 t에 bi를 대입하면 될 것이다. 복소수 z=1+bi/n과 원점과의 거리를 rn이라 하고, z가 x축의 양의 방향과 이룬 각을 θn이라 하면, 다음과 같다.

 

이 값은 n이 커질수록 e⁰=1에 가까워진다. 한편 n이 큰 수이면 θ_n은 작은 수이다. 작은 값에 대해 사인 극한 정리를 쓰면 다음을 얻는다.

                

따라서, nθ_n은 b/r_n에 가까우므로 n이 커질수록 b에 가까워진다. 이 결과를 정리하면 다음의 식을 얻는다!

        

박사가 사랑한 수식 = 오일러의 등식

오일러의 공식 ebi=cosb+isinb는, 복소수를 사용하면 지수함수와 삼각함수가 본질적으로 한가족이라는 사실을 말해준다. 어려운 삼각함수가 쉬운 지수함수라는 얘기다. 아래처럼 지수법칙을 오일러 공식을 써서 다시 표현해 보면, 오일러-드므아브르의 정리를 다시 얻는다. 즉, 삼각함수의 덧셈정리라는 것도 알고 보면 지수법칙이었던 것이다. 삼각함수에 대한 많은 식을 복소수 지수를 이용하면 쉽게 증명할 수 있는 경우가 많고, 미분방정식, 푸리에 해석 이론 등에 오일러 공식을 쓰면 많은 사실을 체계적으로 파악할 수 있다. 파인먼이 오일러의 공식을 ‘수학자들이 내놓은 보석’으로 불렀다는 점으로 미루어 짐작할 수 있었으면 한다. 오일러의 공식 ebi=cosb+isinb에서 b 대신 원주율 π를 대입하면 다음 식이 나온다. 이식은 ‘수학자들이 뽑은 가장 아름다운 식’으로 뽑혔던바 있는데, 오가와 요코의 소설 [박사가 사랑한 수식(博士の愛した数式)]의 주인공 박사가 사랑한 수식이기도 하다. 필자 역시 수업을 할 때 저 식을 보여주면서 아름다움을 강조하는 박사 중 한 명이다. 그런데 뭐가 아름답고, 사랑스러운 식이라는 걸까?

영화 [박사가 사랑한 수식]의 수식은 오일러의 등식이다.

아름답길래 아름답다고 했는데, 왜 아름다운지 물어보면 뭐라고 대답해야 할 지… 

아름다운 걸 왜 아름다운지 설명하면 오히려 아름다움을 해치기 마련이다. 모든 것을 분석해야 하는 수업인 경우라면야, 설명해도 무방할 것이다. 하지만, 필자의 몇 마디 말로 아름다움을 설명하기보다는 독자 여러분이 충분히 감상할 시간을 주는 것이 바람직할 것 같아, 군더더기를 붙이지는 않기로 한다.

글 정경훈 / 서울대 기초교육원 강의교수