미적분의 기본정리

[귀뚜라미]

적분이란 좁게 말해서 넓이를 구하는 이론이다. 넓이를 구하는 적분과, 변화율 혹은 접선을 구하는 미분은 일견 아무 관련이 없어 보인다. 하지만 이 두 가지가 밀접하게 관련돼 있다는 놀라운 사실이 성립하는데, ‘미적분의 기본 정리’ (The Fundamental Theorem of Calculus)라는 거창한 이름까지 붙어 있다. 흔히 라이프니츠의 정리라고 부르기도 하지만, 실은 다항함수에 대해서는 토리첼리(Evangelista Torricelli, 1608-1647)가 이미 발견하였고, 그레고리(James Gregory, 1638-1675)도 나이 30세에 증명을 내놓았다. 비교적 일반적이고 만족할만한 증명은 1669년 아이작 배로(Isssac Barrow, 1630-1677)가 쓴 ‘광학과 기하학 강의’(Lectiones opticae et geometricae)에 등장하기 때문에, 토리첼리-배로 정리라고 부르는 이들도 있다.

캠브리지 대학에서 뉴턴의 스승이었던 배로는 광학에 관심이 많았고, 고전적 적분 이론에 해당하는 아르키메데스의 구적법(오늘날의 구분구적법과는 다소 다르지만) 등에도 능했기 때문에, 미분과 적분의 연결 고리를 알아챈 것이다. 다만 아직 미분 개념이 정착이 안 됐을 때, 기하학적으로 증명했기 때문에 오늘날 보기에는 다소 불편한 면이 있다. 여기에서는 훗날 극한의 개념을 정립한 코시가 정리한 형태로 소개하기로 하자. 오늘날 대부분의 미적분학에서 택하는 방식이기도 하다.

미적분의 기본 정리란?

a 이상 b 이하의 실수를 모은 집합을 닫힌 구간 [a,b]라 부른다. 이 구간에서 연속 함수 f(x)를 생각하는데, 함숫값 f(x)가 0 이상인 경우를 먼저 생각하기로 하자. 이 때, 구간 [a,b]에서 f(x)와 x축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 게 목표다. 구간 [a,x]에서 f(x)와 x축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 F(x)라 하자. 즉 그림에서 하늘색으로 표시한 영역의 넓이를 말한다. 구하고자 하는 값은 F(b) 인데, 이 값을 구하는 것만으로도 힘들어 보이는데 궁금하지도 않은 F(x)는 뭐 하러 다 구하는 건지 속내가 자못 궁금할 수도 있겠다. 그게 수학의 묘미다. 달랑 하나의 값만 따로 구하는 것보다 전체를 통째로 구하는 게 (할 수만 있다면야) 더 많은 정보를 주기 때문이다. 따지고 보면 세상사 그런 게 한둘이랴만...

F(a)=0이라는 삼척동자도 아는 당연한 사실, 그것도 F(b)와는 무관한 사실만 하나 알았을 뿐, 모르는 것만 잔뜩 늘려 놓고 딴소리한다고 타박할 수도 있겠다. 그런데 이 F(x)를 미분하면 아는 녀석이 나온다! 즉, 다음 극한값을 구하자는 발상을 하는 순간 미적분의 기본 정리는 절반은 먹고 들어간다!

몫에 등장하는 분자 F(z)-F(x)는 위의 그림에서 연노랑색 영역의 넓이다. (편의상 z가 x보다 큰 경우만 생각하자.) 이 영역의 넓이는 밑변의 길이 z-x와, 구간 내에서의 함숫값의 평균을 곱한 값이다. 따라서, F(z)–F(x)를 z-x로 나눈 값은 구간 [x,z]에서의 함숫값의 평균이다. 그런데 함수가 x에서 연속이므로, z가 x에 가까워지면 이 평균 높이는 당연히 f(x)로 가까워져야 한다! 즉, 다음 사실을 얻는다.

거칠게 표현하여 ‘넓이를 미분하면 원래 함수가 나온다’는 건데, 이를 미적분의 기본 정리라 부른다. 물론 평균 높이의 개념을 쓰지 않고도 엄밀한 증명을 할 수 있지만, 본질적으로 위의 설명과 별반 차이가 없고, 고등학교 교과서를 포함한 어지간한 적분 교재에는 모두 나와 있으니 참고하기 바란다.

연습 삼아 f(x) = 2x라 하고, 구간 [1, x]에서 넓이를 구해보라. 사다리꼴의 넓이를 구하는 간단한 문제이므로 어렵지 않게 x²-1임을 알 수 있는데, 이를 미분하면 원래 함수 2x를 복원할 수 있음을 확인하길 바란다. 여기에서는 f(x)가 0이상인 경우만 다뤘지만, f(x)가 음수값을 갖는 경우 x축 아래 부분의 넓이는 음수로 간주할 경우 역시 F’(x) = f(x)가 성립한다는 것도 보일 수 있다.

적분 상수

일반적으로, F’(x) = f(x)인 F(x)를 f(x)의 ‘원시함수’ 혹은 ‘부정적분’이라 부른다. 따라서 넓이를 구하려면, 부정적분을 구하는 방법인 적분법을 알아야 한다. 그런데 미분 좀 한다 하는 사람도 단박에 부정적분을 구하는 건 무척 힘들다. 좀 복잡한 적분을 하기 위해 인류가 얼마나 많은 방법을 시도했는지 알면 입이 다물어지지 않을 정도다. 여전히 끝나지 않은 현재 진행형인 분야이기도 하다.

아무튼 우여곡절 끝에 부정적분을 하나 구했다고 치자. 답을 맞춰 볼 시간이다. 그런데 부정적분을 하다 보면 고생 끝에 답을 구했는데, 다른 사람이 구한 답과 달라 버리는 일이 생길 수 있다! 고생은 고생대로 했는데 내 답이 맞는 건지 자신이 없어질 수 있을 것이다. 다행스럽게도 적분에서 그런 걱정은 접어둬도 좋은데, 내가 구한 부정적분과 남이 구한 부정적분은 달라 봐야 상수 차밖에 안 나기 때문이다. 즉, 아래 사실이 성립한다.

그런데 이 간단한 사실을 ‘증명’하는 건 의외로 힘깨나 든다. 보통은 ‘평균값 정리’라 부르는 정리를 써서 증명하는데, 이 평균값 정리는 특수한 경우인 ‘롤(Rolle)의 정리’부터 증명하는 게 보통이다. 그런데 롤의 정리의 증명을 들여다 보노라면, 연속 함수의 ‘최대 최소 정리’를 이용한다는 걸 발견할 수 있다. 그 최대 최소 정리는 ‘실수의 완비성’을 사용해서 증명한다! 꼬리에 꼬리를 물고 따라가다간 적분 못한다. 궁금하지 않은 분들이 많으니 당연히 이쯤에서 ‘중간 생략’한다. 기회가 생기면 다시 얘기하기로 하고, 일단은 수학자들만 믿고 가자.

정적분과 부정적분

이제 구하려고 했던 넓이 F(b)를 구해 보자. f(x)의 부정적분을 아무 거나 구했더니 G(x)였다고 하자. F(x)도 같은 함수의 부정적분이므로 F(x) = G(x) + C인 상수 C가 존재한다. 상수 C를 결정할 때, 삼척동자도 아는 관계식 F(a)=0이 대활약을 펼친다. 대입하면, C=-G(a)라는 것을 알 수 있다. 즉, 다음처럼 쓸 수 있다.

사람에 따라서는 이 사실을 미적분의 기본 정리라 부른다. 구하는 넓이를 알기 위해서는 아무 부정적분 하나만 구하면 충분하다는 얘기다.

f(x)의 부정적분은 라이프니츠의 표기법을 따라, 다음과 같은 기호로 표기하고,

‘적분(인테그럴) f(x) dx’라 읽는다. 여기서 dx라는 기호는 어떤 변수로 적분하는지를 알려주는 역할을 한다. 앞서도 언급했지만, 부정적분은 하나가 아니므로 원칙적으로는 이 기호는 애매함이 남는다. 하지만 애매함이라는 게 고작 상수차이므로, 그 점만 염두에 둔다면 문제될 건 없다.

함수 G(x)에 대해  는 G(b)-G(a)를 뜻하는 기호로 쓰기로 하면, 미적분의 기본정리는 아래와 같이 쓸 수 있다.

이때 윗 식의 오른쪽에 나타난 식을 다음처럼 쓰고 이를 구간 [a,b]에서 f(x)의 ‘정적분’이라 부른다.

적분의 응용

미분이 애초에 변화율 혹은 접선을 구하자는 목적으로 출발했지만 이내 그 한계를 벗어났듯, 적분 역시 단순히 넓이를 구하던 한계를 벗어나 다양하게 응용된다. 2차원 개념인 넓이에 대응하는 1차원 및 3차원 개념으로 길이와, 부피가 있다. 따라서 곡선의 길이나 입체의 부피를 계산할 때 적분이 등장할 것임을 짐작할 수 있을 것이다.

위에서 미적분의 기본 정리를 증명할 때 잠시 언급했지만, 적분한다는 것은 어떤 의미에서는 평균을 구하는 것이다. 따라서 확률과 통계를 활용할 때 적분이 등장하는 건 필수다. 과학, 공학, 경제학 등에서 알고 싶은 대상을 기술할 때, 미분을 포함한 방정식, 즉, ‘미분 방정식’의 형태로 서술할 수 있는 경우가 많다. 따라서 이런 방정식을 풀거나 이해하려고 할 때, 미분의 역에 해당하는 적분을 모르고서는 제대로 이해할 수가 없다.

정적분 먼저, 부정적분 먼저?

대부분의 교육 과정에서는 부정적분은 미분의 역연산으로 정의한다. 그런 뒤 한참 뒤에 가서야 미적분의 기본 정리가 나온다. 하지만 이래서야 동기가 결여된 채 부정적분을 구하는 중노동부터 하는 셈이어서, 바람직한 순서인지 의문이 든다. 미적분의 기본 정리부터 먼저 소개하여 동기를 부여한 뒤에, 부정적분 계산법을 다루는 것이 어떨까 조심스레 제안해 본다.

글 정경훈 / 서울대 기초교육원 강의교수