고대 그리스의 피타고라스 학파는 만물은 수라고 생각하였다. 그들이 생각한 수는 자연수라고 생각하기 쉽지만 실제로는 자연수가 아니라 유리수였다. 왜냐하면 자연수의 비를 통해 유리수를 만들 수 있기 때문이다. 즉, 자연수를 근원으로 해서 0과 부호만 있으면 모든 유리수를 생성할 수 있다.
중학교에서 학습하는 유리수는 분모와 분자에 정수가 있는 분수꼴로 나타낼 수 있는 수를 의미하다. 이러한 유리수의 표현 방법은 수천 년 전부터 내려오는 매우 오래된 전통이었다. 그런데, 유리수는 분수꼴로만 표현되는 것은 아니다. 분수꼴 이외에 2.34와 같이 소수(decimal number)형태로 나타낼 수도 있다. 오늘은 이러한 유리수의 소수표현 중에서 유한소수가 아닌 경우에 대해 알아보도록 하자.
유리수를 분수로 표현할 때 순환소수가 나오는 사례들.
무한소수와 순환소수
기약분수에서 분모의 소인수가 2 또는 5만 있으면 유한소수로 나타낼 수 있다. 반대로, 분모의 소인수로 2 또는 5이외의 것이 있으면 유한소수로 나타낼 수 없다. 유한소수로 나타낼 수 없는 유리수를 소수로 나타내면 무한소수로 표현되어진다.
2/11과 1/7을 직접 나누어 보면, 소수점 이하가 반복된다.
유한소수로 나타낼 수 없는 유리수는 무한소수로 나타나는데 위의 두 예에서 보는 것처럼 매우 특별한 속성을 지니고 있다. 그것은 소수점 이하에 어떤 수들이 규칙적으로 반복되어 나타난다는 점이다. 위의 나눗셈 과정에서 ①, ②에서 동일한 수가 나타나므로, 동일한 몫을 반복적으로 얻게 된다. 즉, 아래와 같이 표현이 가능하다.
이처럼 소수점 이하에 동일한 숫자 열이 반복되어 나타나는 소수를 순환소수라고 부르고, 반복되는 숫자 열 즉, 앞의 유리수에 대한 소수표현에서 1, 8과 1, 4, 2, 8, 5, 7을 각각 2/11, 1/7의 순환마디라고 부른다.
순환마디의 표현법
유리수를 순환소수로 나타낼 때, 같은 수를 반복적으로 적는 것은 매우 불편하므로 특별한 방법으로 간단하게 나타내기로 약속하고 있다. 가장 대표적인 방법 세 가지를 소개하면 아래와 같다.
첫째, 순환마디의 처음부터 끝까지 숫자 열 위에 선분을 긋는 방법이다.
둘째, 순환마디의 처음과 끝의 숫자 위에 점을 찍어 반복되는 부분을 한 번만 적는 방법이다.
우리나라에서는 이 방법을 사용하고 있다.
셋째, 순환마디의 처음과 끝에 괄호를 사용하여 나타내는 방법이다.
순환마디의 길이
유한소수로 나타낼 수 없는 모든 유리수는 순환소수가 된다. 그렇다면, 순환소수의 순환마디의 길이는 어떻게 결정이 될까? 순환마디의 길이가 가지는 속성은 무엇인가?
순환마디의 길이의 최댓값
유리수 b/a의 순환마디의 길이를 D(b/a)로 나타내기로 하자(단, 여기에서 b/a는 기약분수이다. 즉, (a, b)=1). 그러면 모든 유리수는 아래와 같은 성질을 만족한다.
(참고로 a와 b의 최대공약수를 G라고 하면, 기호로 G=(a, b) 라고 쓴다.)
즉, 순환마디의 길이는 아무리 길어도 분모보다는 1이 작다.
소수 첫째 자리부터 순환마디인 유리수
유리수를 소수로 나타내었을 때 순환마디를 살펴보면 두 가지 서로 다른 현상이 있다.
하나는 소수 첫째 자리부터 순환마디가 되는 수(간단하게 순순환소수)이고, 다른 하나는 순환마디가 아닌 부분이 존재하는 수(간단하게 혼순환소수)이다. 이것을 구분하는 방법은 다음과 같다.
또한 혼순환소수에서 순환마디의 시작 위치를 찾는 방법은 아래와 같다.
예를 들어, 두 유리수 1/60, 1/1750은 소수 몇 째 자리부터 순환마디가 되는지 살펴보자.
1/60을 보면 60=22×5×3로 소인수분해되므로, 소수점 이하에 순환마디가 아닌 부분이 존재한다. 또한, 2와 5의 지수 중에 큰 값이 2이므로, 소수 셋째 자리부터 순환마디가 시작된다. 같은 이유로 1/1750에서 1750=2×53×7이므로, 소수 넷째 자리부터 순환마디가 시작된다.
순환마디의 길이 이해하기
그러면, 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까? 위의 예에서 살펴 보았듯이, 분모를 소인수분해 했을 때 2와 5가 인수로 나오는 부분은 순환마디의 시작점만 결정할 뿐 순환마디의 길이 자체에는 영향을 끼치지 않는다. 즉, 분모의 소인수가 10과 서로소인 부분이 순환마디의 길이를 결정한다. 즉, 아래와 같은 사실이 성립한다.
또한, 순환마디의 길이는 분자의 값과는 상관없이 분모의 값에 의해 결정된다. 예를 들어 1/7의 순환마디가 6자리인데, 2/7도 순환마디가 6자리라는 것은 쉽게 짐작할 수 있다. 2/7 = 1/7 + 1/7이므로, 순환마디가 6자리인 소수끼리 더한 수이니, 6/7+1/7=1와 같이 순환마디 자체가 없어지지 않는 한, 그 길이가 변할 까닭은 없기 때문이다. 정확한 증명은 하단의 부록을 참고하고, 이를 정리하면 아래와 같다.
이제, 순환소수에서 순환마디의 길이는 분자의 값에는 영향이 없고, 분모의 소인수가 10과 서로소인 부분에만 영향을 받는 것을 알았다.
순환마디의 길이가 0, 1, 2, 3, … 인 경우 생각해 보기
순환마디의 길이가 0, 1, 2, 3, …, n인 경우를 구체적으로 살펴보자. 순환마디의 길이가 0인 경우, 즉 유한소수인 경우를 보자.
분모를 10의 거듭제곱으로 고쳤을 때, 나머지 부분이 정수만 남게 된다. 반면, 순환마디의 길이가 1이상인 경우를 보자.
분모에 있는 9의 개수에 의해 순환마디의 길이가 결정됨을 알 수 있다. 따라서, 이 결과로부터 우리는 다음과 같은 결론을 도출할 수 있다.
순환마디의 길이 구하기
이제, 예를 들어 순환마디의 길이를 구해보고, 순환마디의 길이를 구하는 방법을 정리하도록 하자.
먼저, 1/296의 순환마디의 길이를 어떻게 구할 수 있는지 살펴보자.
즉, 1/296의 순환마디는 296을 소인수분해 후 2와 5의 거듭제곱을 버린, 1/37의 순환마디의 길이와 같다. 조금 너 나가보자.
분자는 영향을 안 준다는 점을 고려하면 결국 1/296의 순환마디의 길이는 1/999와 같다는 것을 알 수 있다. 따라서 1/999의 순환마디의 길이가 3이므로 1/296의 순환마디의 길이도 3이다. 실제로 1/296을 계산해보면 아래와 같다.
위의 예를 통해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
지금까지 살펴본 내용을 정리하여 수학적으로 표현하면 아래와 같다.
순환소수의 순환마디의 길이와 위치는..
오늘은 유리수를 소수로 표현하였을 때, 순환마디의 길이에 대해 살펴보았다. 유한소수를 판정하는 기준은 분모의 소인수가 2와 5만 있어야 했다. 하지만, 유한소수가 아닌 순환소수의 순환마디의 길이는 분모의 소인수 중에서 2, 5가 아닌 값들에 의해서만 영향을 받는다는 것을 알 수 있었다. 유한소수가 되지 못하게 했던 소인수들이 순환소수의 순환마디와 순환마디의 위치를 결정하는 것이다.
[부록] 순환마디의 길이가 분자의 값과는 상관없다는 점 증명
D(1/a0)=n이라고 하면, 다음 같이 둘 수 있다.
따라서,
이 성립하므로, 다음과 같다.
이 식에서 양변에 b0을 곱하면, 다음을 얻을 수 있다.
이 식으로부터 다음이 성립한다.
그런데, n자리 자연수 r1r2…rn에 1보다 큰 정수를 곱해서 10n보다 작아야 하므로, 그 결과도 n자리 자연수이어야 한다. 즉, 적절한 한 자리의 수 p1, p2, …, pn에 대해서,
이 성립하므로, 다음과 같다.
따라서, 다음이 성립한다. (증명 끝)
- 글
- 서보억 / 대구가톨릭대학교 수학교육과 교수