삼각형에서 선분의 길이의 비는 닮음을 이용해서 구하는 것이 일반적이다. 오늘은 닮음이 아닌 물리학의 법칙인 지레의 원리를 이용하여 삼각형에서 선분의 길이의 비가 어떻게 구해지는지 알아본다.
지레로 지구를 들어올리는 아르키메데스의 삽화.
지레의 원리. <출처: (cc) Kordas at Wikimedia.org>
아르키메데스(Archimedes)는 공학자, 과학자로 유명할 뿐 아니라, Eureka(유레카)라는 일화로 널리 알려져 있다. 하지만, 그가 매우 유명한 수학자였다는 사실은 자주 잊혀지곤 한다. 사실 유명한 정도가 아니라, 아폴로니우스(Appolonius)와 더불어 고대 최고의 수학자였다.
그가 개발한 수 많은 도구, 기계, 기구는 그의 조국 시라큐스를 로마의 침입으로부터 몇 년 동안 지켜주었고, 그가 발견한 수학적 개념, 원리, 법칙 등은 오늘날까지 매우 중요하게 사용되고 있다. 오늘은 특별히 그가 발견한 지레의 원리에 대해 살펴보고, 기하에서 선분의 길이의 비에 어떻게 적용될 수 있는지 살펴보고자 한다.
지레의 원리란?
지레의 원리는 매우 간단한 물리 법칙이다. 우리가 어릴 때 타고 놀았던 시소를 생각하면 쉽게 이해할 수 있다. 시소의 양쪽에 두 사람이 앉을 때, 무거운 사람이 시소의 받침대 가깝게 앉고, 가벼운 사람이 멀리 떨어져 앉는다.
즉, 위 그림에서 받침점을 O, 지레의 양 끝을 P, Q라 하고, P, Q지점에 있는 두 물체의 무게를 각각 A, B, 받침점 O에서 양 끝점까지의 거리를 x, y라고 하면, 다음 등식이 성립하는데 이것이 지레의 원리이다.
삼각형과 지레의 원리
삼각형의 무게중심을 지구의 중력을 이용하여 구하는 방법은 아래 사진과 같다.
(사진1)
(사진2)
(사진1)처럼 삼각형의 한 쪽 꼭짓점을 벽에 압정으로 붙여서 움직일 수 있도록 매달고, 그 꼭짓점에 추를 내리면, 추를 매단 실(직선 p)은 변 BC의 중점을 지난다. 이제 꼭짓점을 바꾸어 추를 (사진2)처럼 매달고 매단 실(직선 q)이 직선 p와 만나는 점 G가 삼각형 ABC의 무게중심이 된다. 이때, D는 선분 BC의 중점이고, 점 E는 선분 CA의 중점이다. 중학교에서는 선분 AD, 선분 BE를 중선이라고 불렀다.
이제, (사진1)의 상황에서 꼭짓점 B와 꼭짓점 C에 각각 200g, 100g 무게의 동전을 붙이면, 결과가 어떻게 될까? 추를 매단 실은 대변의 어떤 점을 지나게 될까? 결과는 아래 (사진3)과 같다.
(사진3)
꼭짓점 B쪽이 더 무겁기 때문에 추를 매단 실(직선 r)은 꼭짓점 B쪽으로 치우치게 된다. 만약 삼각형 ABC의 면의 무게를 무시할 수 있다고 한다면, 직선 r는 정확하게 변 BC를 1 : 2로 내분하는 점 D를 지난다. 이 상황을 지레의 원리에 적용하면 그 이유를 쉽게 추측할 수 있다.
위 그림처럼 200g이 매달린 쪽과 100g이 매달린 쪽이 서로 균형을 이루고 있으므로, 추를 매단 실이 지나는 점 D를 지레의 받침점이라 생각하고 지레의 원리를 적용하여 보자. 그러면, 200x = 100y 가 성립해야 하므로 x : y = 1 : 2가 된다.
이번에는 꼭짓점 A와 B와 C에 각각 400g, 300g, 200g 무게의 동전을 붙이면, 결과가 어떻게 변하는지 생각해 보자.
(사진4)
(사진4)에서 추를 매단 선(직선 s)이 변 BC와 만나는 점 H는 선분 BC를 어떤 비로 나누는지 생각해 보자. 점 A는 중심점이므로 어떤 무게를 가지더라도 매단 추에는 영향을 미치지 않는다. 따라서, (사진3)에서 일어난 현상과 동일한 이유에 의해서,
300x = 200y 가 성립해야 하므로, x : y = 2 : 3이 된다. 즉, BH : HC = 2 : 3이다. 그러므로 직선 s는 변 BC를 2 : 3으로 내분하는 점을 지나게 된다.
무게중심과 지레의 원리
중학교 2학년에서 학습하는 삼각형의 무게중심을 지레의 원리를 이용하여 다시 생각해 보자. 삼각형의 세 꼭짓점에 물리적으로 동일한 무게(예를 들어 100g)가 매달려 있다고 가정하면 이해가 쉬울 듯 하다. 각 꼭짓점에 동일한 무게가 매달려 있으므로, 꼭짓점 A에 매단 추의 실선은 선분 BC의 중점 D를 지나고, 꼭짓점 B에 매단 추의 실선은 선분 AC의 중점 E를 지나게 된다. 따라서 이 두 실선의 교점이 삼각형 ABC의 무게중심이 된다(아래 그림 1).
(그림1)
(그림2)
이제 (그림1)의 상황을 (그림2)처럼 지레의 원리에 적용해 보자. 지렛대 BC의 받침점 D는 점 B와 점 C의 무게의 합인 200g을 지탱하고 있으므로, 점 D는 200g이 있다고 볼 수 있다. 이제 선분 AD를 지렛대로 보고 받침점을 G라고 하면, 선분 AG와 선분 GD의 길이의 비가 어떻게 되겠는가?
위 그림처럼, 지레의 원리에 의해서 100x = 200y 라는 식을 만족해야 하므로, x : y = 2 : 1이 된다. 이것은 중학교에서 가르치고 있는 무게중심이 중선을 2 : 1로 내분한다는 사실과 정확하게 일치한다. 이처럼, 삼각형의 무게중심의 성질은 지레의 원리에 의해 정확하게 설명될 수 있다.
선분의 길이의 비와 지레의 원리
이제 마지막으로 지레의 원리를 이용하여 삼각형에서 다양한 선분의 길이의 비를 어떻게 구할 수 있는지 살펴보자.
아래 그림과 같이 삼각형 ABC가 주어져 있다. 꼭짓점 A에서 선분 BC를 1 : 3으로 내분하는 점 D를 지나는 직선과 꼭짓점 B에서 선분 AC를 3 : 4로 내분하는 점 E를 지나는 직선의 교점을 O라고 하자. 또한, 꼭짓점 C에서 점 O를 지나는 직선을 그었을 때, 대변과의 교점을 F라 하자. 이때, 비 AF : FB 및 비 AO : OD, 비 BO : OE, 비 CO : OF 를 각각 구해 보자.
지레의 원리를 이용하여 선분의 길이의 비를 구하기 위해서는 세 꼭짓점 A, B, C와 세 교점 D, E, F에 놓인 무게를 결정하는 것이 가장 중요하다. 단, 주어진 조건 BD : DC = 1 : 3, AE : EC = 3 : 4를 만족시켜야 한다. 이제, 각각의 점에 놓인 무게를 결정해 보자.
첫째, 아래 왼쪽 그림과 같이 주어진 조건 BD : DC = 1 : 3이라는 사실을 지레의 원리에 적용하면, 꼭짓점 B에 900g, 꼭짓점 C에 300g의 무게가 놓여있다고 말할 수 있다. 이때, 지렛대 BC의 받침점인 D에는 1200g이 놓이게 된다.
둘째, 위 오른쪽 그림과 같이 주어진 조건 AE : EC = 3 : 4라는 사실을 지레의 원리에 적용하여 보자. 꼭짓점 C에 이미 300g이 결정되어져 있으므로, 꼭짓점 A에는 400g의 무게가 놓여야 한다. 이때, 지렛대 AC의 받침점인 E에는 700g이 놓이게 된다.
셋째, 아래 그림과 같이 선분 AB를 지렛대로 보고 지레의 원리를 적용해 보자. 꼭짓점 A와 꼭짓점 B에 각각 400g, 900g이 놓여져 있기 때문에 받침점 F에는 1300g이 놓이게 된다.
지금까지는 각각의 점에 놓이는 무게를 지레의 원리를 적용하여 구하였다. 이제 최종적으로 선분의 길이의 비가 어떻게 되는지 알아보자.
먼저 비 AF : FB를 x : y라고 두고 이를 구해 보자. 위 그림에서 초록색 막대를 지렛대라고 하고, 점 F를 받침점이라고 하면, 지레의 원리에 의해서 400x = 900y를 만족해야 한다. 따라서 x : y = 9 : 4가 된다.
둘째, 위 그림에서 점 O를 받침점으로 하는 붉은 색 막대의 지렛대를 생각해 보자. AO : OD = x : y라고 하면, 지레의 원리에 의해서 400x = 1200y를 만족해야 한다. 따라서 x : y = 3 : 1이 된다.
셋째, 동일한 원리에 의해서 파란색과 보라색 막대의 지렛대를 생각해 보자. 그러면, 지렛대의 원리에 의해서 BO : OE = 7 : 9이고, CO : OF = 13 : 3이 된다.
수학도 다른 학문을 이용할 때 쉽게 풀릴 수 있다
일반적으로 삼각형이나 다각형에서 선분의 길이의 비를 구하기 위해서는 중학교 2학년에서 다루는 닮음을 이용하게 된다. 닮음이 선분의 길이의 비를 정확하게 다룰 수 있다는 장점이 있는가 하면 다소 어려워하는 경향이 있다.
이 글에서는 닮음을 이용하지 않고도 물리학의 지레의 원리를 이용하여 다양한 선분의 길이의 비를 구할 수 있음을 확인하였다. 일반적으로 수학은 다른 학문의 발전에 수단으로써 많은 영향을 주고만 있다고 생각하기 쉽다. 하지만, 수학 역시 다른 학문의 도움을 통해 쉽게 이해될 수 있는 것이 사실이다.
- 글
- 서보억 / 대구가톨릭대학교 수학교육과 교수