자기 자신과 1 이외의 약수를 갖지 않는 수를 소수라고 한다. 그렇다면 1은 소수인가?
1은 자기 자신인 1로 나누어지며 1이외의 약수는 갖지 않는다. 이것은 분명히 소수의 정의에 맞아떨어진다. 그러나 분명히 1은 소수가 아니다.
정수론의 기본 정의 중 "1 이외의 정수는 항상 소인수로 분해 할 있으며, 그 순서를 생각하지 않는다면 한 가지 방법밖에 없다."는 것이 있다. 예를 들어 12를 소인수분해하면 2×2×3을 2×3×2, 3×2×2로 나타내어도 결국 두 개의 2와 한 개의 3으로 소인수분해하는 한가지 방법밖에 없는 것이다.
그런데 만약 1을 소수라고 한다면 이 정의는 성립될 수 없다. 12 = 2×2×3 = 1×2×2×3 = 1×1×2×2×3 = ……과 같이 여러 가지 방법으로 소인수분해 할 수 있게 되기 때문이다.
이는 수학에 있어서의 '유일성'에 위배되는 결과를 낳게 되는 것이다. 그래서 1은 소수가 아니다.
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