어떤 분명한 대상들의 모임을 집합이라고 하였다. 그러면 집합을 포함하는 원소가 분명히 드러나면 어떤 것이라도 모두 원소로 가질 수가 있는 것일까? 영국의 수학자이자 철학자인 러셀(Russell, B., 1872∼1970)은 모든 집합을 원소로 갖는 집합은 존재하지 않는다는 사실을 다음과 같이 설명하였다.
모든 집합을 원소로 갖는 집합을 U라 하자. U 자신도 역시 집합이고 U는 모든 집합을 포함하므로 U∈U이다. 즉, U는 자기 자신을 원소로 갖는다.
그러나 어떤 집합은 자기 자신을 원소로 갖지 않을 수도 있다. 즉, X를 공집합만을 원소로 하는 집합이라 하면 X는 X의 원소가 아니다. 이와 같이 자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합을 원소로 하는 집합을 A라 하자. 즉, A={X|X는 X의 원소가 아님}이고, 이것은 집합 A의 뜻에 의하여
X∈A ⇔ X는 X의 원소가 아니다 … (*)
이 때, A는 자기 자신을 원소로 갖겠는가?
i) A가 A 자신을 원소로 갖는다고 하면 A∈A이므로 (*)에 의하여 A는 A의 원소가 아니다. 이것은 모순이다.
ii) A가 자기 자신을 원소로 갖지 않는다고 하면 A는 A의 원소가 아니므로 (*)에 의하여 A∈A이므로 이것도 모순이다.
따라서 A는 자기 자신을 원소로 갖는다고도 갖지 않는다고도 주장할 수 없다.
이와 같이 서로 모순되는 주장이 나타나는 것을 패러독스라고 하며, 지금까지 설명한 패러독스는 러셀이 발견하였으므로 이것을 러셀의 패러독스라고 한다.
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