집합 사이의 관계를 표현하는 (그림1)을 흔히 벤 다이어그램이라고 부르지만, 엄밀한 의미에서 볼 때 이것은 벤 다이어그램이 아닌 '오일러 다이어그램 (Euler Diagram)'이다.
1880년 영국의 수학자 존 벤(John Venn)이 벤 다이어그램(Venn Diagram)을 선보이기 100년 전에 천재 수학자 오일러는 명제들 사이의 논리적인 관계를 나타내는 데 이와 비슷한 오일러 다이어그램을 사용했다.
집합의 개수에 따라 기본적인 틀이 정해지는 벤 다이어그램과 달리 오일러 다이어그램은 집합들 사이의 관계를 표현하는 그림으로 경우에 따라 그림의 형태가 달라진다. (그림2) (그림3)
오일러 다이어그램이 '사람은 동물이다'와 같은 명제의 참 거짓을 따지는 데 유용한 그림이라면, 벤 다이어그램은 '하늘을 나는 돼지'와 같이 현실에 존재하지 않더라도 논리적으로 가능한 모든 경우를 표현한 그림이라고 할 수 있다.
오일러는 다음과 같은 삼단논법을 설명하기 위해 (그림4)의 오일러 다이어그램을 사용했다. 이 그림은 두 전제 1, 2 사이의 논리적 관계를 표현한 것인데, 이로부터 3의 결론을 얻을 수 있다.
1. 모든 A는 B이다
2. 어떠한 C도 B가 아니다
3. 따라서 어떠한 C도 A가 아니다.
논 제
다음의 얘기는 올바른 삼단논법인가? 오일러 다이어그램을 사용하여 설명하시오.
1. 미인은 석류를 좋아한다.
2. 나는 석류를 좋아한다.
3. 그러므로 나는 미인이다.
답안작성 길라잡이
'미인'이나 '좋아한다'라는 용어가 분명하지 않으므로 1, 2, 3을 명제로 볼 수 없지만, 여기서는 적절한 기준을 정해서 명제가 되게끔 한 것으로 보겠다. '미인'들의 집합을 A, '석류를 좋아하는' 사람들의 집합을 B, '나'의 집합을 C라고 하면 명제 '미인은 석류를 좋아한다'를 집합으로 표현하면 A⊂B가 된다. 명제 '나는 잠꾸러기다'는 C⊂B이다. 그런데 이 두 가지 전제로부터 집합 A와 C 사이의 관계를 추론할 수 없으므로 세 집합 A, B, C의 관계를 오일러 다이어그램으로 나타내면 (그림5)와 같다.
따라서 이 두 전제로부터 C⊂A, 즉 '그러므로 나는 미인이다'라는 결론을 도출할 수 없다. 그러므로 주어진 추론은 논리적으로 잘못된 것이다.
삼단논법
아리스토텔레스가 정립한 논리학의 기본으로서 2개의 전제와 1개의 결론으로 구성되는 연역적 추론의 방법이다. 두 명제 p→q, q→r이 참이면, 명제 p→r이 참이 된다. 예를 들면(그림6),
1. 인간은 모두 죽는다. (대전제) q⇒r
2. 소크라테스는 인간이다(소전제) p⇒q
3. 따라서 소크라테스는 죽는다(결론) p⇒r