모든 실계수 이차방정식의 해는 근의 공식에 계수를 대입하는것으로 해결이 가능하다. 그러나
계수가 복소수인 경우는? 근의 공식이 무의미하다. 허수는 절대 근호에 들어 갈 수 없기 때문이다.
허수의 정의를 떠올려 보면 허수는 근호안에 음수를 넣은 수이다. 그러므로 다시 근호안에
허수를 넣는것은 존재하지 않는 숫자이기 때문. 같은 이유로 근의 공식을 사용 할수도 없으며 판별식 역시 사용이 불가능하다.
잠깐 퀴즈. 2+i 와 3+i 중 어느것이 더 클까?
보통 후자라고 생각하는 사람이 더 많을거라고 생각하지만 절대 아니다. 허수부의 계수가 같아서 차를 이용했을때 실수가 되더라도
복소수의 크기는 알수 없다. 그렇게 정의가 되어있기 때문이다. 두 수의 크기를 비교 할때 두 수가 양수 이면 제곱하거나 제곱근을
씌우고 대소를 비교 할 수 있지만 음수는 안된다. 따라서 허수는 크기를 알 수 없는 '그림자' 라고 흔히 비유된다.
물체의 그림자는 광원과 물체와 지평선이 이루는 각도에 따라 길어지기도 하고 짧아지기도 하기 때문에 절대적인 크기를 알 수
없으므로 그렇게 비유되는 듯하다.
서론이 길었지만 앞에서 복소계수의 이차방정식은 근의 공식을 쓸수 없다는것이 우리의 결론이다.
(물론 양변에 허수를 취했더니 실계수가 되는 경우는 근의 공식을 쓰면 된다.)
그렇다면 어떻게 해결하면 될까?
1. 인수분해
음.. 끔찍하긴 하지만 수의 범위가 <복소수> 까지 확장된 이상 이차방정식은 반드시 2개의 근을 가지기 때문에
반드시 인수분해가 된다. 물론 노가다가 필요하고 암산을 하는 과정에서 틀릴 수 있기 때문에 그닥 권하지 않는 방법.
2. 항등식의 성질 이용
필자는 이 방법을 추천하는 편. 그리고 아마 많은 학생들이 알고 있는 방법.
허수 i 에 대한 항등식으로 보고 i를 가지는 것과 가지지 않는 것으로 묶는다. 그러면 두개의 괄호로 분류가 될테니
각각의 이차방정식을 풀고 두개의 괄호를 모두 0으로 만드는 수가 근이 된다. 이 방법은 항등식의 성질을 이용 한 것이지만
직선의 방정식, 원의 방정식에서도 많이 보고 이용할 방법이다.
이로써 복소계수의 이차방정식의 경우는 근의 공식이 무의미 하다는 것을 발견했다.
1. 복소계수의 이차방정식의 해
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