태초에 인간이 제일 먼저 '발명' 한 수는 자연수이다.
<신은 인간에게 자연수를 주었고, 나머지는 모두 인간이 만든것이다. -레오폴드 크로네커>
자연을 객관적으로 바라봐야할 수학자가 종교적인 발언을 하다니.. 별로 좋아하진 않지만 인용해 보았다.
(난 사실 이것만이 그를 싫어하는 이유는 아니다.)
자연수는 1부터 시작하는, 유일하게 제일 작은 수가 있는 숫자이다.
그래서 페르마는 <무한강하법> 이라는 증명법(큰 분류는 귀류법에 속함) 을 만들어 냈다.
<무한강하법> 은 자연수에 관한 공식을 만들고 그 공식을 조금씩 변형시켜 더 작은 자연수에 관한 공식을 만들어 나가는 것이다.
그 과정을 무한히 반복하면 무한히 작은 자연수가 만들어지지만, 그런 일은 있을 수 없다. 자연수에는 최소수가 존재하기 때문.
그는 이 방법으로 <페르마의 마지막 정리> 에서 n=4 인경우를 증명했다.
약간 옆으로 샜지만 자연수는 이런 수이다.
그렇다면 정수는 무엇일까? 정수는 0을 수로 받아들이기 시작하면서 만들어졌고, 결정적으로
<x+1=0> 이라는 방정식을 풀기 위해 정수가 고안되었다.
(위의 문구를 잘 기억하도록. 사실 허수도 같은 이유에서 고안된 것이다.)
수학자들이 방정식을 세워서 땅의 넓이도 구할수 있고, 빵을 만들때 필요한 밀가루 무게도 알수 있게 되자
이들은 엉뚱한 상상(?) 을 하기 시작했다.
<x + 1 = 0 이라는 방정식의 해가 존재할까?>
사실 음수의 개념은 유리수보다 더 늦게 사람들에게 인식되었다.
아마 그들은 1을 더해서 0이 되는 수의 신비로움을 노래했을지도 모르겠다.
웃음이 나올지도 모르지만 이것은 사실이다. 아니, 오히려 음수가 부자연스럽다고 느끼는 편이 더 자연스러울지도.
그리고 그들은 위 방정식을 풀기 위해서 수의 범위를 확장시켰는데 그것이 정수이다.
(음수가 보급되기 전의 정수, 유리수는 양의 정수와 양의 유리수의 범위에 그쳤을 것이다.)
그렇다면 이제 본론으로. 복소수는 왜 생겼을까? 아니 그보다 이것이 수일까?
(실제로 이것이 수인지 아닌지 헷갈리는 사람도 있다)
복소수 이전에 허수부터 얘기 해보자. 음수로 수가 확장된것과 같은 맥락에서 수학자들은 다시 엉뚱한 상상을 했다.
< x^2 + 1 = 0 을 만족하는 수가 있을까? >
제곱을 하면 무조건 수는 양수가 되는데 어째서 제곱을 하고도 1을 더하여 0이라니?
엉뚱한 방정식이라고 치부 할 수도 있었겠지만 그렇다면 현재의 공학에서 미분방정식이 굉장히 어려워졌을 것이고
현대적 원자모형에서 전자의 위치를 설명 할 수도 없을것이다.
위 방정식이 해를 가지게 하기 위해서 수학자들은 허수를 탄생 시켰고
거기서 그치지 않고 실수와 허수의 결합인 복소수까지 수를 확장시킨것이다. 복소수는 2개의 항으로 이루어져 있다는 점에서
상당히 흥미로운데, 이로 인하여 복소수는 가우스평면(또는 복소평면) 상에서 한 점과 일대일 대응된다.
그리고 복소수의 사칙연산은 실제로 벡터와도 연결이 되니 혹시 심심한데 뭐라도 하고 싶다면
격자점 종이에 복소수의 사칙연산의 결과를 기하학적으로 표현 해보길 권장한다.
실수가 사칙연산에 닫혀 있으니 복소수는 당연히 사칙연산에 대하여 닫혀있다. (0으로 나누는것 제외)
복소수의 절댓값은 얼마일까? 혹시 실수의 절댓값이 기억나는가? 실수의 절댓값의 정의는 수직선 상에서
실수와 원점사이의 거리였다. (거리이므로 절대 음수는 나오지 않겠지?) 복소수 역시 동일하다. 수직선이 가우스평면으로
바뀌었다는것만 빼고. 점과 점 사이의 거리공식에 대입하면 복소수의 절댓값이 나온다. 복소수와 원점을 연결한 선분과 x축과의
각도를 이용해서 복소수를 극좌표계로 만들수도 있다.
그런데 허수는 상상속의 수가 아닌가?
존재하지도 않는 수를 왜 이렇게 갖고 노는거지? 나도 공학을 전공하지 않아서 자세히는 설명 못하는 점, 양해 드린다.
결론부터 말하자면 복잡한 미분방정식을 간단한 일차방정식 형태로 고치기 위해서 사용한다.
복소수를 이용하는 최종 목적은 이를 공학에 응용하기 위함이다. 복소수를 사용하면 파동의 현상을 취급하는 미분방정식을
대수방정식으로 바꿔서 계산할수 있다. 그 과정에 오일러의 공식이 들어가는데 그는 뒤에서 설명하도록 하겠다.
(자연대수와 삼각함수의 테일러전개가 섞여서 여기에 다 적기는 힘들기 때문 ㅎㅎ)
쉽게 설명하자면
i 의 1 승은 i 이다.
i 의 2 승은 -1 이다.
i 의 3 승은 -i 이다.
i 의 4 승은 1 이다.
i 의 5 승은 다시 i 이다.
빙글빙글 도는, 순환이 보이는가? 허수는 이런 주기성을 가지기 때문에,
파동현상과 미분방정식을 설명할때 유용하게 쓰인다.