정수는 덧셈과 곱셈에 대하여 닫힌 집합이다.
(단순히 닫혀 있을 뿐만 아니라 항등원과 역원, 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙도 성립한다)
그러나 단하나, 곱셈에 대하여 역원이 존재하지 않는다. 그래서 비대칭이라고 표현한다.
구조적으로 조화롭지 않다고 생각할지도 모르나, 그렇지 않다.
오히려 유리수보다 더 아름다운 정수의 정수(精髓) 를 알게 될 것이다.
정수에서 몇가지 주목 할 만한 특징이 있다.
1. 최대공약수와 최소공배수를 가진다.
유일하게 정수와 자연수만이 가지는 따뜻한 성질. 이를 이용해 방정식을 풀기도 하고 증명 하기도 한다.
실제로 페르마의 마지막 정리의 특수한 n에 대한 증명은 거의가 자연수와 정수라는 조건을 이용해
공약수, 공배수 관계를 이용한다. 자세한 건 다음에 쓰겠다.
2. 짝수, 홀수가 존재한다.
유리수로 넘어가면 짝수, 홀수의 개념이 사라져 버린다. 왜냐하면 '나머지' 라는 개념 자체가 유리수에서는 없기 때문.
어떤 수를 2로 나눈 나머지로써 짝수와 홀수를 판별하는데 유리수에서는 나머지가 없기 때문에 이 성질도 유용하게 사용된다.
3. 곱셈에 대하여 닫혀있지만 역원은 존재하지 않는다.
재미있는 성질이다. 닫혀있지만 역원을 가지지 못하므로 정수는 곱셈에 대한 군은 이루지 못한다.
그렇지만 개인적으로 역원이 들어가지 않았기 때문에 더 깊고 아름다운 세계가 만들어 졌다고 생각한다.
4. 덧셈에 대하여 군을 이룬다.
군에 대해서는 다음에 이야기를 해주겠다. 덧셈에 대하여 군을 이룬다는 것은 덧셈에 대하여 닫혀 있고,
항등원, 역원이 존재하며 결합법칙이 성립해야 한다. 물론 정수는 음수를 가지는 가장 작은 수의 집합이므로
덧셈에 대해 군을 이룬다. 그리고 특별히 교환법칙까지도 이루는 군을 아벨군이라고 일컫는데, 정수는 이 조건도 만족한다.
성질 1과 2는 방정식을 세울때 직접적으로 많이 사용될것이다.
반면 성질 3과 4는 그냥 교양 정도로 알아도 될듯하다.