1. 포물선 §1. 포물선의 방정식(1/4)

[교원임용박사]

1. 단원명 : Ⅴ. 이차곡선 1. 포물선

2. 단원의 개관

이차곡선에 대한 연구는 고대 그리스에서부터 시작되었다. 고대 그리스의 아테네에는 흉한 전염병이 나돌고 있었는데, 고통에 시달리던 아테네 시민들은 텔로스의 신전에 모였고 전염병의 확산을 멈추게 해 달라고 신에게 간절히 호소하였다. 이 때, 신전에서 내린 계시는 전염병이 더 퍼지는 것을 막으려면 정육면체 모양을 하고 있는 아폴로 제단의 부피를 두 배로 늘리라는 것이었다. 그리스인들은 그 요구에 따르기 위해 자와 컴퍼스만을 사용해서 그 조건을 만족시키는 정육면체를 작도하려고 하였으나 아무리 노력을 해도 성공하지 못하였다. 그러다가 기원전 340년경 메나이크모스(Menaechmos;375~325 B.C)는 원뿔곡선을 이용하여 정육면체의 배적 문제에 대한 두 가지의 방법을 발견하였는데, 하나는 포물선과 쌍곡선의 만남에 의한 것이었고, 다른 하나는 두 개의 포물선의 만남에 의한 것이었다.

3. 단원의 목표

가. 포물선

1) 포물선의 뜻을 이해하게 한다.

2) 포물선의 방정식을 구할 수 있다.

3) 포물선과 직선의 위치관계를 알게 한다.

4) 포물선의 접선의 방정식을 구할 수 있게 한다.

나. 타원

1) 타원의 뜻을 이해하게 한다.

2) 타원의 방정식을 구할 수 있게 한다.

3) 타원과 직선의 위치관계를 알게 한다.

4) 타원의 접선의 방정식을 구할 수 있게 한다.

다. 쌍곡선

1) 쌍곡선의 뜻을 이해하게 한다.

2) 쌍곡선의 방정식을 구할 수 있게 한다.

3) 쌍곡선과 직선의 위치관계를 알게 한다.

4) 쌍곡선의 접선의 방정식을 구할 수 있게 한다.

4. 단원 지도 계통

학습한 내용		학습내용		학습할 내용
		Ⅴ.이차곡선
<7-나>단계 기본도형 작도와 합동 평면도형과 입체도형의 성질 <9-나>단계 피타고라스의 정리 <10-나>단계 평면좌표 직선의 방정식 원의 방정식 도형의 이동	⇨	1. 포물선 §1. 포물선의 방정식 §2. 포물선과 직선 2. 타원 §1. 타원의 방정식 §2. 타원과 직선 3. 쌍곡선 §1. 쌍곡선의 방정식 §2.수열의 귀납적 정의	⇨	<수열Ⅱ> 공간도형 공간좌표

5. 지도상의 유의점

가. 포물선의 방정식의 표준형 는 포물선의 정의에 따라 유도될 수 있음을 이해 시킨다.

나. 9단계에서는 포물선을 이차함수의 그래프로서 언급하고, 포물선의 축, 꼭짓점만을 간단 히 다루었으나, 여기서는 일정한 조건을 만족하는 점의 집합이 이루는 도형으로서 포물 선을 이해하도록 한다.

다. 축이 축, 축인 경우의 포물선의 방정식을 각각 유도하도록 한다.

라. 포물선의 접선의 방정식은 공식을 기계적으로 암기하여 구하는 것보다 이차방정식의 판 별식을 이용하여 구할 수 있도록 지도한다.

마. 타원에 관한 성질을 깊이 다루지 않고, 가능한 한 구체적인 보기를 들어 그 성질을 지도한다.

바. 타원의 방정식 에서 조건 과 을 분명히 구별할 수 있게 지도한다.

사. 타원의 접선의 방정식은 공식을 기계적으로 암기하여 구하는 것보다 이차방정식의 판별 식을 이용하여 구할 수 있도록 지도한다.

자. 쌍곡선에는 포물선이나 타원과 달리 점근선이 있음을 이해하고, 점근선의 의미를 확실히 파악할 수 있도록 지도한다.

타. 쌍곡선에 대한 많은 성질을 깊이 다루지 않고, 표준형에서 유도되는 기본 성질과 그 대 칭성 정도를 지도한다.

파. 타원과 달리 쌍곡선 에서는 와 의 대소를 고려하지 않음을 이해하도록 지도한다.

카. 쌍곡선의 접선의 방정식은 공식을 기계적으로 암기하여 구하는 것보다 이차방정식의 판 별식을 이용하여 구할 수 있도록 지도한다.

6. 단원의 지도 계획

중단원	소 단 원	차시	지 도 내 용	용어와 기호
1. 포 물 선	§1. 포물선의 방정식	1-2	․ 이차곡선의 뜻 ․ 포물선의 뜻 ․ 포물선의 준선, 초점, 꼭짓점의 뜻 ․ 포물선의 방정식 ․ 포물선의 평행이동	이차곡선, 포물선, 준선 초점, 축, 꼭짓점
	§2. 포물선과 직선	3-4	․ 포물선과 직선의 위치 관계 ․ 포물선의 접선의 방정식
	연습문제 실생활 문제 수학여행	5	․ 중단원 확인 학습 문제 ․ 포물선에 대한 실생활 문제 ․ 생활 속에서 찾아볼 수 있는 포물선의 예
2. 타 원	§1. 타원의 방정식	6-7	․ 타원의 뜻 ․ 타원의 초점, 꼭짓점, 장축, 단축 ․ 중심의 뜻 ․ 타원의 방정식	타원, 초점, 꼭짓점, 장축, 단축, 중심
	§2. 타원과 직선	8-10	․ 타원과 직선의 위치 관계 ․ 타원과 접선의 방정식
	연습문제 실생활 문제 수학여행	11	․ 중단원 확인 학습 문제 ․ 타원에 대한 실생활 문제 ․ 타원의 성질을 이용한 건축물
3. 쌍 곡 선	§1. 쌍곡선의 방정식	11-13	․ 쌍곡선의 뜻 ․ 쌍곡선의 초점, 꼭지점, 주축 ․ 중심의 뜻 ․ 쌍곡선의 방정식 ․ 쌍곡선의 점근선	쌍곡선, 초점, 꼭짓점, 주축, 중심
	§2. 쌍곡선과 직선	14-16	․ 쌍곡선과 직선의 위치 관계 ․ 쌍곡선의 접선의 방정식
	연습문제 실생활 문제 수학여행	17	․ 중단원 확인 학습 문제 ․ 쌍곡선에 대한 실생활 문제
대단원종합문제		18-19	학습내용정리, 보충, 종합평가

I. 본시 교수-학습 지도 계획

1. 교재 및 단원명

가. 교 재 명 : 수학Ⅱ (대한교과서 : 우정호외 5인 저)

나. 단 원 명 : 대단원 : Ⅳ. 이차곡선

중단원 : 1. 포물선

소단원 : §1. 포물선의 방정식(교176쪽~180쪽)

2. 학습 주제

『포물선의 뜻과 방정식을 이해하고, 그 그래프 그리기』

3. 학습 목표

가. 포물선의 뜻과 방정식을 이해하고 그 그래프를 그릴 수 있게 한다.

4. 지도상의 유의점

가. 포물선의 방정식의 표준형 는 포물선의 정의에 따라 유도될 수 있음을 이해 시킨다.

나. 9단계에서는 포물선을 이차함수의 그래프로서 언급하고, 포물선의 축, 꼭짓점만을 간단 히 다루었으나, 여기서는 일정한 조건을 만족하는 점의 집합이 이루는 도형으로서 포물 선을 이해하도록 한다.

다. 축이 축, 축인 경우의 포물선의 방정식을 각각 유도하도록 한다.

5. 교수-학습 활동 전개 계획

◆ 수업개요 ◆

교과명	수학Ⅱ	학년/학기	3학년 1학기
단원명	Ⅴ. 이차곡선 1. 포물선 §1. 포물선의 방정식		차시	1/4
학습주제	포물선의 뜻과 방정식을 이해하고, 그래프를 그릴 수 있다.		학습환경

◆ 교수-학습 활동

단계	학습과정	교수․학습활동		학습 형태	자료 및 지도상 유의점
		교사	학생
도입 5분		<동기유발> ▶인사 및 출석 확인 ▶준비된 자료 제시 (이차곡선과 관련된 사진제공) <학습목표제시> ▶학습목표 확인 및 본시학습 안내	▶인사 ▶자료속의 이차곡선 인지 ▶학습목표 확인	일제학습	․ PPT 자료 ․ 포물선과 실생활
전개 35분		<개념정리> ▶포물선의 개념을 설명 ▶도구를 통하여 포물선 그래프 그리기 <탐구활동1> ▶종이접기 원리를 이용한 포물선 그리는 방법 설명 ▶종이접기 원리를 GSP를 이용하여 설명 -포물선의 조건 만족 <문제해결> ▶보기와 문제를 이용하여 포물선의 방정식을 이해 <탐구활동2> ▶포물선을 이용하여 반경 1m인 “위성안테나” 설계 ▶결과를 분석하여 실생활에 적용	▶포물선의 개념 인식 ▶도구를 이용한 곡선이 포물선이됨을 이해 ▶모둠별로 종이접기로 포물 선의 그래프를 그리고 방정 식을 유도 ▶모둠별로 협의를 거쳐 모둠 과제를 작성하고 모둠장이 발 표 ▶GSP조작을 통한 종이접기의 포물선을 직관으로 재구성 ▶보기와 문제 예시를 통한 포물선의 방정식 개념을 인식 ▶모둠별로 협의를 거쳐 위성 포물선과 위성안테나 관계 를 의논하고 안테나 크기, 초점의 위치를 계산하고 설 계하고 모둠장이 발표 ▶반사경, 안테나 등에 활용	일제학습 조별학습 개별학습 일제학습 일제학습 개별학습 조별학습 개별학습	∙PPT자료 ∙제작도구 ∙종이접기 ∙GSP를 통한 포물선 그리기 ∙PPT 자료 ∙포물선의 성질을 이용 ∙PPT 자료
정리 10분		<요약정리> ▶포물선 내용을 요약정리 <형성평가> ▶배운 내용을 확인 점검 PPT를 이용하여 간단히설명 (형성평가지배부) <차시예고> ▶타원의 조건 알아 오기	▶파문의 현상도 포물선의 개 념 관련 인식 ▶형성평가 풀이,	일제학습 개별학습	▶인터넷화면 ▶차시과제 제시