단면1차, 2차 모멘트의 설명부터 드리면 다음과 같습니다.
1) 단면 1차 모멘트(cm3, m3)
면적 A를 가지는 도형을 n개의 미소한 면적으로 나누어 임의의 미소 면적을 ai 로 한다.
그러면 전 도형의 면적 A는 다음과 같이 표시할 수 있다.
A=a1+a2+...+an = ∑ai
이 도형에 대하여 임의의 직교축 x, y를 잡고, 미소 면적 ai 좌표를(xi, yi )로 한다.
이것으로부터 ai yi 및 ai xi 를 구하여 이들을 전체 도형에 대하여 합계한 것을
x축 및 y축에 대한 단면 1차 모멘트라 한다.
x축 대한 단면 1차 모멘트
Qx=a1y1 + a2y2+ ... +anyn = ∑ai yi
y 축에 대한 단면 1차 모멘트
Qy=a1x1 + a2x2+ ... +anxn = ∑ai xi
단면 1차 모멘트는 (면적X거리)의 합이므로 단위는 cm3 , m3 과 같이 길이 단위의
세제곱으로 나타낸다
단면1차모멘트를 구하는 목적은 보나 여러 가지 구조물의 단면의 도심 등을
구할 때에 사용됩니다. 단순한 직사각형, 원, 삼각형 등의 도심은 금방 쉽게
구해 지지만, 복합도형에 대해서는 단면1차 모멘트를 이용하여야 구할 수
있기 때문에 단면1차 모멘트의 중요성은 굳이 말을 안해도 아실거 같네요..
수치가 크게 나오는 것은 cm (또는 m) 의 세제곱이므로, 당연히 커질 수 밖에요..
특히나, 토목이나 건축 같은 구조물의 수치가 m 단위로 가기 때문에, 기계등의
구조에서 논하는 수치보다는 훨씬 클 것입니다. 더욱이, 2차모멘트의 경우는
1차 모멘트의 단위에 cm (또는 m) 가 더 곱해지므로, 그 값이 더욱 커지죠..
도심(중심)이란, 임의의 도형에서 직교축 x, y를 적당히 선택 하면, 각 축에 대한
단면 1차 모멘트가 모두 0이 되는 직교축의 원점 (도심축 : 도심을 통과하는 직교축)
도형의 도심 G(x0, y0)은 다음 식과 같이 된다.
x0 = Qy / A y0 = Qx / A
2) 단면 2차 모멘트(cm4, m4)
면적 A를 가지는 도형을 n개의 미소한 면적으로 나누어 임의의 미소 면적을 ai라 하고
직교축 x, y를 잡고 ai 의 좌표를 (xi, yi )로 한다. 이것으로부터 ai * yi 2 및 ai * xi 2 를
구하여 이들을 전체 도형에 대하여 합계한 것을 x축 및 y축에 대한 단면 2차 모멘트라 한다.
x 축에 대한 단면 2차 모멘트
Ix = a1y12 + a2y22 + ... + anyn2 = ∑ai yi 2
y 축에 대한 단면 2차 모멘트
Iy = a1x12 + a2x22 + ... + anxn2 = ∑ai xi 2
단면 2차 모멘트는 [면적X(거리)2 ]의 합이므로 단위는 cm4, m4 과 같이 길이 단위의
네제곱으로 나타낸다.
평행축의 정리:
도형의 임의의 축에 대한 단면 2차 모멘트는 그 축에 평행한 도심축에대한 단면 2차
모멘트와 그 두 축 사이의 거리의 제곱에 도형의 면적을 곱한 것과의 합이 된다.
도심축 X 및 Y에 대한 단면 2차 모멘트를 각각 Ix, Iy 라 하고, x 및 y 축에 대한 단면 2차
모멘트를 Ix', Iy' 라 하면, Ix'= Ix + A*y02 , Iy'= Iy + A*x02 이다.
단면2차 모멘트를 구하는 목적은 우리가 흔히 말하는 구조물의 강성(휨강도)을 알기 위함이다. 단면2차 모멘트에 탄성계수를 곱하면 그게 바로 휨강성(변형에 저항하는 성질)이다. 또한, 단면2차 모멘트는 보,캔틸레버 등의 구조물의 처짐, 휨응력을 구하는 데에도 유용하게 쓰인다.