출처: https://www.fmkorea.com/7173226395
선분이 아니라 직선을 말한 게 맞습니다!
아시다시피 수학에서 직선의 길이는 무한히 긴데, 그보다 더 길어진다니? 이상하게 들릴 수 밖에 없죠.
하지만 정말 그런 직선이 존재합니다!
정확히 말하자면 너무 길어서 2차원 평면에 들어가지 않는 직선이 존재합니다.
이걸 '긴 직선'이라고 부르는데, 어떻게 만드는 지 최대한 풀어서 설명하면 다음과 같습니다.
이렇게 만든 직선은 직교좌표계에서 표현할 수 없다는 것을 위상수학적으로 보일 수 있습니다.
근데 웃긴건 점의 갯수를 따지면 보통 직선이나 긴 직선이나 숫자가 같다는 것.
도저히 납득이 안되시겠지만, 저는 이걸 일상적인 용어만으로 설명할 방법을 모르겠으니
'좋았쓰!!' 하고 넘어가셔야 합니다
물론 이런 개념을 만들어낸 건 수학자들이 심심해서는 아니고, 다 이유가 있습니다.
(주의: 이하 내용은 수학적으로 어려운 말들이 나오니 이해가 안가도 정상입니다)
일반위상수학을 배우다보면 다양체(manifold)라는 굉장히 중요한 개념이 나옵니다.
다양체를 최대한 직관적으로 설명하면 "(N차원 직교공간에 표현가능한) 도형 비스무리한 것들"이랍니다.
직선, 곡선, 곡면, 입체도형같은걸 전부 포함하는 개념이예요.
그런데 다양체의 수학적인 정의를 들여다보면...
첫줄에 직교좌표계 얘기하는 건 그럴 수 있다 치는데, 두번째줄에 괴상한 조건이 추가적으로 붙습니다.
'긴 직선'은 왜 다양체의 정의에 저런 조건이 붙어야하는지 설명하는 반례로 쓰입니다.
긴 직선은 저중에 제2가산이라는 조건을 만족하지 않아서 직교공간에 표현되지 않는 예시예요.
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