피타고라스의 정리 수포자도 이 공식만은 기억하리라..
이 공식은 쉬워 보이지만 엄청난 의미를 내포하고 있다.
그건 바로 직각 삼각형에는 특정한 비가 존재 한다는 것이다..... 응? 대단하지 않은 거 같은데?
직각 삼각형의 구성 요성을 잠깐 살펴 보자면 ABC의 세각과 그 마주보는 선분 a,b,c
그리고 선분 AB , 선분 BC, 선분 AC 이것을 빗변, 높이, 밑변이라고 한다.
이것이 삼각형의 크기에 상관없이 특별한 비율이 있다는 것 바로 그것은 삼각함수의 발견이다.
위의 그림에서
SIN A = a / h
COS A = b / h
TAN A = a / b
이 값이 늘 일정하니까
각도 별로 정리해 두면 필요할때 쓰면 된다.
삼각함수 간에도 서로 상관 관계가 있다
자 근데 이깟 직각 삼각형 비나 알아서 멀 할 것인가??
이 그림을 보면 다각형은 결국 직각 삼각형의 집합이면 알 수 있다. 당연하게도 모든 삼각형은 직각 삼각형의 합으로 나타 낼 수 있다.
즉 삼각형을 알면 모든 도형의 성질을 알 수 있는 것이다.
심지어 원조차
원을 데카르트의 좌표 위에 올려 놓으면 원을 구성하는 점들이
피타고라스의 공식과 일치한다는 걸 알 수 있다.
바로 이런 관계이기 때문이다.
사인 함수의 값을 구해보면 위의 원주를 따라가면서 값을 정할 수 있다.
이때 파이 값은 180도. 이렇게 표현하는 방법을 호도법이라고 한다. 2파이 * 반지름 = 원주이므로 360도와 비례해서 표현
이 그림 한장으로 삼각함수의 값들이 정리.
삼각형의 특성을 안다는 것은 2차원을 넘어 3차원의 공간에서도 적용된다.
예를 들어 정육각형은 사각형을 쌓아 올린것. 사각형은 직각 삼각형으로 표현 되기 때문이다.
마찬가지로 원기둥은 원을 쌓아 올린것. 원은 직각 삼각형으로 표현 될 수 있다.
순수 수학의 영역을 넘어서 실생활에서의 응용을 살펴보자.
가장 대중적으로 쓰이는 것이 삼각 측량이고 기본 원리는
원리는 삼각형의 성분 중 두각을 알고 한 선분의 길이를 알거나
두 길이를 알고 한 선분의 길이를 알면 나머지 삼각형의 성분을 알 수 있다는 것인데
위의 삼각형들은 직각 삼각형으로 쪼개서 삼각 함수를 이용하면 각 h와 x,y를 구할 수 있다.
나무의 높이를 구할 때 가장 쉬운 방법은 자신의 시선과 나무의 꼭대기를 45도로 맞추면
삼각형 내각의 합은 180도이고 한각이 90도이기 때문에 결국 나머지 각은 45도가 되고
이때 비는 1:1:루트2가 되고 우리가 원하는 거리는 높이 이기 때문에
자신이 나무에서 떨어진 거리가 나무의 높이가 된다.
나무에 오르지 않아도 나무의 높이를 알수 있는 것이다!
고대인들은 반달일때 태양과 달이 직각인건 이용해서 태양까지 거리를 구하기도 했다.
그런데 산까지 거리는 멀어서 갈 없기 때문에 자기가 알고 있는 거리 d를 측정해 놓고
각각 산 꼭대기까지 거리를 알면 위처럼 h를 구하게 되고 산의 높이를 알게 되는 것이다
머리가 똑똑하면 굳이 산을 가지 않아도 되는 것이다.
산 정상에 보면 이런 삼각점이 있는 것 볼 수 있는데
삼각형의 두각을 알고 한 길이를 알면 나머지를 알 수 있고
일본이 우리나라를 측량할때 대마도 거리는 알고 있었고 거제도와의 거리를 알고 싶다면
그 각을 측정하면 구할 수 있게 된다. 이것을 계속 확장해서
이렇게 대마도 부터 시작해서 연쇄적으로 모든 지역의 거리를 구할 수 있는 것이다.
이것은 삼각측량의 응용 중 극히 일부일뿐...
삼각형의 비밀은 여기서 끝나지 않는다. 여기에서 도출된 삼각함수는
주기성을 가지는데
푸리에라는 아저씨가 과감하게도 모든 주기를 가지는 것은 삼각 함수로 표현 할 수 있다는 것을 알게 된다
자연에서 주기를 가지는 것의 가장 대표적인 것은 전자파이다.
즉 수학적으로 파동을 이해할 수 있게 된 것
전파 정류파의 분석
삼각파
톱니파
사각파
천문학, 물리학, 화학, 통계학, 전기공학, 의료영상, 지진 관측, 신호 처리, 시계열 자료 분석, 통신, 음향학, 건축등등
주기를 가지는 모든 학문에서 사용 할 수 있는 위대한 발견이다.
이 글을 읽는 여러분도 삼각형 공부를 하면 재밌지 않을까?