출처: https://www.fmkorea.com/7689860560
2개의 크기 다른 원이 있음
겹쳐놓고 1바퀴 굴림
원주(원의 둘레) 공식은 2 x 파이 x 반지름이니
큰 원이 굴러간 거리는 4파이임
점A은 1바퀴 굴러서 점B까지 도착
큰 원은 딱 자기 둘레만큼 1바퀴 돌았으니
굴러간 거리 = 원주가 됨
근데 생각해보면 작은원도 1바퀴 굴러갔으닌까
원주만큼 굴러간거 아닌가?
작은 원과 큰 원은 굴러간 거리인
CD AB는 같은 길이니
결국 작은 원과 큰 원의 원주는 같다고 볼 수 있음
?
이게 아리스토텔레스의 원주역설(바퀴역설)
뭔가 이해가 잘 안되는데
반박은 못하겠는 찝찝함이 남음
결과적으론 이는 틀린 이해방식임
우리가 중점으로 생각하는 이동거리는
원의 줌심을 기준으로 이동한 거리임
ㄱ에서 ㄱ까지 간 거리만을 생각해서 오류가 발생한 것
ㄴ과 ㄷ의 이동경로는 살짝 다름
큰 원에 속한 ㄷ의 이동거리는 ㄴ의 이동거리보다 길고
두 점의 이동속도도 다름
이러한 점의 이동루트를 사이클로이드 곡선이라 부르는데
큰 점과 작은 점의 곡선길이가 다르다는 것을 인지해야됨
문제는 이게 원이라서 이해가 안될 수 있는데
사각형으로 보면 바로 이해됨
큰 사각형은 이동하는 경로마다 바닥에 밀착되어 있음
고로 큰 사각형의 둘레는 바닥의 이동거리와 같음
근데 작은 사각형은 뭔가 이상함
서로 붙어있지않고 뛰엄뛰엄 굴러가는데
사각형의 4면이 바닥을 전부 못채우고 있음
결국 바닥의 이동거리 =/= 작은사각형의 둘레인 것
사람들은 이를 점프 한다고 말함
점프하는 구간이 존재하니 큰 것과 작은 것의 차이도 존재한다는 것
사각형이 원이되면 원리는 똑같지만
점프하는 구간이 연속적이라서
이해하기 조금 어려운 것뿐임
여기서 가장 중요한 부분은
현재 이 글을 읽는 문과는 이해완료 됐다는점
다음껀 좀 더 이해하기 쉬움
이 문제는 1982년 미국 수능에 나온 문제임
작은 원이 큰 원의 둘레를 따라 굴러감
작은 원은 몇바퀴 굴렀을까?
작은 원의 둘레는 2파이 임
큰 원의 둘레는 6파이 임
6파이 / 2파이 = 3 이니
작은 원은 큰 원을 3번만 돌면 도착함
정답은 B
틀렸음
저 문제의 정답은
없다는게 정답임 (정답률0% 문제)
그 당시 출제위원들도 3바퀴라 생각하고 문제를 냈는데
생각해보니 아니라서 문제 자체를 무효처리함
왜 틀렸을까?
중요한건 원이 굴러갈때 자기 자신도 굴러간다는 점
간단하게 동전 2개를 붙혀넣고 돌려보면
같은 둘레지만 2바퀴를 도는걸 알 수 있음
이 동전의 회전은 2가지 관점에서 볼 수 있는데
중앙 동전의 시점으로 본다면
돌고있는 동전은 자기 둘레만큼
딱 1바퀴만 도는게 보임
한 번 머리를 돌리던가 폰을 돌려보셈
반대로 제3자의 시점에서 본다면
저 동전은 2바퀴를 도는걸로 보임
이러한 현상은
위 원주역설에서 알 수 있다시피
실질적으로 원의 이동거리가 길기 때문에 발생하는걸로도 볼 수 있음
외각의 원은 반지름 2R 에 맞춰서 움직이기 때문에
2바퀴인 4파이r 만큼 움직이는 셈
아니면 2개가 맞물려서 회전한다고 생각해도 됨
접하는 부분을 기준으로 동전 1개가 도는게 아닌
2개의 동전이 동시에 돈다고 생각한다면
고작 반바퀴만 돌았는데
1바퀴가 돈거랑 같은 효과를 보는걸 알 수 있음
사실상 동시에 반바퀴씩 돌았는데
보이기로는 1개동전이 몰빵당해서 1바퀴 돈걸로 취급된 것
아니면 진짜 간단하게 이동거리가 아예 제로인 상황을 보면
큰 원과 접하는 부분을 기준으로 작은 원이 회전을 함
이때 작은 원은 이동거리가 제로인데도
필연적으로 1바퀴를 돌아야 된다고 보면됨
결국 원을 따라 원이 굴러갈땐
+1바퀴가 된다는것을 인지해야됨
결국 이 문제의 답은
3 + 1 바퀴인 4바퀴가 정답임
결국
관점에 따라 직선으로 볼때와
제3의 입장에서 볼땐 다르다는 것을 알 수 있음
https://youtu.be/V7QcsrpRZhA?si=U8h80S6hRy4aouzB
두번째 문제의 베리타시움 영상 해설
끝