출처: https://www.fmkorea.com/9556721007
지구상에서, 정반대편에 있는 지점을 대척점이라고 합니다.
예를들어 대한민국 목포의 대척점은 우루과이 몬테비데오입니다.
목포에서 지구중심을 뚫고 반대편에서 나오면 그 지점이 몬테비데오인거죠
(정확히는 몬테비데오 앞바다이지만, 앞으로는 몬테비데오라고 하겠습니다.)
놀랍게도 지구상에는 온도와 기압이 똑같은 대척점 쌍이, 언제나 적어도 한 쌍 존재합니다.
특이하게도 이 사실은 일반인 수준에서 증명을 어느정도 설명가능합니다.
(물론 중간에 논리적인 비약이 있긴 합니다.)
이 글에서는 증명과정을 차근차근 설명해볼게요.
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1. 증명 1단계: 여름철의 온도차
우리나라가 여름일 때, 남반구의 우루과이는 겨울철이에요. 그리고 우루과이의 기후는 상당히 온화한 편.
그래서 한국이 30도를 넘나들 때, 우루과이는 10도쯤이랍니다.
아래 그림으로 나타내면 왼쪽과 같은 상황이겠죠.
(지구를 이리저리 돌려서, 목포를 북쪽 끝에, 몬테비데오를 남쪽 끝에 놓았다고 생각합시다.)
이제 온도 대신에 대척점과의 온도차를 생각합시다. 그러면 그림의 오른쪽이 됩니다.
이 때, 대척점끼리 온도차는 서로 부호만 뒤집은 값이 됩니다.
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2. 증명 2단계: 목포에서 몬테비데오로 날아가기
이제 목포에서 몬테비데오로 비행기를 타고 초고속으로 날아간다고 생각해봅시다.
(이 때, 지구 온도는 고정했다고 가정합니다.)
이동하는 경로를 따라 각 점마다 온도차가 정의되어있겠죠? 그리고 그 값은 +20에서 =20으로 변하겠네요.
그러면 경로상의 적어도 한 점은 온도차가 0이 됩니다.
고등학교에서 배우는 중간값의 정리를 생각하시면 정확합니다.
이제 목포에서 몬테비데오로 여러대의 비행기가 약간씩 다른 경로를 따라 날아간다고 생각해봅시다.
경로들의 모양은 지구본의 경도선을 아주 조금씩 움직이는 모양이라고 생각하면 됩니다.
이러면 각 경로마다 온도차가 0이 되는 점이 존재할 것이고, 그 점들은 곡선을 이루게 됩니다.
이제 그 곡선을 영온도차선이라고 부르도록 합시다.
여태 내용을 중간요약하자면 이렇습니다:
-지구상의 각 점마다 대척점과의 온도차를 생각했을 떄, 온도차가 0인 점들이 곡선을 이룬다.
-그 곡선을 영온도차선이라고 부르자
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3. 증명 3단계: 영온도차선과 대척점
위에서 정의한 영온도차선은 이런 성질을 갖습니다..
성질1) 어떤 지점이 영온도차선에 있으면 그 대척점도 영온도차선에 있다.
어떤 지점이 영온도차선상에 있다는 것은 대척점과 온도차가 0이라는 의미. (=대척점과 온도가 같다)
그러면 당연히 대척점의 기준으로도 온도차가 0입니다..
성질2-1) 영온도차선이 하나뿐이라면, 그 곡선은 대척점을 잇는 곡선이 된다.
이것도 당연해요. 어떤 점과 대척점이 둘다 곡선상에 있는데, 곡선이 하나뿐이라면 당연히 곡선으로 이어져야죠.
이 때 곡선의 모양은 바로 위 그림과 같은, 지구를 한바퀴 감는 모양이 됩니다.
성질2-2) 영온도차선이 여러개라면, 그 중에 대척점을 잇는 곡선이 적어도 1개 있다.
곡선이 여러개라면 얘기가 많이 복잡해집니다.
어떤 지점과 그 대척점이 서로 다른 곡선에 있어서, 이어지지 않을 수도 있거든요.
하지만, 여러개의 곡선 중에서, 대척점끼리 잇는 곡선이 적어도 1개 존재합니다. (바로 위 그림의 큰 곡선을 보시면 됩니다.)
이 부분만큼은 쉽게 설명할 방법이 없으니 그냥 받아들이세요.
(엄밀한 증명은 링크참조: https://mathoverflow.net/questions/284740/must-any-continuous-odd-map-from-mathbbs2-to-mathbbr-have-a-path-of-z)
성질3) 대척점을 잇는 영온도차선이 존재하며, 이 곡선은 지구를 둘로 나눈다.
위의 성질 2-1,2-2)를 종합하면 대척점끼리 연결하는 영온도차선이 언제나 존재하는 것을 알 수 있습니다.
그림을 보면 알 수 있듯이, 곡선은 지구를 둘로 나눕니다.
그 곡선이 자기 자신과 교차해서 작은 고리를 만든다든가 할 수도 있긴 한데,
이 때는 고리를 제외한 부분만 생각하면 성질3이 성립하기때문에 괜찮습니다.
여기까지 따라왔으면 이제 거의 다 온 겁니다. 남은 부분은 쉽습니다.
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4. 증명 마무리: 세비야에서 오클랜드로 날아가기
대척점을 잇은 영온도차선에 예를들어 스페인 세비야가 있다고 합시다.
그러면 세비야부터 대척점인 뉴질랜드 오클랜드까지 곡선으로 이어집니다.
이제 증명 2단계를 세비야와 오클랜드에 대해서 비행기로 날아가면서 했던 과정을 똑같이 반복하면 됩니다.
다만 온도차가 아니라 기압차를 가지고서요.
비행기 경로마다 대척점과 기압차가 0인 지점이 있을 것이고, 그 점들이 '영기압차선'을 만들겠죠?
그리고 그 중에서 대척점쌍을 잇는 곡선도 존재할겁니다.
다시 말해, 온도차가 +인 지점과 -인 점(대척점)을 잇는 영기압차선이 존재하고, 영온도차선과 반드시 교차해야합니다.
그 교차점에서는 대척점과 온도와 기압이 같습니다.
증명 끝!
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5. 보르수크-울람 정리
이 결과는 대수적 위상수학의 보르수크-울람 정리라고 부릅니다
아주 어렵게 쓰면 이렇습니다.
보르수크-울람 정리:
n차원 초구(Sn)에서 n차원 유클리드공간(Rn)으로 가는 연속함수 f에 대하여,
f(x)=f(-x)인 점 x가 초구에 존재한다
보르수크-울람 정리(2차원):
구면에서 2차원 평면으로 가는 연속함수 f에 대하여,
f(x)=f(-x)인 점 x가 구면에 존재한다
우리가 여태 봤던 내용은 보르수크-울람 정리의 2차원 버전이에요.
일반화된 증명은 호몰로지니 기본군이니하는 용어가 튀어나와서 대수위상 지식이 필요합니다.
햄-샌드위치 정리:
Rn에 N개의 가측 객체가 있을 때, N-1차원 초평면으로 각 객체의 측도를 이등분할 수 있다.
햄-샌드위치 정리(3차원):
3개의 물체가 있을 때, 한번의 평면 칼질로 각 물체의 부피를 이등분할 수 있다.
브라우어르 고정점 정리:
Rn에서 볼록 컴팩트 부분집합 K가 주어졌을 때, K에서 K로 가는 연속함수 f는 고정점을 가진다. 즉, f(x)=x인 점이 K에 존재한다.
브라우어르 고정점 정리(2차원):
어느 나라에 가서 그 나라 지도를 펼치면, 지도상의 적어도 한 점은 실제 지점 바로 위에 존재한다.
위의 두 정리들은 보르수크-울람 정리와 동치인 명제들입니다.
대수위상은 공간의 성질을 특정한 불변량(예: 구멍의 수, 감김 횟수)을 이용해 연구하는 분야.
보르수크-울람 정리와 브라우어르 고정점 정리는 대수위상에서 중요한 정리들로 꼽힙니다.
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여담1)
보르수크-울람 정리에는 두 명의 이름이 붙어있지만, 증명은 카를 보르수크가 했습니다..
스타니스와프 울람은 문제를 제시한 수학자의 이름입니다.
수학에서는 문제를 제시한 사람의 기여도 중요하다고 여겨지면 이런 식으로 이름이 붙기도 합니다.
좋은 문제를 새로 제시하는 건 결코 쉬운 일이 아니거든요.
댓펌)
그러니까 지구에 태극기를 그리면 온도와 기압이 똑같은 지점이 생긴다는거죠?
완벽하게 이해했어
아니요,
n차원 초구(S^n)에서 n차원 유클리드공간(R^n)으로 가는 연속함수 f에 대하여, f(x)=f(-x)인 점 x가 초구에 존재한다는 얘기랍니다