이차방정식에서 판별식이란?
근의 공식 중에서 근호안의 값.
즉, ax²+bx+c=0(a≠0) 이라는 이차방정식에서 b²-4ac를 판별식이라고 한다. 판별식을 D라고 표현하기도 한다.
이차방정식에서 판별식의 적용
먼저, ax²+bx+c=0(a≠0)의 해를 근의 공식을 이용하여 구해보면 x={-b±√(b²-4ac)} /2a
앞에서 근호안의 값을 판별식(D)이라고 하였다.
D에 대해서 살펴보자.
1)D>0 인 경우
D>0인 경우에는 이차방정식의 해는 {-b-√(b²-4ac)} /2a, {-b+√(b²-4ac)} /2a 총 두개의 근을 갖는다.
2)D=0 인 경우
D=0 이므로 {-b±√(b²-4ac)} /2a 이식은 {-b±√0} /2a 으로 바꿀 수 있다.
±√0 = ±0 = 0
즉, -b에 아무 것도 더하지 않은 값으로 이 때, 이 이차방정식의 근은 -b/2a로 유일하다.
즉, 중근이다.
3)D<0 인 경우
중학생들은 실수만 다루므로 근호안의 값이 음수인 경우는 다루지 않는다.
예를들어, √-1, √-7 이런 수들은 없다고 생각한다. 따라서 D<0 인 경우, x값은 수가 아니므로 근은 존재하지 않는다.
사실 더 정확하게 표기하면, 실근은 존재하지 않는다가 맞다.
고등학생들은 허수를 배우기 때문에, '두개의 허근을 갖는다.' 라고 해야 맞다.
이차방정식에서 판별식을 이용한 문제 주로 묻는 문제들은 아래 유형과 같다
1. 문자 k가 들어있는 방정식을 주어주고, '이 이차방정식은 중근을 갖는다고 했을 때 k의 값은?'
<푸는 방법>
x(미지수)에 관하여 내림차순으로 예쁘게 정리해준 뒤 D=0 으로 방정식을 세운 뒤 풀어준다.
2. 문자 k가 들어있는 방정식을 주어주고, '이 이차방정식은 해를 갖지 않는다. k의 범위는?'
<푸는 방법>
위와 마찬가지로 x에 관하여 내림차순으로 정리한 뒤 D<0으로 놓고, 부등식을 풀어준다.
고등학생의 경우 '해를 갖지 않는다.'를 '허근을 갖는다.'로
3. 문자 k가 들어있는 방정식을 주어주고, '이 이차방정식은 두개의 해를 갖는다. k의 범위는?'
<푸는 방법>
D>0 으로 놓고, 부등식을 풀어준다.
고등학생의 경우 '두 개의 실근을 갖는다.'로
4 어떤 방정식을 주어주고, '이 이차방정식은 유리수의 근을 갖지 않는다는 것을 보여라.'
<푸는 방법>
D의 값이 제곱수면 근호 밖으로 나올 수 있다. ex) √4 = 2, √25=5
D의 값이 제곱수가 아니면 근호 밖으로 못나온다. ex) √8 = 2√2, √75 = 5√3
D의 값이 제곱수가 아님을 보이면 된다.
반대로, 유리수의 근을 갖는다는 것을 보이라 하면 D값이 제곱수임을 보이면 된다.
이차함수에서 판별식의 적용
f(x)=y=ax²+bx+c (a≠0) 인 이차방정식을 생각하자.
f(x)의 그래프를 생각하자.
이 포물선과 x축의 교점의 좌표를 (n, 0) 이라고 하자.
이 것은 0=ax²+bx+c 인 이차방정식과 같다.
즉, 이차함수의 그래프가 x축과 만난다는 것은 이차방정식으로 생각했을 때, 실근을 갖는다는 것을 의미하고, x축과 만나지 않는다는 것은 이차방정식으로 생각했을 때, 실근을 갖지 않는다는 것을 의미한다.
D>0, f(x)의 그래프와 x축의 교점은 2개
D=0, f(x)의 그래프와 x축의 교점은 1개
D<0, f(x)의 그래프와 x축의 교점은 0개
이차함수에서 판별식을 이용한 문제
1. k가 들어있는 이차함수의 식을 주어주고, '이 함수의 그래프가 x축과 두점에서 만난다고 할 때, k의 범위를 구하여라'
<푸는 방법>
D>0으로 놓고 부등식을 풀어주면 k값을 구해줄 수 있다.
2. k가 들어있는 이차함수의 식을 주어주고, '이 함수의 그래프가 x축과 만난다고 할 때, k의 범위를 구하여라'
<푸는 방법>
D≥0으로 놓고 부등식을 풀어주면 k값을 구해줄 수 있다.
3. 절대부등식에서도 이용될 수 있다.
x²+x+1>0 임을 증명하여라.
<푸는 방법>
1) 완전제곱식으로 변형
x²+x+1=(x+1/2)²+3/4 (x+1/2)²의 값은 0 이상이다. (x+1/2)²≥0, 3/4 >0 이므로 (x+1/2)²+3/4 >0
2) 판별식을 적용
y=x²+x+1로 놓고 그래프를 생각했을 때 x²+x+1=y>0 y가 0보다 크다는 것은 x축과의 교점이 없다는 것을 의미한다.
따라서 x²+x+1의 판별식 D<0임을 보이면 된다.
(출처 : '이차방정식과 이차함수의 판별식 적용' - 네이버 지식iN)