pluralistic society(다원사회)
pluralistic object(다원체)
manifold(다양체) = multiplicity
https://youtu.be/ViQ6JPaSvO8?si=0m2zMzVlHq9J2fMa
manifold
monigfald (Anglian), manigfeald (West Saxon), "various, varied in appearance, complicated; many times magnified; numerous, abundant," from manig (see many) + -feald (see -fold)
fold
what is action of folding
The action of folding is the process of bending a material or object, such as a rock or a piece of paper, into a series of curves or pleats. In geology, it's a ductile deformation where rock layers bend under compression without breaking, often creating landforms like mountains. In a general sense, it is the act of creasing or layering something by bending it over on itself.
Multiplicity는 다수, 다양함을 의미하며, 분야에 따라 다수의 요소가 반복되는 정도를 나타내는 수학 용어
Latin roots: The word ultimately traces back to multiplex, a combination of multi- ("many") and -plex ("folded," "times as great")
다양체란 "아주 작은 영역을 확대해서 보면 평평하게(유클리드 공간처럼) 보이지만, 전체적인 모습은 휘어져 있을 수 있는 물체"이다
수많은 패션 잡지들(a multiplicity of fashion magazines)
'접속(connection)'의 개념은 일반적인 **미적분학보다는 주로 미분기하학에서 등장하는 추상적이고 핵심적인 개념입니다.
이는 다양한 지점, 특히 곡선이나 곡면과 같은 다양체(manifold) 상의 서로 다른 접공간(tangent space) 사이의 기하학적 정보를 연결하고 비교할 수 있게 해주는 구조입니다. 주요 개념 및 역할 서로 다른 공간의 연결: 유클리드 공간(\(\mathbb{R}^{n}\))에서는 공간 전체에 걸쳐 좌표계가 균일하므로 벡터를 한 점에서 다른 점으로 쉽게 '평행 이동'하거나 비교할 수 있습니다. 하지만 곡면이나 일반적인 다양체에서는 각 점마다 접공간이 다르고, 이들을 자연스럽게 연결하는 방법이 명확하지 않습니다. '접속'은 이러한 문제점을 해결하기 위해 서로 다른 점에 있는 벡터나 다른 기하학적 대상들을 비교할 수 있는 규칙 또는 도구를 제공합니다.평행 이동 (Parallel Transport): 접속은 곡선을 따라 한 점의 벡터를 다른 점으로 '평행하게' 이동시키는 방법을 정의합니다. 이 평행 이동의 개념은 다양체의 곡률(curvature)과 비틀림(torsion) 같은 기하학적 특성을 이해하는 데 필수적입니다.공변 미분 (Covariant Derivative): 일반적인 미분은 평평한 공간에서만 잘 작동합니다. 접속은 다양체 위에서 벡터장이나 텐서장 같은 기하학적 대상의 '미분'을 정의할 수 있도록 해주는 연산자(공변 미분)의 역할을 합니다.물리학에서의 응용: 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서 중력은 시공간의 곡률로 설명되며, 이때 시공간 상의 입자 운동(측지선, Geodesic)을 기술하기 위해 접속 개념이 핵심적으로 사용됩니다. 또한 현대 물리학의 게이지 이론에서도 중요한 역할을 합니다. 요약하자면, '접속'은 단순한 미분 계산을 넘어, 휘어지거나 추상적인 공간에서 기하학적 대상들을 일관된 방식으로 다루고 미분할 수 있도록 해주는 수학적 다리 역할을 하는 개념입니다.
Parallel transport (of the black arrow) on a sphere. Blue and red arrows represent parallel transports in different directions but ending at the same lower right point. The fact that they end up pointing in different directions is a result of the curvature of the sphere.