독도문제의 수학적 접근
- 독도는 왜 지리적, 역사적으로 우리땅이 될 수밖에 없는가?
IV. 근대이전 영유권 분쟁시 독도를 한국땅으로 결론짓게된 지리적 배경분석
VI. 울릉도에서 높은 곳에 올라가지 않으면 독도를 볼 수 없다는 일본측 주장에 대한 반론
독도는 지리적으로 울릉도에서 87.4km, 일본 오키섬에서 157.5 km 떨어진 섬이다. 우선 평면으로 보아서도 일본보다는 한국쪽에 훨씬 더 가깝다는 것을 알 수 있다.
[그림 I-1]
지리적, 역사적으로, 울릉도에서 독도가 보이는가? 어떤 경우에 보이는가? 하는 것은 한일 양국간에 독도영유권 논쟁에 있어서 중요한 쟁점중의 하나이다.
지구는 완전히 둥글다는 가정하에 지구 단면도를 그려, 울릉도에서 독도가 어떻게 보이는지? 일본에서 제일 가까운 오키(隠岐)섬에서는 과연 독도가 보이는지? 안보인다면 배를 타고 얼마나 이동해야 보이는지를, 수학 삼각함수 코사인(cosine)값 계산 원리와 빛의 굴절원리를 이용하여 계산・분석하고, 이와 아울러, 수학공식을 이용하여 “울릉도에서는 독도가 보이지 않는다”고 한 일본의 관변학자 가와카미겐조(川上健三)의 주장에 대해 반박하고자 한다.
또한, 근대이전 울릉도와 독도를 둘러싼 한일 양국간의 분쟁시 독도를 조선영토로 결론 짓게 된 배경을 지리적 측면에서 분석해 본다.
지구가 둥글기 때문에 바다의 높이가 장애가 되어 눈으로 볼 수 있는 수평선까지의 거리(distance to the visible horizon)는 눈높이에 비례해서 한정되어 있다. ‘가시거리’라고도 하지만 일기예보에서 말하는 가시거리와 혼동될 수 있기 때문에 ‘시달(視達)거리’라는 용어를 쓰기로 한다. 시달거리 계산공식은 2가지 방법으로 도출할 수 있다. 삼각함수 코사인값 계산원리를 이용하는 것과 간략하게 피타고라스 정리를 이용하는 것이다.
방법 1: 삼각함수 코사인값 계산원리를 이용한 계산공식 도출
어떤 2지점이 지구중심과 이루는 각도를 이용해 거리를 계산하고, 지구중심과 이루는 각도의 코사인값을 이용해서 높이를 계산하는 방식이다. 독도 꼭대기에서의 시달거리 계산 예시와, 울릉도에서 독도꼭대기를 볼 수 있는 최저높이 계산 예시를 통해 공식을 도출한다.
독도꼭대기에서 보는 경우 수평선까지의 거리(l)의 계산 공식 도출
그림II-1에서 그림 II-1
호의 길이는 중심각의 크기에 비례하므로
2πR : l = 360° : θ°
l = 2πR×θ°/360° ----- 1)
지구원과 접선이 이루는 각도가 직각이므로
cos(θ°)=R/(R+h)
역(逆)코사인 계산원리에 따라 위의 식을 바꾸면
arccos(R/(R+h))=θ° ----- 2)
위 식1)의 θ°에 arccos(R/(R+h))를 대입하면
l = 2πR×arccos(R/(R+h))/360
l : 독도에서 수평선까지의 거리(km), R: 지구반지름 6,378.137km
h: 독도높이(km), arccos: 역코사인 도수(°)
* 위의 공식의 도수(°)를 호도법에 의한 단위(radian)로 바꾸면
l = R×arccos(R/(R+h))가 된다.1)
독도를 볼 수 있는 울릉도 높이(H)의 계산공식 도출
cos(θ′°)=R/(R+H)이므로
H = R/cos(θ′°) - R <- θ′°를 알면 울릉도 해발 높이 H 산출 가능
= R/cos(θ°+θ′°-θ°) - R <- 전체 도수(θ°+θ′°)에서 θ°를 빼면 θ′° 산출 가능
위의 식2)에서
θ°=arccos(R/(R+h))이므로, 이를 대입하면
H = R/cos(θ°+θ′°-arccos(R/(R+h))) - R --- 3)
θ°+θ′°=((l+l′)/2πR)×360° <- 울릉도와 독도간 거리(l+l′)를 알면 전체 도수(θ°+θ′°) 산출가능
2지점간 거리를 D=l +l′로 나타내면
θ°+θ′°=(D/2πR)×360°
위 식3)의 θ°+θ′°에 (D/2πR)×360을 대입하면
H = R/cos( (D/2πR)×360 - arccos(R/(R+h)) ) - R
H: 울릉도 높이(km), h: 독도높이(km)
D: 울릉도 독도간 거리(87.4km)
방법 2: 피타고라스 정리를 이용한 계산공식 도출
방법1은 위의 그림 II-1에서 곡선거리 l, l′를 구하는 방법인데 비해, 방법2는 그림 II-2에서와 같이 직선거리 d,d′를 구하는 약식계산 방법이다.
독도꼭대기에서 수평선까지의 거리 계산공식 도출과정은 다음과 같다. 그림 II-2
그림 II-2에서
(R+h)2 = d2+R2
d2 = (R+h)2-R2 = R2+2Rh+h2-R2 = 2Rh+h2
h2은 상대적으로 아주 적은 수치이므로 무시하면
h(km)=h(m)/1000이므로
단위를 h는 m(미터)로, d는 km로 하기위해 수식을 수정하면
R에 지구반지름 6378.137km를 대입하여 계산하면
d ≒ 3.5716
2)
d: 독도꼭대기에서 수평선까지의 거리(km), h: 독도 높이(m)
같은 원리로 울릉도꼭대기에서 수평선까지의 거리 d'는
울릉도 독도간 거리(87.4km)를 D로 하면, D = d +d'이므로
H ≒ (D/3.5716 - )2
H: 울릉도 높이(m), h: 독도 높이(m)
D=87.4(km), h=168.5(m) 를 대입하여 방법2에 의해 계산한 결과는 132.02m로서, 방법1의 계산결과 132.03m와 크게 다르지 않음을 알 수 있다. 이하 방법2의 공식을 주로 사용한다.
빛의 굴절을 감안하는 경우의 계산공식
빛의 굴절현상이 발생하는 경우에는 물체가 실물위치보다 더 높이 솟아올라 보인다. 즉, 기하학적인 수평선 보다 더 멀리 볼 수 있게 되는 것이다. 울릉도에서 독도를 보는 경우에도 빛의 굴절로 인해 실제 기하학적인 독도위치보다 더 높이 솟아올라 보인다.
빛의 굴절은 공기밀도의 차이에 의한 것으로, 온도, 습도 등 여러 가지 요인에 의해 좌우되기 때문에, 빛의 굴절현상으로 인한 시달거리 연장의 효과는 일률적으로 측정할 수는 없다. 극단적인 빛의 굴절은 사막의 신기루현상으로 나타나기도 한다. 수평선까지의 기하학적인 거리(distance to the geometric horizon)는 수학적으로 증명가능한 개념인데 비해, 빛의 굴절을 고려한 수평선까지의 시달거리(distance to the visible horizon)는 어디까지나 통계적인 평균개념이다. 기하학적으로는 지구원이 더 커져, 수평선 높이가 낮아진다고 가정하여, 지구반지름에 약7/6~6/5(1.17~1.21)을 곱하는 방법으로 계산한다.
본 논문에서는 미국과 캐나다의 공신력 있는 정부기관에서 채택하고 있는 시달거리 계산공식에 따라 독도를 볼 수 있는 울릉도 높이를 산출한다. 미국 국립지리정보원(National Geospacial-Intelligence Agency, NGA)에서 는 아래의 공식에 의해 시달거리를 계산하고 있다. 캐나다 국립천문협회(The Royal Astronomical Society of Canada, RASC)도 같은 방법을 채택하고 있다.4)
d: 수평선까지의 시달거리(km), h: 어떤 지점에서의 눈높이(m)
위의 공식은 피타고라스 정리를 이용한 계산공식에서 상수 3.5716 대신에 3.9236을 사용한 것에 불과하다. 수학적으로는 지구반지름(방법1,2의 R)이 1.2068배 만큼 커진 것으로 간주하여 수식화한 것이다.5)
위의 시달거리 계산공식을 근거로 표준적인 빛의 굴절을 감안한 독도를 볼 수 있는 울릉도 해발높이 계산공식(이하 NGA공식이라 한다)을 도출하면 다음과 같다.6)
H ≒ (D/3.9236 - )2
H: 울릉도 높이(m), h: 독도 높이(m), D: 울릉도 독도간 거리(87.4km)
단순한 기하학적인 시달거리보다는 빛의 굴절을 감안한 시달거리가 더 현실에 적합할 것이다. 미국 국립지리정보원(NGA)에서도 굴절을 감안한 시달거리 측정방법을 일반적으로 사용하고 있다.
울릉도, 오키섬에서 독도가 보이는가?
울릉도에서 독도가 보이는지에 대해서는, 한일간에 “울릉도에서는 독도를 볼 수 없다”는 주장부터 “평지에서도 독도를 볼 수 있다”는 주장까지 다양하다.
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일본측 주장7) |
한국측 주장 |
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o 울릉도에서 아주 높은 곳에 올라가지 않으면 독도를 볼 수 없다 o 독도를 볼 수 있다고 하더라도 과거에는 숲이 우거져서 독도를 볼 수 없었다 |
o 날씨가 맑으면 울릉도 해변에서 독도가 보일 때도 있다 o 해발 108m 행남등대에서 독도를 볼 수 있다 |
육안으로 독도를 볼 수 있다는 것은 이미 일반카메라로 촬영된 사진8)으로도 입증되었기 때문에 더 이상 논란의 여지가 없다. 그러나 어느 정도의 높이에서 보이는지에 대하여는 여전히 논란이 있다.
울릉도에서 독도가 보이는지는 표준적인 빛의 굴절을 가정한 공식에, 거리D=87.4km, 독도 높이 h=168.5m를 대입하여 계산할 수 있다. 다만, 울릉도에서 위로 올라 갈수록 울릉도와 독도간 거리가 멀어지는 것은 고려되지 않았다. 이에 대하여는 후술한다.
위와 같이 독도해발 168.5m의 독도 꼭대기를 볼 수 있는 울릉도에서의 최저높이는 86m가 되므로, 울릉도 해변에서는 독도를 볼 수 없고, 해발 86m 높이 보다 위로 올라가면 독도를 볼 수 있다는 것을 계산 결과로 알 수 있다. (※ 그림 III-1에서는 표 VI-1과 같이 거리를 가변적인 것으로 했을 때의 높이인 88m로 나타냄)
그 반면에, 위의 공식의 거리 D에 독도와 오키섬간의 거리 157.5km를 대입해 보면 H=737.72로서, 일본 오키섬에서는 평지에서는 물론이고 해발 608m의 오키섬 꼭대기에서도 독도를 볼 수 없음을 알 수 있다.
울릉도 해변에서는 독도를 전혀 볼 수 없는가?
빛의 굴절현상으로 인한 가시거리 연장의 효과는 일률적으로 측정할 수 없음은 전술한 바와 같다. 빛의 굴절현상이 전혀 없다고 가정하는 경우에는 다음 공식에 의해 계산하면 해발 132m 이상 높이에서부터 독도를 볼 수 있는 것으로 나타난다.
빛의 굴절현상으로 인해, 단순 기하학적인 최저높이 132m 보다 더 낮은데서 독도를 볼 수 있다는 사실은 울릉도에서 생활하는 주민들에 의해서도 확인되고 있다.9) 뿐만 아니라, 미국 NGA공식은 어디까지나 표준적이고 평균적인 빛의 굴절현상을 가정한 것이기 때문에, 그림 III-1의 해발 86m보다 더 아래에서 독도를 보게 될 가능성도 없지는 않다. 그러면 울릉도 해변에서도 독도를 볼 수 있을 것인가? 울릉도 해변에서는 독도를 절대로 볼 수 없다고 단정적으로는 말할 수는 없다. 그러나 보일 확률은 아주 낮을 것으로 추정된다.
울릉도에서 하루중 어느때 가장 잘 보이나?
먼거리에 있는 섬이 비교적 잘 보이는 경우는 지는 해 또는 해진 후 밝은 어스름빛 하늘을 배경으로 실루엣으로 보이는 경우(when they are silhouetted against a bright background, such as the setting Sun, or (just after sunset) a bright twilit sky)이다.10) 미국 서부 샌디아고에서 125km 떨어진 샌클라멘트섬을 보는 경우 낮동안에는 잘 보이지 않으나, 날씨가 맑은 날 해진 직후 수분간은 볼 수 있다고 한다. 울릉도에서 독도는 87.4km로서 샌디아고의 경우보다 거리가 가깝기 때문에 주간에도 날씨가 맑아 시계(視界)가 좋으면 충분히 볼 수 있다. 다만, 해발 100m 전후의 낮은 곳에서 독도를 보려면, 미국 샌디아고의 경우와는 반대로 독도는 울릉도의 동쪽에 위치하므로, 해뜨기 직전부터 해뜬 후 수분간이 가장 적당할 것이다.
오키섬, 울릉도 해변에서 얼마나 가면 독도를 볼 수 있나?
그러면 오키섬에서는 배를 타고 얼마나 나와야 독도가 보이는가? [그림 III-1]
위의 공식은 다른 2지점간 시달거리 계산에도 적용할 수 있으므로 H=0, h=168.5를 대입하여 독도 꼭대기에서 수평선까지의 시달거리를 계산하면
시달거리 D = 50.93km가 된다.
독도와 오키섬간의 거리에서 이 시달거리를 차감하면 157.5-50.93=106.57의 값을 구할 수 있다. 즉, 오키섬에서 107km 이상 먼 거리를 배를 타고 나와야 독도를 볼 수 있다.
배위 해발 2m, 4m 높이에서 보는 경우를 가정하여 계산하면, 각각 101km, 99km 이상의 거리를 배를 타고 나와야 독도를 볼 수 있는 것으로 된다.
같은 방법으로 계산하면, 표준적인 빛의 굴절을 가정하는 경우 울릉도 해안에서는 독도를 볼 수 없고, 배를 타고 36km 이상 가야 독도를 볼 수 있다. 배위 해발 2m높이라면 31km, 해발 4m 높이에서는 29km가면 독도를 볼 수 있다.
독도에서는 울릉도, 오키섬이 보이는가?
역사적으로 독도는 무인도이므로(현재는 주민 거주) 섬에 상륙하지 않는다는 가정하에 독도 평지(해수면)를 기점으로 계산하면, 독도에서 울릉도는, 울릉도 해발 496m 윗부분을 볼 수 있다.(※그림 III-2에서는 표 VI-1과 같이 거리를 가변적인 것으로 했을 때의 높이인 524m로 나타냄)
울릉도 높이가 984m 이므로 이를 빼면
[그림 III-2]
984m-496m = 488m가 독도에서 보이는 울릉도의 높이가 된다. 이는 울릉도에서 보이는 독도크기(168.5m) 보다 약 3배 더 크게 보이는 것이다. 독도에서 울릉도가 크게 보인다는 것은, 울릉도 주민은 뱃길을 잃어버릴 염려없이 울릉도를 등뒤에 두고 그만큼 쉽게 독도에 갈 수 있었다는 사실을 입증하는 것이다.
그러나, 독도에서 오키섬은 전혀 볼 수 없다. 그림과 같이 독도에서 60km이상 더 배를 타고 나가야만 일본 영토인 오키섬을 볼 수 있다.
IV. 근대이전 영유권 분쟁시 독도를 한국땅으로 결론짓게된 지리적 배경분석
수학적 계산결과를 가지고 추정해 보면 근대이전 일본 오키섬 주민들은 독도라는 섬이 있다는 사실 조차도 알기 어려웠을 것이다. 어떻게 하다 망망대해를 한참동안 배를 타고 와서, 보이는 섬이라고는 독도와 울릉도 밖에 없는데, 독도는 일본땅, 울릉도는 조선땅이라고 생각할 수는 없었을 것이다. 자연스럽게 독도를 울릉도에 부속11)된 조선땅으로 생각했을 것이다.
한일간에는 근대이전 2번의 울릉도에 대한 영유권문제가 발단이 되어, 2번 모두 독도도 부수적으로 논의되어 조선 영토로 결론지어진 역사적 사실이 있다. 첫번째는 1692년 울릉도에서 조업하던 양국 어민간의 충돌이 발단이 되었다. 당시 일본으로 납치(두번째는 自進 渡日)된 어부 안용복의 조선영유권 주장과 양국간의 교섭으로 1699년 울릉도와 독도는 조선 영토인 것으로 결론이 났다.
두번째는, 양국간의 분쟁과는 관계없이, 1876년 시마네(島根)현 지적편입시 울릉도를 시마네현 지적에 올릴 것인가에 대한 시마네현의 질의가 발단이 되어 일본정부 자체내에서 영유권문제가 제기되었다. 당시에도 일본 중앙정부에서 太政官指令文12)(총리훈령에 해당)을 하달(1877년)하여 울릉도와 독도는 조선영토이므로 시마네현 지적에 올리지 말 것을 지시함으로써 종결되었다. 어느 경우이든 울릉도에 대한 영유권문제가 발단이 되어, 독도는 부수적으로 울릉도와 같이 조선 영토로 결말이 났다. 역사적으로 독도는 울릉도의 부속섬이라는 인식은 당시 일본내에서도 당연한 것으로 받아 들여 졌다고 할 수 있다.
부속섬으로서의 독도와 울릉도의 관계는 일본내에서 두 섬의 명칭에서도 나타난다. 섬의 명칭도, 나중에 뒤바뀌었지만, 울릉도는 다케시마(竹島), 독도는 마츠시마(松島)로 松・竹의 한쌍13)으로 인식되는 명칭이 사용되었다. 역사적으로 2번의 울릉도 영유권문제 제기시 한번도 따로 떼서 논의된 적이 없이 독도도 울릉도에 부수하여 조선영토로 인정한 데는 두 섬 모두 일본에서는 멀고, 두 섬 간은 가까운 지리적인 요인이 크게 작용했을 것이다. 울릉도 해발 100m 아래에서도 독도가 육안으로 보일 정도로 가깝다는 사실은 수학적으로도 입증가능함은 전술한 바와 같다.
“다케시마는 일본땅”의 원조격인 가와카미겐조(川上健三)는 『다케시마(竹島)의 역사 지리학적 연구』(1966)라는 책에서 다음과 같은 ‘가시거리’ 계산공식을 이용하여 울릉도 130m이하에서는 독도를 볼 수 없다고 주장하고 있다.14)
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가와카미의 계산공식 D: 가시거리(해리), H: 물체의 해면높이(m), h: 눈높이(m) |
위의 공식을 미국 NGA공식(본 논문의 공식)과 비교하기 위해
거리단위를 km로 바꾸면, 1해리=1.852km이므로
다시 H를 종속변수로 하는 식으로 바꾸면
이 된다.
미국 NGA의 계산공식과 가와카미 공식을 비교하면 다음과 같다.
가와카미 공식의 상수 3.87068은 빛의 굴절현상을 감안하지 않은 경우의 상수 3.5716보다는 훨씬 더 크고, 빛의 굴절현상을 감안한 NGA공식의 상수 3.9236에 가깝다. 전술한 바와 같이, 빛의 굴절정도는 여러 가지 요인에 의해 좌우되기 때문에 편차가 크고, NGA공식의 상수도 통계적으로 도출된 것이라는 점을 고려한다면, 가와카미 공식의 타당성을 부인할 수는 없다. 오히려 가시거리 측정공식을 독도 영유권 논쟁에 적용한 발상과 공식자체의 정확성은 높이 평가해야 할 것이다.
문제는 수학적 공식에 있는 것이 아니라, 수학공식의 적용과 그 결과의 해석에 있다. 첫째로, 공식의 적용에 있어서는, 울릉도와 독도간 거리가 87.4km임에도 50해리(92.6km)를, 독도의 높이를 168.5m가 아닌 157m를 공식에 대입하여 계산하는 오류를 범하고 있다. 가와카미의 계산과, 그의 공식에 따라 올바른 수치를 대입하여 재계산한 결과를 비교하면 아래와 같다.
가와카미 공식에 D=50해리(92.6km), h=157m를 대입하면
= 129.81m <- 잘못된 수치를 대입한 경우 독도가 보이는 최저높이
가와카미 공식에 D=87.4km, h=168.5m를 대입하면
= 92.16m <- 올바른 수치를 대입한 경우 독도가 보이는 최저높이
가와카미 공식에 의하더라도 울릉도 해발 92m 이상에서 부터 독도를 볼 수 있다는 계산결과를 얻을 수 있다. 일본측에서도 오래전부터 울릉도 해발 100m 아래에서 독도가 보인다는 것을 자인한 셈이다. 이는 미국 NGA공식의 계산결과인 86m와도 큰 차이가 없다. 어느 방법에 의하든 울릉도 해발 100m 이하 지점에서 부터 독도를 볼 수 있다. 독도가 울릉도의 부속섬이라는 것이 수학적 분석에 의해 더욱더 분명해 졌다.
위의 3가지 각각의 공식에 따라, 독도높이 10m 간격으로 계산한 독도를 볼 수 있는 울릉도 높이는 다음 표V-1과 같다.
<표 V-1> 10m 간격으로 계산한 독도를 볼 수 있는 울릉도 높이
(단위: m)
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독도높이 |
독도를 볼 수 있는 울릉도 해발높이 H | |||
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빛의 굴절을 고려하지 않은 경우 H≒ (D/3.57- |
빛의 굴절을 감안한 경우 | |||
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수평선 넘어 해발높이 h |
수평선 위로 보이는 부분 높이 168.5-h |
미국 NGA 공식 H≒ (D/3.92- |
가와카미 공식 H≒ (D/3.87- | |
|
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100.0 110.0 120.0 130.0 140.0 150.0 160.0 168.5 |
168.5(100.0%) 158.5( 94.1%) 148.5( 88.1%) 138.5( 82.2%) 128.5( 76.3%) 118.5( 70.3%) 108.5( 64.4%) 98.5( 58.5%) 88.5( 52.5%) 78.5( 46.6%) 68.5( 40.7%) 58.5( 34.7%) 48.5( 28.8%) 38.5( 22.8%) 28.5( 16.9%) 18.5( 11.0%) 8.5( 5.0%) 0.0( 0.0%) |
598.82 454.06 399.95 360.76 329.29 302.75 279.72 259.35 241.08 224.52 209.41 195.52 182.69 170.80 159.74 149.41 139.75 132.02 |
496.20 365.31 316.96 282.18 254.43 231.17 211.11 193.46 177.72 163.55 150.69 138.94 128.17 118.24 109.06 100.56 92.67 86.39 |
509.86 377.05 327.90 292.51 264.24 240.53 220.05 202.02 185.93 171.43 158.26 146.21 135.15 124.95 115.52 106.76 98.62 92.15 |
|
D=87.4km(울릉도 독도간 거리), h=0~168.5m(독도높이) | ||||
위의 표에서와 같이, 올바른 수치를 대입한 가와카미 방식과 미국 NGA방식의 계산결과는 큰 차이가 없음을 알 수 있다. 빛의 굴절을 고려하지 않은 경우를 제외하고는 어느 방법이든 그림V-1과 같이 울릉도 해발 80~90m에서 독도 꼭대기가 보이기 시작하여 170m 정도에서 독도의 절반(50%)을 볼 수 있고, 300m정도에서 독도의 대부분(80~90%)을 볼 수 있는 것으로 나타났다. (※ 그림에서는 표 VI-1과 같이 거리를 가변적인 것으로 했을 때의 높이인 88m, 524m로 나타냄)
[그림 V-1]
가와카미 주장의 두 번째 문제점은 수학공식 적용 결과의 해석에 있다. 가와카미는 그의 공식을 사용하여 배위 해발4m의 눈높이에서 독도꼭대기를 볼 수 있는 거리를
다음과 같이 계산하였다.
독도높이를 실제보다 낮은 157m로 했지만 계산상 큰 문제는 없다. 이 계산 결과에 의하여, 울릉도 독도간 거리 87.4km는 이 범위를 벗어나므로 울릉도 해발4m 배위 높이에서는 독도를 볼 수 없다는 해석이 가능하다. 그러나, 가와카미는 이 결과의 해석에 있어서, “배위에서”라는 전제도 없이 “독도에서는 울릉도가 보이지만 울릉도에서는 독도가 보이지 않는다” 고 주장하고 있다. 의도적으로 계산 결과를 왜곡되게 해석하고 있는 것이다.
또한, 울릉도에 대한 설명에서도 “울릉도는 부산으로부터 180해리, 원산에서 180해리, 일본 오키섬에서 140해리”라고 하여, 울릉도가 마치 일본에서 더 가까운 것처럼 진실을 호도하고 있다. “다케시마는 일본땅”을 외치는 사람들의 비양심적인 행태를 여기서도 엿볼 수 있다.
VI. 울릉도에서 높은 곳에 올라가지 않으면 독도를 볼 수 없다는 일본측 주장에 대한 반론
1. 올라 갈수록 울릉도와 독도간 거리가 멀어지는 문제
현재 울릉도와 독도간 거리는 한국에서는 87.4km, 일본에서는 92km로 표시하고 있다. 한국에서는 간조시 해안선 최단거리, 일본에서는 섬의 중심점간의 거리를 쓰기 때문이다. 일본과 한국 어느쪽에서 더 가까운가를 비교하는데는 각 섬의 중심점이 아닌 해안선 최단거리를 가지고 비교하는 것이 더 합리적임은 말할 것도 없다. 일본외무성 홈페이지에서는 독도와 울릉도간 거리는 섬의 중심점간의 거리인 92km, 독도와 오키섬간의 거리는 해안선 최단거리인 157km의 이중적인 기준을 쓰고 있다.15) 
[그림 VI-1]
이제까지는 수식의 단순화를 위해 울릉도와 독도간 거리는 일정한 87.4km인 것으로 가정했으나, 아래 그림과 같이 높이 올라갈수록 멀어지는 것이 현실에 좀 더 적합할 것이다.
그림 VI-1과 같이, 독도는 높이에 상관없이 거리가 일정한 것으로 가정하고, 울릉도는 섬의 중심점까지의 경사가 일정한 것으로 가정하는 경우, 울릉도와 독도간 가변적인 거리는
거리D(km) = 87.4km +높이km×(92km-87.4km)/0.984km 의 공식에 의해 산출된다.
거리를 가변적인 것으로 하여 계산한 결과를, 거리를 일정한 것으로 가정한 경우와 비교하면 표 VI-1과 같다. 거리를 가변으로 한 경우에도 독도를 볼 수 있는 가장 낮은 점은 약 2m 더 높아지는 정도의 차이 밖에 없음을 알 수 있다.
<표 VI-1> 위로 올라갈수록 거리가 멀어지는 경우와 비교
|
NGA방식 |
가와카미방식 |
수평선 위로 독도 보이는 부분 | |||||
|
거리불변 |
거리가변 |
거리불변 |
거리가변 | ||||
|
높이m |
거리km |
높이m |
높이m |
거리km |
높이m |
높이m |
비율 |
|
496.20 365.31 316.96 282.18 254.43 231.17 211.11 193.46 177.72 163.55 150.69 138.94 128.17 118.24 109.06 100.56 92.67 86.39 |
89.85 89.19 88.95 88.78 88.64 88.52 88.42 88.34 88.26 88.19 88.13 88.07 88.02 87.97 87.92 87.88 87.84 87.81 |
524.42 382.96 331.16 264.59 239.95 200.15 183.60 168.73 155.26 142.99 131.74 121.40 111.86 103.04 94.86 88.36 |
509.86 377.05 327.90 292.51 264.24 240.53 220.05 202.02 185.93 171.43 158.26 146.21 135.15 124.95 115.52 106.76 98.62 92.15 |
89.92 89.25 89.01 88.83 88.69 88.57 88.47 88.38 88.30 88.23 88.16 88.11 88.05 88.00 87.96 87.91 87.87 87.84 |
539.72 395.84 343.07 305.25 275.15 249.98 228.31 209.27 192.32 177.08 163.26 150.65 139.09 128.45 118.62 109.51 101.06 94.35 |
168.5 158.5 148.5 138.5 128.5 118.5 108.5 98.5 88.5 78.5 68.5 58.5 48.5 38.5 28.5 18.5 8.5 0.0 |
100.0% 94.1% 88.1% 82.2% 76.3% 70.3% 64.4% 58.5% 52.5% 46.6% 40.7% 34.7% 28.8% 22.8% 16.9% 11.0% 5.0% 0.0% |
|
H≒(D/3.92- |
H≒(D/3.87- |
높이-168.5=h | |||||
* 거리불변: 울릉도와 독도 거리 87.4km
거리가변: 울릉도와 독도 거리 D=87.4km+높이km×(92km-87.4km)/0.984km
2. 울릉도에서 높이 올라 갈수록 독도가 더 잘 보이는가? [그림VI-2]
높은 산에 올라 갈수록 더 멀리 볼 수 있다는 것은 누구나 알고 있는 상식이다.
기하학적으로도 이론의 여지가 없다. 그러나 멀리 볼 수 있다는 것과 특정위치에 있는 섬이 잘 보이는 것과는 별개의 문제이다. 왜냐하면, 일정 높이 이상에서는 보이는 섬이 수평선 아래로 내려와서 하늘이 아닌 바다가 배경이 되기 때문이다. 울릉도에서 독도를 보는 경우에도 마찬가지이다.
울릉도 정상인 984m 높이에서 독도를 보는 경우를 예로 들면 그림 VI-2에서 울릉도에서 수평선 까지의 시달거리
여기에서 울릉도와 독도간 거리 92km를 빼면 독도 h(m) 높이에서 시달거리 hT는 31.079km가 된다.
h=62.84(m)
따라서, 울릉도 정상에서 독도를 보는 경우 그림 VI-3과 같이 독도 아래 부분 62.84m 까지는 수평선 아래로 내려가서 바다가 배경이 되어 그만큼 잘 안 보이게 된다.
윗부분 168.5m-62.84m=105.66m 만큼만 하늘을 배경으로 하여 보인다. 이는 위 표VI-1의 ‘NGA방식’의 ‘거리가변’난에서 보면 울릉도 해발 218.75m에서 보는 것과 마찬가지 결과가 될 것이다.
[그림 VI-3] 
거기에다, 올라갈수록 거리가 멀어지는 만큼 더 잘 안보인다. 따라서 표VI-1에서 보면 524.42m 이상에서는 위로 올라갈수록 더 잘안보이는 것은 분명하다. 일본측에서 주장하는 “울릉도 아주 높은 곳에 올라가지 않으면 독도를 볼 수없는 것”이 아니라 그 반대로 일정 높이 위에서는 "높은데 올라갈수록 독도가 더 잘 안보이는 것"이다. 높은 곳에서는 지상의 공해나 해무(海霧)로 인한 시계(視界)제한을 적게 받아 더 잘 보이는 효과는 있지만, 울릉도 높이 984m 에 비해 약 100배(92km)나 먼거리에 독도가 위치하고 있기 때문에 그 영향은 미미할 것이다.16) 그러면, 524.42m 지점에서 가장 잘 보일 것인가? 수학적 분석만으로 쉽게 결론을 내릴 수는 없다. 아마도 표VI-1의 ‘NGA방식’ ‘거리가변’난에서 보는 바와 같이 294.07m 지점에서 가장 잘 보일 것으로 추정된다. 왜냐하면, 독도 전부를 볼 수 있는 524.42m 지점보다 거리가 1km나 더 가까우면서도 독도 전체의 82.2%를 볼 수 있기 때문이다. 그러나 이러한 추정은 수학적 분석의 범위를 벗어나므로 현지답사 등 좀 더 깊이 있는 연구가 필요할 것이다.
울릉도 해안쪽은 대개 급경사이고, 200~300m의 지대에 비교적 평탄한 개간적합지가 많아 현재도 적지 않은 인가가 밭을 일구고 있다.17) 이로써 미루어 보면, 1882년 본토주민이 본격적으로 울릉도에 이주하기 시작한 이래 농업에 종사하는 울릉도민은, 독도를 가장 잘 볼 수 있는 위치에서, 독도를 당연한 부속섬으로 인식하면서 생활해 왔다고 할 수 있다.
울릉도-독도(87.4Km), 오키섬-독도(157.5Km)의 상대적인 원근관계 차이는 지구 단면도를 그려 기하학적으로 분석해보면 단순한 평면적인 거리차이 157.5-87.4=70.1km(1.8배) 보다 훨씬 크다. 표준적인 빛의 굴절현상과 울릉도 높이에 관계없이 거리가 87.4Km로 일정한 것으로 가정하는 경우, 울릉도에서는 해발 86m이상 올라가면 독도가 보이기 시작하여 496m 이상에서는 독도 전부를 볼 수 있지만, 오키섬에서 독도를 보려면 107Km이상 배를 타고 나와야 한다.
오래전부터 일본의 독도문제 전문가인 가와카미겐조(川上健三)는 수학공식에 의해 울릉도 해발 130m 아래에서는 독도를 볼 수 없다고 주장해 왔으나, 가와카미의 공식에 의해 다시 계산한 결과 해발92m 이상에서 부터 독도를 볼 수 있음이 밝혀 졌다. 독도는 울릉도의 부속섬으로서, 울릉도해발 100m 아래에서도 독도를 볼 수 있다는 것을 오래전인 1966년에 일본의 독도문제 전문가도 자인한 셈이다. 또한 일본측에서는 울릉도에서 아주 높이 올라가지 않으면 독도를 볼 수 없다고 주장하고 있으나, 그 반대로 높이 올라가면 오히려 더 잘 안보일수 있다는 사실도 수학적으로 증명되었다.
항해술이 발달되지 않은 근대이전의 어민들의 입장에서 독도는 울릉도 주민들에게는 육안으로 보이는 앞바다에 있는 섬이라면, 지구 반대쪽 남미지역도 하루정도면 도착할 수 있는 현대인의 거리 감각에서 생각해보면, 에도(江戶)시대 오키섬 어민들에게 독도는, 지구 반대쪽보다 더 먼 섬으로 느껴졌을 것이다.
일본 쪽에서는 울릉도와 독도는 조선 땅이라는 기록이나 지도18)가 많이 발견되는데 반해, 조선 사료에는 독도는 일본 땅이라는 기록이 전혀 발견되지 않는 것은 이러한 지리적인 이유 때문이라 할 수 있다.
메이지(明治)시대인 1877년 시마네(島根)현의 지적편입 여부 질의에 대해, 일본의 최고 국가기관인 太政官의 指令文을 통해 “울릉도와 독도는 일본 영토가 아님”을 공식 확인한 것도, 이러한 울릉도 독도간의 근접성과, 독도와 오키섬 또는 일본 본토와의 지리적 거리감이 크게 영향을 미쳤을 것이다.
독도 영유권 문제는 지리적, 역사적으로 그 母島인 울릉도와 따로 떼어서는 생각 할 수 없다. 옛날 일본에서도 울릉도와 독도는 다케시마(竹島)와 마츠시마(松島)로, 松・竹의 대응되는 명칭을 사용하였으며, 1699년과 1877년 2번의 울릉도 영유권 문제 발생시에도 울릉도와 독도를 같이 묶어서 조선의 영토로 결론지었다.
독도는 울릉도 해발100m아래에서도 조망할 수 있는, 울릉도민의 생활권내에 있는, 울릉도에 부속된 섬이다. 부속섬의 영유권은, 양국간에 조약이나 이에 준하는 별도의 합의가 없는 한 모도(母島)의 영유권을 가지고 있는 국가에 귀속되어야 한다. 멀리 바다산19) 넘어 오키섬 주민 또는 시마네현 사람이 자기 것이라 주장하는 것은 지리적인 면에서만 보아도 사리에 맞지 않는다. 울릉도가 한국땅이라면 그 부속섬 독도도 자연히 한국땅이 되어야 하는 것이다.
[註]
1) Larry McNish, “The Horizon”, 캐나다 국립천문협회(The Royal Astronomical Society of Canada, RASC) Calgary Centre, April 25, 2007 http://calgary.rasc.ca/horizon.htm
2) Andrew T. Young, “Distance to the Horizon”, Department of Astronomy & Mount Laguna Observatory San Diego State University, 2003 http://mintaka.sdsu.edu/GF/explain/atmos_refr/horizon.html
3) 박성용, 『독도・울릉도 사람들의 생활공간과 사회조직 연구』, 경인문화사, 2008, P24-40
三平方의定理에서近似解를求하는方法, ASAHI Net
http://www.ne.jp/asahi/cccp/camera/HoppouRyoudo/Other/Ullundo/Keisan/Keisan1.htm
Diederik Willemsen, "Piloting and navigation", Sailing Issues, 5 Oct 2008 http://www.sailingissues.com/navcourse5.html
4) 미국 NGA와 캐나다의 RASC Calgary Centre는 같은 시달거리 계산방법(d≒3.9236 )을 사용하고 있으며 웹사이트에 시달거리계산기도 제공하고 있다.
미국 국립지리정보원(National Geospacial-Intelligence Agency, NGA) http://www.nga.mil/portal/site/maritime/
-> Nautical Calculators -> horizon
R에 지구반지름 6378.137km를 대입하여 계산하면
빛의 굴절이 있는 경우 NGA의 시달거리 계산공식
2)식은 1)식에 비해 R(지구반지름)이 1.2068배 커졌음을 알 수 있다.
6) 빛의 굴절을 감안한 공식 H ≒ (D/3.9236-)2의 타당성을 검정하기 위해, 삼각함수 계산원리를 이용한 공식
H=R/cos((D/2πR)×360-arccos(R/(R+h)))-R에서 R에 1.2068을 곱하면
H = 1.2068R/cos((D/2π1.2068R)×360 - arccos (1.2068R/(1.2068R+h))) -1.2068R이 된다.
2개의 다른 공식에 D=87.5km, h=168.5m를 대입하면 각각의 H값은 86.39, 86.40으로서 차이가 없음을 알 수 있다.
7) 독도와 관련한 일본의 주장은 엄밀히 말하면 일본국민 다수가 공감하는 것이 아니라 대부분 일본 극우세력의 주장이다.
8)「“울릉도에서 독도가 육안으로 보인다”의 의미는?」, 《한겨레뉴스》, 08.7.21
http://www.hani.co.kr/arti/society/society_general/299875.html
9) 박성용, 『독도・울릉도 사람들의 생활공간과 사회조직 연구』, 경인문화사, 2008, P24-40
10) Andrew T. Young “Distance to the Horizon”, Department of Astronomy & Mount Laguna Observatory San Diego State University, 2003
http://mintaka.sdsu.edu/GF/explain/atmos_refr/horizon.html
11) 신용하, 『신용하의 독도 이야기』, 살림출판사, 2005, P21
12) 박병섭, 나이토 세이추, 호사카 유지 옮김, 『독도=다케시마 논쟁』, 보고사, 2008, P114~128, P303~323
太政官 指令은 최근 1987년 호리 가즈오(堀和生) 교수의 논문 발표로 알려지게 되었고, 2006년 우루시자키 히데유키(漆崎英之) 목사에 의해 첨부 지도도 공개되어, “竹島外一嶋之義本邦關係無”에서 “竹島外一嶋”가 울릉도와 독도를 가리키는 것이 명백해졌다. 이와 관련하여 연합뉴스(06.11.20)에서 「日정부, 독도시마네현편입’ 허구성 사실상 자인」으로 보도된 바 있다.
http://news.naver.com/main/read.nhn?mode=LSD&mid=sec&sid1=100&oid=001&aid=0001471863
13) 박병섭, 나이토 세이추, 호사카 유지 옮김, 『독도=다케시마 논쟁』, 보고사, 2008, P27
14) 이한기, 『한국의 영토』, 서울대학교 출판부, 1996, P232-234
가와카미겐조(川上健三) 『다케시마(竹島)의 역사 지리학적 연구』(1966)
P251-256
15) “日本政府外務省のホームページには、竹島と隠岐島の距離は約157km、竹島と鬱陵島の距離は約９２ｋｍと書かれています。
隠岐島との距離では、一番近いところを取って、鬱陵島との距離では、中心間を取っているようです”
http://www.ne.jp/asahi/cccp/camera/HoppouRyoudo/Other/Takeshimakyori.htm
16) 이 내용은 울릉도에서 독도를 촬영한 사진으로 어느 정도 추정할 수 있다.
http://article.joins.com/article/article.asp?total_id=3231930
http://www.ullungdo.com/kimchphoto/photo06.htm
http://www.dokdo.go.kr/for/images/eng/dokdo/ul2dokdo2.jpg
17) 차종완, 신법타, 김동인, 『겨레의 섬 독도』, 도서출판 해조음, 2006, P172
김병렬, 나이또 세이츄, 『한일전문가가 본 독도』, 다다미디어, 2006, PP10-15
18) 신용하, 『신용하의 독도 이야기』, 살림출판사, 2005, P42, P87
19) 지구가 둥근데 따른 두 지점간의 바다 높이를 ‘바다산’이라 표현했다.
울릉도-독도간은 150m, 오키섬 독도간은 483m로 계산되었다.
[참고문헌]
[단행본]
1) 신용하, 『신용하의 독도 이야기』, 살림출판사, 2005
2) 박성용, 『독도・울릉도 사람들의 생활공간과 사회조직 연구』, 경인문화사, 2008
3) 박병섭, 나이토 세이추, 호사카 유지 옮김, 『독도=다케시마 논쟁』, 보고사, 2008
4) 김병렬, 나이또 세이추, 『한일전문가가 본 독도』, 다다미디어, 2006
5) 이한기, 『한국의 영토』, 서울대학교 출판부, 1996
6) 가와카미겐조(川上健三), 『다케시마(竹島)의 역사 지리학적 연구』, 1966
7) 차종완, 신법타, 김동인, 『겨레의 섬 독도』, 도서출판 해조음, 2006
[논문]
1) Larry McNish, “The Horizon”, 캐나다 국립천문협회(The Royal Astronomical Society of Canada, RASC) Calgary Centre, April 25, 2007
2) Andrew T. Young, “Distance to the Horizon”, Department of Astronomy & Mount Laguna Observatory San Diego State University, 2003
3) Diederik Willemsen, "Piloting and navigation", Sailing Issues, 5 Oct 2008
[사용한 S/W]
수학계산: 비주얼 폭스프로
그림: 플래시, 나모, 포토샵
<참고1> 울릉도 해발높이 계산공식의 비교검증표
|
빛의 굴절이 없는 경우 |
빛의 굴절이 있는 경우 |
독도높이 |
|
코사인(A) 피타고 피타고 라스(B) 라스2(B2) |
코사인(A′) NGA(B′) 가와카미 |
해발 보이는부분 비율 |
|
598.87 598.82 598.80 454.08 454.06 454.04 399.97 399.95 399.94 360.78 360.76 360.75 329.30 329.29 329.28 302.77 302.75 302.75 279.73 279.72 279.72 259.36 259.35 259.34 241.08 241.08 241.07 224.53 224.52 224.52 209.41 209.41 209.40 195.53 195.52 195.52 182.70 182.69 182.69 170.81 170.80 170.80 159.74 159.74 159.74 149.42 149.41 149.41 139.76 139.75 139.75 132.03 132.02 132.02 |
496.22 496.20 509.86 365.33 365.31 377.05 316.97 316.96 327.90 282.19 282.18 292.51 254.44 254.43 264.24 231.18 231.17 240.53 211.11 211.11 220.05 193.46 193.46 202.02 177.73 177.72 185.93 163.55 163.55 171.43 150.69 150.69 158.26 138.95 138.94 146.21 128.17 128.17 135.15 118.24 118.24 124.95 109.07 109.06 115.52 100.56 100.56 106.76 92.67 92.67 98.62 86.40 86.39 92.15 |
0.0 168.5 100.0% 10.0 158.5 94.1% 20.0 148.5 88.1% 30.0 138.5 82.2% 40.0 128.5 76.3% 50.0 118.5 70.3% 60.0 108.5 64.4% 70.0 98.5 58.5% 80.0 88.5 52.5% 90.0 78.5 46.6% 100.0 68.5 40.7% 110.0 58.5 34.7% 120.0 48.5 28.8% 130.0 38.5 22.8% 140.0 28.5 16.9% 150.0 18.5 11.0% 160.0 8.5 5.0% 168.5 0.0 0.0% |
1) 코사인(A): 빛의 굴절이 없는 경우 삼각함수 방법
H = R/cos( (D/2πR)×360 - arccos(R/(R+h)) ) - R
2) 피타고라스(B): 빛의 굴절이 없는 경우 피타고라스정리 방법
H ≒ (D/3.5716 - )2
3) 피타고라스2(B2): 빛의 굴절이 없는 경우 피타고라스정리 방법2
H = sqrt((D-3.5716)2+R2)-R
4) 코사인(A′): 빛의 굴절을 감안한 삼각함수 방법
H=1.2068R/cos((D/2π1.2068R)×360-arccos(1.2068R/(1.2068R+h))) -1.2068R
5) NGA(B′): 빛의 굴절을 감안한 피타고라스정리 방법(NGA)
H ≒ (D/3.9236 - )2
6) 가와카미: 빛의 굴절을 감안한 피타고라스정리 방법(가와카미)
D(nmile) = 2.09(
+) -> H ≒ (Dkm/3.87068 -)2
위의 내용은
영남대학교 독도연구소 『독도연구』 제5호(2008.12.30)에 게재된 논문을 인터넷에 맞게 약간 수정편집한 것입니다.
논문 요약: ☞ 「수학으로 풀어 본 독도 문제」
그림, 글 자유로이 이용하시고, 의견이 있으신 분은 tm_chung@hotmail.com 으로...