수학을 배워서 어디에다 쓰나

[수호천사]

Ⅰ. 수학을 배워서 어디에다 쓰나


기원전 3세기경 이탈리아 시칠리 섬의 시라쿠사에는 아르키메데스(287-212 B.C.)라는 유명한 학자가 살았다. 그는 임금인 히에론에게 수학을 가르치곤 했다. 하루는 임금님이 그에게 ■■수학을 배워서 어디에다 쓰는가?■■라고 물었다.

아르키메데스는 친절하게도 예를 들어 지렛대와 도르래로 무거운 물체를 들 수 있는 것 등이 모두 수학적인 원리를 이용한 것임을 보였다. 또 포물선의 성질을 이용한 포물거울로 햇빛을 모아 로마함대를 무찌를 수 있었던 것도 수학의 덕분이라고 덧붙였다. 하지만 아르키메데스 자신은 수학의 쓰임보다도 자연에 숨어 있는 섭리를 발견하는 것이 더 큰 즐거움이었다. 지금도 ■■수학을 배워서 어디에다 쓰는가?■■라고 묻는 사람들이 많다. 역사적으로 볼 때 수학은 인류 최초의 학문이다. 고대 그리스 시대에 수학은 곧 철학이었다. 화음이론, 원근법, 투시도, 측량, 천체 관측 등 모든 것이 수학에서 비롯됐다.

현대 사람들이 추구하는 문제 가운데는 ■■가장 적합한 것을 구하는 것■■이 많다. 어떤 상품을 개발할 때 최대 이윤을 남기도록 하는 것에서 인공위성을 설계할 때 발생하는 문제들이 대부분 수학적으로 해결된다. 과거에는 아무렇게나 만들어도 작동하던 것들이 과학과 기술이 발전하면 할수록 점점 더 효율적이고 적합한 것들을 추구 하기 때문이다. 한마디로 수학을 떼 놓고는 제대로 할 수 있는 일이 없다고 보면 된다. 이제 인류 최초의 학문이면서 인류 최후의 학문으로 불리는 수학이 걸어온 길을 살펴보기로 하자.




학문 탄생의 산파




고대 그리스의 수학자들은 길이 재는 법을 가르쳐줬고, 삼각형의 성질을 이용해 강을 건너지 않고도 강 너비를 알 수 있게 해줬으며, 산에 오르지 않고도 산의 높이를 알 수 있도록 했다. 달에 가 보지 않고도 달까지의 거리를 쟀다. 고대 학문의 중심지였던 알렉산드리아 도서관 관장이었던 에라토스테네스는 삼각형의 성질을 이용해 하짓날 정오에 만들어지는 막대기의 그림자를 보고 지구의 크기까지 측정했다. 또 수학자들은 천체의 운동을 관측하면서 시각을 알려줬다. 일년은 3백65일이며, 한바퀴 돌면 3백60도이고, 일년은 12달, 하루는 24시간, 1분 60 초라는 것 등이 모두 수학자 덕분이라는 얘기다.

뿐만 아니라 수학자들은 기하학을 바탕으로 땅의 넓이를 재는 법도 알려줬다. 이것은 가을에 곡식을 얼마나 거둘 수 있는가를 예측하게 해주었으며, 국가로서는 세금을 걷는 근거가 됐다. 홍수로 강이 범람해 누구 땅인지 구별하기 어려울 때에도 해결책을 제시했다. 또 수학자들은 그리스의 파르테논 신전이나 이집트의 피라미드를 설계할 때 아름다운 황금비를 제안했으며, 필요한 돌의 양을 미리 알려줬다.

1천5백여년이 지나 지구가 둥글다는 것을 발견하고, 태양을 도는 행성들의 궤도가 원이 아니라 타원이라는 것을 발견한 케플러(1571-1630)의 업적도 그리스의 기하학이 없었다면 이루어지지 못했을 것이다. 이처럼 수학은 시대마다 새로운 학문을 탄생시켰고 미래에도 그러할 것으로 예상된다.


과학을 인도하다




일반 상대성이론도 독일의 리만(1826-1866)이 비유 클리드 기하학과 공간의 개념을 정립해 1854년에 발표한 ■■리만 기하학■■이 있었기에 가능했다. 리만 기하학은 비유 클리드 기하학과 공간의 개념을 정립함으로써 아인 슈타인이 시간과 공간을 하나로 인식할 수 있도록 했다.

양자역학과 입자물리학에도 군론과 복소수이론, 확률론은 그대로 이용된다.

19세기 초 프랑스의 갈루아(1811-1832)는 5차 이상의 방정식에 근의 공식이 존재하지 않는 이유를 ■■대칭성 이론■■을 도입해 완벽하게 해결했다. 이 이론은 20세기초에 군론(group theory), 체론(field theory), 표현론(repre-sentation theory)으로 크게 발전했다. 현재 군이론은 통신을 할 때 잡음이 들어가는 것을 수정하는 방법(error correcting code)에, 또는 일부러 잡음을 넣어 보안에 신경을 쓰고자 할 때도 쓰인다.

20세기 수학자들은 ■■유한군론과 리군(Lie group)론■■을 통해 자연과 사회 및 인간의 마음에 존재하는 모든 대칭성을 찾아 그것들에 대한 도표를 만들기 시작했다. 이것은 4차원 공간이나 그 이상을 설명하고 나아가 물질의 본질을 규명하는 기본 원리로 쓰였다. 과학자들이 자연세계의 본질을 파헤치기 위해 찾으려고 했던 소립자들을 물질이라기보다 ■■대칭성의 표현■■이라고 하는 것도 같은 맥락이다.




신용카드에서 디지털 혁명까지




최근에 물리학의 양자장론과 끈이론(string theory)에서도 19세기말부터 출발해 20세기말에 매듭이론(knot theory)으로 크게 발전한 위상수학(位相數學, topology)이라는 학문이 크게 쓰이고 있다.

현대 수학에서 빼놓을 수 없는 것이 암호이론과 게임이론이다. 암호이론과 관련해 튜링(1912-1954)은 2차세계대전 당시 독일군의 암호를 해독해 영국을 전쟁에서 승리하도록 도움을 준 것으로 유명하다. 또 20세기 경제학과 정치학, 외교학 발전에 크게 기여한 게임이론은 독일 수학자 폰노이만(1903-1957)의 작품이다. 물론 튜링과 폰노이만은 컴퓨터를 발명한 장본인들이기도 하다. 컴퓨터가 오늘날처럼 발전하게 된 데에는 여러 과학자들의 힘이 컸지만, 수학자들의 역할도 무시할 수 없다. 예를 들어 불(1815-1864)의 이진법 대수체계에 대한 이론은 1940년 이후 전기회로에 이용되면서 컴퓨터를 이진 회로로 동작하는 기계로 설계하도록 했다.

현재 전 세계에서 통용되는 ■■공개키 암호■■ 의 원리도 군론과 소인수분해 이론이 응용된 것이다. 이러한 이론은 현대사회에서 개인들이 신용카드를 쓰고, 은행예금을 인출하며, e메일을 주고받으며, 핸드폰을 사용하고, 기업이나 국방외교의 기밀을 보장하는데 유용하게 쓰인다.

미래시대를 대표하는 용어로 불리는 디지털 혁명도 수학과 함께 시작한다. 프랑스의 푸리에(1768-1830)의 이론에 따르면 모든 주기적인 현상은 sin이나 cos 등 삼각함수의 합으로 나타낼 수 있다. 이 이론은 1948년 미국의 벨 실험실(Bell Lab)의 섀논이라는 수학자의 논문 ■■통신의 수학적 이론■■에 적용된다. 이 결과로 아날로그 통신시대는 막을 내렸고 디지털 혁명을 가속시켰다. 현재 머리카락 굵기의 전선에 6백40만개 이상의 신호를 처리할 수 있게 된 것이 수학자들의 공로란 얘기다. 푸리에이론은 많은 용량의 음악을 담는 CD를 탄생시켰을 뿐 아니라 지구 반대편의 사람들과 얼굴을 보면서 통화하는 것까지 가능하게 만들었다.




날씨와 미분방정식




현대인의 생활과 가장 밀접한 관련을 맺고 있는 날씨도 수학을 빼고는 설자리가 없다. 태풍이 분다든지 비가 온다든지 하는 기상변화와, 지진이 일어나고 해류가 흐르는 것들을 분석하고 예측하기 위해서는 고도의 미분방정식을 잘 풀어야 하기 때문이다. 일기예보가 어려운 이유 중의 하나는 자료를 분석하고 설계하는 수학이 어렵기 때문이다.

미분방정식과 같은 수학은 국가의 경제에도 큰 영향을 미친다. 현재 미국이 누리는 호황은 금융호황이라고 불리는데 이것은 금융수학의 바탕에서나 이뤄질 수 있는 말이다. 1973년 블랙과 숄츠 같은 수학자들은 미분방정식 이론이 금융시장에도 잘 적용되는 것을 발견했다. 금융시장의 흐름을 미분방정식을 통해 알 수 있다는 말이다. 뉴욕의 금융시장에서는 수천 명의 수학자들이 새로운 금융상품을 만들어낸다. 국민 연금이나, 퇴직금, 의료보험금 등 경제활동으로 파생되는 경영 문제와 기업평가 등은 수학자의 손에서 이뤄진다. 세계 경제의 흐름을 수학자들이 이끌어낸다고 말할 수 있다. 이렇게 현대 수학은 과학은 물론 경제분야와 일상 생활 전반에 깊게 관여하고 있다.

수학은 이공계로 갈 사람들만 공부하면 될 것이라고 생각한다면, 이것은 큰 오해다. 수학은 사람의 마음을 종합적으로 훈련시키는 학문이다. 단순히 과학을 배우기 위한 도구가 아니라 바르게 생각하고 바르게 표현하는 방법을 제공하는 언어다. 수학이 비록 실생활에 많은 도움을 주는 면이 많다 하더라도, 눈에 보이는 쓰임에만 중요성을 강조하는 것은 옳지 않다. 금전이 쓰임이 많아도 그 자체가 목적이 아닌 것과 마찬가지이다. 사람의 몸과 마음이 둘이 아니듯이, 이론과 실용도 둘이 아니다.




Ⅱ. 우애수, 완전수, 삼각수, 아라비아수


'수'없는 세상을 상상할 수 있을까? 우리 주변에서 찾아볼 수 있는 수많은 번호, 예를 들어 전화 번호, 상품 번호, 도서 번호, 자동차 번호, 우편 번호, 아파트 번호, 전철과 도로 번호, 계좌 번호, 신용카드 번호, 비밀 번호, 주민등록 번호, 수험 번호, 학번, 군번 등은 우리가 수 속에 파묻혀 살고 있음을 보여준다. 그리고 시간, 거리, 속도, 넓이, 부피, 무게 등과 같이 실생활과 불가분의 관계를 맺고 있는 개념들도 수를 이용하지 않고는 도무지 설명할 방법이 없을 것처럼 보인다.

아이들은 말을 배우면서 ■■하나, 둘, 셋, …■■하면서 수를 접하고, 더 큰 수를 말할 수 있음을 자랑스러워한다. 곧 숫자 1, 2, 3, …을 배우고, 수를 계산한다. 수는 볼 수도 없고 냄새를 맡아볼 수도 없으며 만져볼 수도 없는 추상적인 개념이지만, 자연 언어와 마찬가지로 우리의 일부가 된다.

그렇지만 수가 이런 단계까지 도달하는 데는 길고도 긴 시간이 걸렸고, 수많은 사람들의 피나는 노력 덕분에 손쉽게 수를 다룰 수 있게 됐다. 잠시 과거로 돌아가 여러 이름의 수들이 탄생한 배경을 살펴보자.


하나, 둘, 많이




원시 시대의 수학을 확인해보는 방편으로 아직도 원시 생활을 하고 있는 부족을 연구하기도 한다. 원주민들은 물건의 많고 적음을 구분할 수 있지만, 얼마나 많은 지를 분명하게 말하지 못한다. 물건의 개수를 나타내는 숫자도 없고 수 이름도 없기 때문이다. 사실 사람의 이름을 짓기가 어렵듯이 수에 이름을 붙이는 것도 매우 어려웠을 것이다. 원시 부족 중에는 수 이름이 고작 ■■하나■■와 ■■둘■■밖에 없는 경우가 있다. 그러면서 ■■많이■■는 앞의 것보다 큰 모든 수에 대한 이름이다.

말라카에 살고 있는 사카이 부족의 한 노인에게 나이를 묻자, ■■예, 저는 세 살입니다■■라고 대답했다는 이야기도 있다. 아예 수 이름이 전혀 없는 부족도 있다. 스리랑카의 베다 부족에게 코코넛의 개수를 물어보면, 그와 개수가 같은 조개 껍질을 보여주면서 ■■이만큼 많이■■라고 말한다. 호화로울 정도로 많은 수 이름을 만들어준 조상님들께 감사드려야 하지 않을까.

분명히 새로운 수를 찾고 이에 이름을 붙이는 과정은 매우 어려웠을 것이다. 그래서 수는 소중히 간직해야 할 귀중하고 신성하며 신비로운 재산이었을 것이다. 세월이 흐르면서 수에 의미가 부여됐고, 수에 대한 미신이 생겼으며, 금기 사항이 추가됐다.




가장 존경받는 수 1




수학이 성년기에 들어선 고대 그리스 시대에 수에 대한 호기심과 신비로움은 극에 달했다. 피타고라스 학파는 (자연)수가 만물의 구성 원소라고 믿었으며, 이에 따라 수 사이의 관계를 터득한 사람은 만물의 현상을 이해하고 지도할 수 있다고 믿었다.

그들은 수 하나 하나에 의미를 부여했는데, 이를테면 모든 수의 생성원으로서 1은 가장 존경받는 수이며 이성의 수였다. 최초의 짝수 또는 여성의 수인 2는 의견의 다양성을 나타냈다. 최초의 진정한 남성의 수인 3은 단일성과 다양성의 합성으로서 조화를 나타냈다. 4는 정의를 의미했는데, 원한의 해소를 권유하는 수였다. 최초의 진정한 남성의 수와 여성의 수의 결합인 5는 결혼을 의미했다. 6은 창조의 수였다. 그들의 수에 대한 신비로운 연구는 계속돼 우애수, 완전수, 다각수가 등장했다.




220과 284는 우애수




두 수 220과 284는 약수를 통해 매우 친근한 관계를 맺고 있다. 220의 진약수(자신을 제외한 약수)는 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110인데, 이것들의 합은 284이다. 또 284의 진약수는 1, 2, 4, 71, 142인데, 이것들의 합은 220이다. 서로 다른 친구를 ■■또 다른 나■■라고 역설한 피타고라스는 이 두 수에서 우정의 표상을 발견했으며, 이런 수들을 우애수■■의 쌍이라고 불렀다.

그리고 신비로운 분위기를 풍기는 우애수의 쌍이 적힌 부적을 나눠 가진 사람 사이에는 완전한 우정이 보장된 다는 미신이 생겼다. 이런 부적을 나누어 가진 한 사람이 지구의 반대편에 가 있더라도 그리고 바늘에 찔리는 정도의 가벼운 상처를 입더라도 다른 사람은 그 사실을 알게 되고 아픔을 함께 느낀다고 생각했다.

우애수의 쌍에 대한 또 다른 예로 1184와 1210, 17296과 18416 등이 있다. 많은 수학자가 새로운 우애수의 쌍을 찾아내려고 시도했고, 우애수의 쌍을 체계적으로 찾아내는 다양한 방법이 고안됐다. 암스테르담에 살고 있는 수학자 릴레는 최근에 임의로 정한 한계까지의 모든 우애수의 쌍을 계산할 수 있는 방법을 발견했고, 1백억보다 작은 우애수의 쌍 1천4백27가지에 대한 목록을 작성했다.


6일만에 창조된 완전한 세상




통상 피타고라스 학파의 업적으로 돌리는 것 중에 또다른 것으로 ■■완전수■■, ■■결핍수■■, ■■과잉수■■가 있다. 어떤 수의 모든 진약수의 합이 원래의 수와 같을 때 그 수를 완전수라 하고, 원래의 수보다 작을 때를 결핍수라 하며, 원래의 수보다 클 때는 과잉수라고 한다. 이를테면 6=1+2+3이므로 6은 완전수이고, 8은 1+2+4보다 크므로 결핍수이다. 그래서 성서에 따라 6일만에 창조된 세상은 완전했는데, 노아의 방주에 타고 있던 여덟 사람으로부터 유래된 현재의 인류는 불완전하다. 이 세상에 재난과 질병이 들끓는 이유일까.

처음 세 개의 완전수는 6, 28, 496이다. 신비로운 완전수에 대한 고찰은 진지한 수학적 연구를 유도했다. 유클리드의 ■■원론■■ 제IX권의 마지막 정리는 다음 명제를 증명하고 있다. ■■2n-1이 소수이면, 2n-1(2n-1)은 완전수이다.■■ 유클리드의 공식으로 얻는 완전수는 모두 짝수인데, 오일러(1707-1783)는 짝수인 모든 완전수가 반드시 이런 꼴이라는 사실을 밝혔다. 그래서 짝수인 완전수에 대한 연구는 2n-1 꼴의 소수에 대한 연구로 귀결됐다. 2n-1 꼴의 수를 ■■메르센 수■■라 하고, 이런 꼴의 소수를 ■■메르센 소수■■라고 한다. 메르센 수는 거대한 소수를 찾아서 기록을 세우려는 사람들에게 귀중한 도구다. 최근에 가장 큰 소수의 명예를 안았던 수는 모두 메르센 소수다(표 2). 현재(1999년 6월)까지 38개의 메르센 소수가, 따라서 38개의 짝수인 완전수가 발견됐다.

꾸준히 거대한 완전수가 발견되면서 자신이 발견한 완전수가 가장 큰 수가 될 것이라고 발표한 발로우(1776-1862)의 판단은 설자리가 없어졌다. 그는 1811년 한 책에서 n=61에 대응하는 아홉째 완전수에 대해 ■■이 수는 앞으로 발견될 완전수 중에서 가장 큰 수가 될 것이다. 왜냐하면 완전수는 쓸모없고 단지 호기심의 대상이므로 누구도 이것보다 더 큰 수를 찾아내려고 시도하지 않을 것이기 때문이다■■라고 말했다.

완전수에 대한 연구는 계속되고 있다. 그런데 홀수인 완전수는 존재할까. 이 질문은 오랜 역사를 지니고 있다. 또 쉽게 제기할 수 있고 호기심도 자극한다. 하지만 여전히 미해결된 문제로 남아 있다. 최근에 브렌트와 코헨은 홀수인 완전수가 존재한다면 적어도 3백자리의 수가 돼야 한다는 사실을 발견했다.


해바라기에 들어있는 피보나치 수열




고대 그리스 시대에는 알파벳을 숫자로 사용했기 때문에, 효율적으로 수를 나타낼 수 없었다. 피타고라스 학파는 점을 기하학적 도형의 형태로 배열해서 수를 나타내기도 했는데, 이것으로부터 ■■다각수■■가 유래됐다. 삼각형, 사각형, …으로 배열해서 나타낸 수를 각각 삼각수, 정사각수, …라고 한다(그림 2). 영어에서 스퀘어(square)는 정사각형과 제곱수를 동시에 나타내고, 큐브(cube)는 정육각형과 세제곱수를 나타내는데, 이것은 그리스 시대에 수를 기하학적으로 나타냈던 전통에서 유래한다.

삼각수와 정사각수는 각각 하나의 수열을 이룬다. 수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열중 하나가 피보나치 수열이다. 인도-아라비아 숫자를 유럽에 전파하는 데 큰 공헌을 했던 피보나치(1175-1250?)는 다음과 같은 문제를 제시했다.

한 쌍의 토끼가 매달 한 쌍의 토끼를 낳고 새로운 토끼 쌍은 두 번째 달부터 한 쌍의 새끼를 매달 낳는다면, 한 쌍의 (새끼) 토끼는 일년 뒤에 몇 쌍의 토끼로 불어나겠는가?

어렵지 않게, 이 문제는 다음과 같은 흥미로운 수열이 된다는 사실을 보일 수 있다. (각 항은 각 달의 토끼 쌍의 수이다.)

1, 2, 3, 5, 8, 13, …, m, n, m +n, …

처음 두 항은 1이고 그 뒤의 항은 바로 직전 두 항의 합과 같은 이 수열을 ■■피보나치 수열■■이라고 부른다.

단순한 흥밋거리에 불과할 수도 있는 이 수열은 수학의 여러 분야와 컴퓨터 과학에서 매우 의미있게 응용된다. 실제로 피보나치 수열과 이와 관련된 사실을 주로 다루는 학술지인 ■■피보나치 계간지■■도 있다. 1963년에 창간된 이 잡지는 매년 4-5호를 발간하며, 2000년 2월 현재 제38권 제1호가 출판됐다.

그런데 더욱 놀라운 점은 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다는 사실이다. 많은 식물의 꽃잎 수, 해바라기와 파인애플에서 시계 방향과 시계 반대 방향의 나선의 개수에서 피보나치 수열의 항을 발견할 수 있다. 그리고 식물의 줄기에서 뻗어 나온 잎(또는 봉우리 또는 가지)을 생각해 보면, 줄기의 밑 근처에 있는 어떤 잎 하나에서 수직으로 위에 있는 잎까지 도달할 때까지 줄기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면, 그 수는 일반적으로 피보나치 수열의 항이 된다.


만국 공통어 아라비아 수




수는 그 자체로 호기심을 야기하고 흥미롭기 때문에, 수를 연구하는 사람은 쉽게 눈에 띈다. 그렇지만 고대의 수 체계로 수를 나타내고 간단한 사칙 연산을 하기 위해서도 상당한 집중력과 큰 고통을 감내해야 한다. 그래서 수의 계산을 보조하는 수판이 동서양 모두에서 이용됐다.

우리가 수를 자유자재로 다룰 수 있게 된 것은 열 개의 숫자 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9가 위치에 따라 다른 자릿값을 갖도록 수를 나타내는 인도-아라비아 수 체계라는 훌륭한 수 표기법을 갖고 있기 때문이다. 고대 로마나 이집트의 숫자와 비교하면 얼마나 간단하게 나타나는지 확인할 수 있다. 특히 빈 자리를 표현할 수 있는 ■■0■■의 출현은 인도-아라비아수가 어떠한 언어보다도 보편적으로 사용되는 만국 공통어로 자리매김할 수 있도록 했다. 한마디로 모든 자릿수를 표현할 수 있을뿐 아니라 간단한 알고리즘으로 계산을 손쉽게 할 수 있다는 것이 인도-아라비아수가 세계적으로 통용된 이유다.

그런데 편리하고 영리한(?) 인도-아라비아 숫자는 처음에 어떻게 만들어졌을까. 아라비아 숫자가 어떤 합리적인 규칙이나 의미를 갖고 만들어졌을 것이라고 추측할 수 있으며, 그러기를 희망한다.

모로코 박물관장인 부지바르여사는 인도-아라비아 숫자가 그에 해당하는 개수만큼의 각을 포함하도록 형상화했다고 주장한다. 여기서 각은 크기가 1백80 인 평각보다 작은 각을 의미한다. 인도-아라비아 숫자의 탄생에 대해 다시 한번 생각해보는 것은 어떨까.



Ⅲ. 평면나라에서 공간나라로


주변을 둘러보자. 동그란 컵, 네모난 모니터, 세모난 시계 등 모든 물건들이 일정한 형태를 띠고 있다. 물건만이 아니다. 현대적인 건물로 불리는 건축 양식에서는 더욱 다양한 형태의 도형을 만날 수 있다. 수학 책에서는 별로 아름다워 보이지 않던 도형들이 새로운 삶을 부여받은 듯 한껏 자신을 뽐내고 있는 것일까. 점에서 시작해 다각형, 원, 다면체까지 다양한 형태를 띠는 도형들은 세상을 더욱더 풍요롭게 만들고 있다.

도형의 세계에서 막내둥이는 점이다. 점은 위치만 나타내고 크기는 없다. 연필로 점을 찍지만 현미경으로 확대해보면 크기가 있으므로 진짜 점은 아니다. 페인트칠을 하는 원리는 점을 움직여서 면을 만드는 것이다. 직선, 선분, 삼각형, 사각형, 다각형, 원 등은 점으로 구성돼 있는 도형세계의 또 다른 식구다. 이들과 재미있는 만남을 주선하고자 한다.


세발의자와 네발의자 차이




세발의자는 밑바닥이 어떤 모양이라도 안정되게 앉을 수 있다. 그러나 네발의자는 바닥이 편평해야 안정된다. 그 이유는 무엇일까. 세 점은 한 평면을 결정하지만 네 점은 특수한 경우에만 한 평면을 결정하기 때문이다. 바로 문제는 평면의 결정조건에 있다. 그렇다면 세 점을 선분으로 이은 삼각형을 살펴보자.

대부분의 목조 건물은 벽을 쌓고 문틀을 짜서 세울 때 대개 문틀 안쪽에 버팀목을 세워 문틀을 안정시킨다. 문틀은 대개 직사각형이다. 이는 공간의 활용을 극대화시킬 수 있는 형태이기 때문이다.

이런 구조물에 힘을 가하면 평행사변형으로 찌그러진다. 정사각형이 찌그러지면 마름모꼴이 된다. 그러나 삼각형에는 힘을 가해도 결코 찌그러지지 않는다. 이는 삼각형은 세 변의 길이가 정해지면 자동적으로 각도가 고정되기 때문이다. 유럽의 건축물은 처음부터 삼각형 형태로 구조물을 여러 개 만들어놓고 그것을 조립해나가는 트러스(truss)방식을 많이 사용했다. 성수대교를 비롯한 한강의 다리를 살펴보자. 트러스교가 어떻게 힘을 분산시키고 있는가.


곡선 나라의 왕 ■■원■■




곡선은 직선과 달리 수학자들을 꽤나 고생시킨 것으로도 유명하다. 옛날에는 원에 대해 얼마나 아는가가 수학 실력을 결정하기까지 했다. 원은 모두 닮은꼴이라는 사실로부터 ℓ/ 2r` (ℓ`은 원주의 길이, r`은 원의 반지름 )이 모든 원에 대해 일정하다는 사실이 나온다.

ℓ`/ 2r``=``π로 원주율이라 하는데 3.1415926… 로 끝이 없는 무리수다. 과거 원주율 `π를 계산해내는 것은 그 나라의 수학 수준을 측정하는 방법이기도 했다. 아르키메데스는 원에 내접한 다각형과 외접한 다각형의 둘레의 길이를 계산하는 정다각형법을 이용해 원주율을 계산했다(그림 1). 그 후 많은 사람들이 새로운 방법으로 원주율을 계산했다(과학동아 98년 6월호 참고). 그러면 원의 넓이는 어떻게 계산했을까. 원주를 2n 등분해 부채꼴로 나누고 다시 평행사변형꼴로 모은다. n`을 크게 하면 평행사변형꼴은 직사각형으로 다가가면서 원의 넓이는 S``=``πr` × r``=`πr2 이 된다. 별로 측량기구가 없던 시대에 에라토스테네스(B.C. 273-192)는 지구의 둘레를 오직 수학만으로 계산해냈다. 그는 하지가 되면 이집트 시에네에 있는 우물 바로 위에 태양이 오고, 같은 시각에 그곳으로부터 8백km 떨어진 알렉산드리아에서 태양을 보면 7.2도 기울어진다는 사실을 알았다. 원호의 길이는 중심각에 비례한다는 이론을 이용해 (지구둘레) : 800km =``360°: 7.2° 에서 (지구둘레) =``800 ×(360 /7.2)``=``40000km를 알아냈다. 현재 알려진 4만77km 과 비교하면 얼마나 정확한 것인가 알 수 있다.

■■지름에서의 원주각은 항상 직각■■이라는 사실과 관련된 이야기가 있다. 16세기 독일의 유명한 계산가 레이제(1492-1559)는 모자에 은으로 만든 컴퍼스를 꼽고 뽐내는 측량가를 만나 단시간에 누가 많은 직각을 그리는가 내기했다. 측량가가 직각자로 하나하나 직각을 그리는 동안에 레이제는 반원을 그려놓고 그 위에 많은 직각을 그렸다. 물론 승리는 레이제에게 돌아갔다. 지금도 공작물이 반원으로 돼 있는지를 검사하기 위해 직각자를 반원에 넣어 본다. 대단하지도 않은 이야기 같지만 수학이 잘 알려지지 않았던 중세에는 있을 법한 우스운 이야기다. 현재 우리가 알고 있는 많은 간단한 수학 공식들은 수학자들이 자연의 규칙성을 찾아내려고 골몰한 덕택이다. 물론 그 이득은 후세의 사람들이 톡톡히 보고 있지만 말이다.


닮음의 조화 A4 용지




두 장의 색종이를 겹쳐 가위로 자르면 완전히 포개지는 모양을 얻을 수 있다. 이때 두 도형을 합동이라고 한다. 이에 비해 닮음은 사진의 확대나 축소, 복사기의 확대나 축소에서 경험할 수 있다. 닮음이 가장 효율적으로 사용되는 복사용지에 대해 생각해보자.

A4, B4로 불리는 복사용지는 일상생활에서도 많이 사용된다. 구조적인 측면에서 축소나 확대에 유용하도록 재단돼 있기 때문이다. 즉 2배로 복사했을 때 복사지에 있는 내용이 그대로 A3 나 B3 로 옮겨갈 수 있게 돼 있다. 원리는 간단하다. 전지의 길이대 폭의 비를 x:1이라고 하자. 이것을 절반으로 자른 종이의 길이대 폭의 비는 1:x/2 다. 두 직사각형이 닮은꼴이므로 비례식 x:1=1:x/2가 성립하고 이로부터 x`=``√2`가 된다. 이렇게 전지의 폭에 대한 길이의 비를 √2 `로 택하면 반으로 자르는 과정에서 항상 이 비가 유지된다. 도형의 닮음이 실생활에 유용한 재단에 이용돼 종이의 낭비를 막고 있다는 얘기다.

A 판은 넓이가 거의 1m2 가 되도록 설계돼 있다. 원판 A0`의 넓이는 841×1189` =`999949`` (mm2`)`인데 841×1.414``=1189.174 `로 확인할 수 있다. B판의 원판 B0`는 1030 ×1456``=1499680``(mm2)`으로 약 1.5``(m2)` 가 되는데, 1030×1.414``=1456.42` 이다.



기하학이 논리적인 이유




그림의 일부를 확대한 것이 전체와 같은 모양이 될 때 자기닮음(self-similarity)이라고 하고 그런 도형을 프랙탈이라 한다. 자연을 관찰하면 이런 모양을 많이 발견할 수 있다. 자연현상에서 카오스(chaos)가 일어나는데 이 현상을 그림으로 해석할 때에도 프랙탈이 나타난다. 시어핀스키 삼각형도 간단한 형태의 프랙탈이다. 삼각형에서 출발해 중점끼리 연결한 중점삼각형을 제거해나가는 식으로 계속해나가면 시어핀스키 삼각형이 만들어진다. 이런 도형들을 연구하는 기하학을 프랙탈기하학이라 하는데 아름다운 자연을 그대로 표현하는 가장 강력한 수학이다.

그러면 이런 도형을 연구하는 기하학은 어떻게 발전했을까. 기하학은 유클리드의 원론에서 출발한다. 이것은 이집트와 바빌로니아의 실용수학의 결과를 다듬어서 체계화시킨 것으로 상당히 구조적으로 전개돼 현대 수학의 원류가 됐다. 논리적으로 따지기 좋아하는 그리스인들의 성향이 기하학에까지 묻어난 것일까. 그러고 보면 기하학의 성격, 나아가 현대수학의 성격이 논리적으로 발달한데는 그리스인들의 역할이 크다. 유클리드 기하학은 참이라고 생각되는 공리(axiom)와 공준(postulate)을 먼저 주고 삼단논법에 의해 정리(theorem)를 유도해나가는 체계를 갖는다. 예를 들어 ■■두 점은 한 직선을 결정한다.■■등의 공리를 주고 ■■삼각형의 내각의 합은 180° ■■라는 리를 증명하는 식이다. 따라서 공리와 공준(기하학적 공리)은 누구나 인정할 수 있는 명제여야 한다. 이는 현대 수학의 체계와 거의 같다. 그리스와는 다르게 다른 문명에서는 현실의 필요성에 의해 기하학이 발전했다. 예를 들어 구장산술을 보면 천문관측이나 건축을 위해 기하학을 연구했음이 나타난다.

기하학의 연구 결과는 실생활에 드러나기 마련인데 그 중 재미있는 것이 동서양에서 차이를 보이는 황금비다. 서양은 1:(1+√5 )/2≒1:1.6`를 황금분할이라 해 아름다운 것으로 여기면서 건축, 회화, 조각 등에서 이용했다. 심지어 액자, 책, 명함, 담배나 성냥갑도 황금비로 돼 있다. 하지만 동양, 특히 한국에서 기본적인 구도는 1:√2 ≒ `1:1.4`의 비율을 따른다. 분묘의 내부, 불상, 사원 등의 중요한 건축물에 1: 1.4의 비는 거의 예외 없이 사용된다. 동서양의 미적 차이가 서로 다른 황금비를 만든 것일까.


유클리드 기하에서 위상 기하까지




유클리드 원론에 있는 것처럼 삼각형과 원에 대해 연구하는 기하학을 유클리드 기하학이라 한다. 옛날 사람들은 유클리드 기하학 이외에는 상상을 하지 못했다. 그러나 새로운 기하학이 가능하다는 사실이 밝혀졌다. 발견의 출발은 평행선 공준(■■한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점이 주어졌을 때 그 점을 지나고 그 직선과 만나지 않는 직선은 단 하나 있다. 이 직선을 평행선이라 한다■■)이 특이하게도 다른 공리나 공준으로부터 유도될 수 있지 않을까를 증명하려고 노력한데 있다. 사실상 증명이 불가능한 것을 증명하려고 노력하면서 사케리는 비유클리드 기하학의 성질들을 발견했다. 결국 유클리드 기하학의 절대 권위를 부정하는 행위, 즉 평행선 공준을 부정해 평행선이 없다는 기하학과 평행선이 무한히 많다는 기하학이 탄생하는데 이를 비유클리드 기하학이라 한다.

구면에서 대원을 직선으로 보면 평행선이 없다는 비유클리드 기하학이 되고, 단위원에서 그 원에 수직인 원이나 직선의 단위원 내부 부분을 직선으로 보면 평행선이 무한히 많다는 비유클리드 기하학이 된다. 직선을 곧은 선으로 보지 말고 공리나 공준을 만족하는 그 어떤 것으로 보는 결단이 필요했다는 것이다.

나중에 비유클리드 기하학은 가우스가 토지측량을 수학적으로 처리하면서 발전시킨 곡선과 곡면의 기하학인 미분기하학으로 편입된다.

사람의 눈은 보통 원근을 구분할 줄 아는데 이는 사영기하적으로 사물을 보기 때문이다. 레오나르도 다 빈치의 ■■최후의 만찬■■이 아름다운 것도 사영기하학적으로 원근법이 완벽하게 구현됐기 때문이다. 현재 디지털 애니메이션으로 불리는 것들도 사영기하학 없이는 탄생할 수 없는 분야다. 사영기하학이 그만큼 실감나는 영상을 만드는데 기초가 된다는 말이다.

기하학은 한마디로 공간에 대한 연구이고 이러한 기하학을 대표하는 것이 위상기하학이다. 위상기하학은 연속적인 변형에 의해 불변이 되는 성질을 다루는 기하학으로 양자역학에서 등장하는 방정식 등을 해석하는 방법론을 제공한다. 즉 게이지변환처럼 상호작용을 표현하는 함수(예를 들어 포텐셜)를 변화시키는 특정한 규칙들에 적용된다. 이 규칙에 의해 변화된 함수에 의해서도 실제적인 물리량(예를 들어 전기장)이 변하지 않으면 게이지 변환에 불변이라고 한다. 맥스웰의 전자기학 이론이 게이지 변환에 불변인 것이 알려지면서 모든 가설이 이론으로 자리잡는데 이것은 필수조건이 됐다. 산의 높이를 측정하는데서 출발한 기하학이 이제 새로운 과학 이론의 출현을 돕고 있는 것이다.


Ⅳ. 수학은 왜 어려운가?


은혜는 지금 수학 때문에 한 걱정이다. 어떻게 수학만 이리도 못할 수 있을까. 선생님이 풀 때는 잘 알 것 같다가도 시험 문제만 풀려고 하면 영 생각이 안나니 말이다. 또 어디서 많이 본 문제 같은데 어디서부터 손을 대야할지 몰라 이 문제, 저 문제에 조금씩 손만 대다 말아 버린다. 초등학교때는 수학이 쉬웠는데 왜 점점 어려워지는지. 요즘은 수학 시간만 되면 머리가 아프고 배도 살살 아프다. 그리고 수학 시간은 너무 길게만 느껴진다.


몸으로 느껴야 한다




고등학교 2학년 교실에서 ■■수학■■하면 떠오르는 말을 쓰도록 한다면 어떤 말이 가장 많이 나올까. 교사들은 구동성으로 ■■어렵다■■를 꼽는다. 정말 수학은 어려운 것일까. 장훈(한성과학고)교사에 따르면 소수의 우수한 학생들을 제외하고 대부분의 학생들에게 수학은 어렵다. 왜냐하면 수학은 형식적인 언어이기 때문이다. 특히 학년이 올라갈수록 수학을 더 어렵게 느끼는 것은 형식적인 언어의 수준이 더 높아지므로 당연한 말이란다.

대부분의 사람들은 어렸을 때 수학적인 사고를 경험하지 못한다. 이런 상황에서 갑자기 피타고라스의 정리, 수열의 합, 미분방정식을 배우는 것은 무리다. 수학자들이 오랜 시간 고민한 끝에 도달한 수많은 정리들을 수업시간 10-20분 안에 이해하기를 바라는 것 자체가 문제의 출발점이 아닐까. 장훈 교사는 이에 대해 ■■수학을 체험할 필요가 있다■■고 주장한다. 원의 면적을 πr2이라고 외우기 전에 원을 작게 잘라 직사각형 형태로 만들어 면적을 구해보고, 아르키메데스의 사고 천칭을 이용해 원기둥의 부피와 원뿔 부피의 관계를 알아내고, 회전식 수조로 피타고라스의 정리를 눈으로 보고 가슴으로 느껴야 한다는 것이다.

이것에 대해 ■■지금도 진도 나가기 빠듯한데, 언제 뭘 만들어 본다는 말인가■■라고 생각하는 교사들이 많을 것 이다. 하지만 그렇게 진도 나가서 얻은 것은 무엇일까. 남호영교사(대림여중)도 가르치는 방법이 바뀌지 않으면 수학이 어려운 과목으로만 인식되는 길을 피할 수 없다고 말한다. 이를 위해 현재 수학교사들의 움직임은 발빠르다. 수학교사들이 93년부터 ■■수학사랑■■이라는 모임을 만들어 세미나와 토론을 통해 수업 현장에서 직접 활용할 수 있는 수업 자료와 교구를 만들어 활용하고 있는 것이다. 조윤동(서초전자공고)교사에 따르면 수학사랑에서 개발된 교구와 퍼즐, 놀이와 수업안 등은 학생들이 직관적으로 수학을 느끼게 하는데 목적이 있다. 대부분의 수학교사들이 수학에서는 직관적인 인식이 중요하다는데 동의하고 있다는 것도 덧붙이면서 눈으로 보고 손으로 느끼는 수학의 필요성을 강조한다.


가장 소중한 사고 과정




그렇더라도 수학하면 빼놓을 수 없는 것이 문제풀이다. 사실 학생들이 많은 시간을 투자하는 시간 역시 문제풀이다. 수학은 기초적인 개념 위에 새로운 정의나 정리를 세워 더 고급의 지식으로 논리적으로 전개해 나가기 때문에 어떤 개념을 배운 후에는 반드시 연습해야 한다. 일부의 극히 우수한 학생들에게는 그런 과정이 필요없을지 모르지만 대부분의 보통 학생들에게는 연습문제를 풀어 그러한 유형의 문제를 익히는 일은 대단히 중요하다.

문제를 해결했다는 것은 수학적인 개념을 이해했다는 가장 명확한 증거가 된다. 하지만 수학자들이 학생들의 문제풀이에서 기대하는 것은 정답만이 아니다. 바로 어떻게 생각해 정답에 이르게 됐는가 하는 과정이다. 문제를 해결할 때 학생이 어떤 사고과정을 거쳤는가는 답보다 훨씬 중요하다. 특히 문제를 풀 때마다 기존에 알고 있던 지식만을 이용하는 것이 아니라 새로운 방법을 찾아내려고 하는 것은 수학을 통해 창의적인 사고를 경험할 수 있는 최고의 기회다.

하지만 대부분의 학생들은 문제풀이 방법을 능동적으로 생각하기 보다 교사의 설명을 수동적으로 받아들이려는 경향이 있다. 그리고 교재나 참고서의 풀이를 보며 어떻게 풀어놨는가를 눈으로 확인한다. 물론 여기서는 문제를 푼 결과만을 볼 수 있을 뿐이며, 푸는 과정과 어떻게 생각하고 문제를 풀어나가는가를 배울 기회는 거의 없다.

힘들더라도 스스로 생각을 하고 문제를 해결해야 개념을 이해할 수 있다. 그래야 다른 유형의 문제도 같은 개념이라면 간단하게 해결할 수 있다. 응용력이 길러진다는 말이다. 문제를 풀려고 할 때 어디서부터 어떻게 풀어야 할지 막막하다는 학생들의 대부분은 직접 문제를 해결하는데 대한 두려움을 안고 있다. 이것은 생각하기를 기피하는 학생들의 전형적인 특징이기도 하다.


나만의 방법으로 문제 해결




요즘 교육에서 최대의 목표는 창의성이다. 이에 대해 수학자들은 창의성을 기대할 수 있는 학문의 으뜸으로 수학을 꼽는다. 하지만 현장교사들의 지적대로 현재로는 학생들에게 수학적인 창의력을 기대하기는 어렵다. 학생들에게 어느 정도의 수학적 사고력과 수학적 문제해결력은 기대할 수 있으나 수학적 창의력까지는 기대할 수 없다는 말이다. 수학적 창의력은 창의적인 문제해결 과정을 통해 수학문제를 해결하는 능력이다. 그것은 이미 알고있는 지식, 개념, 원리, 문제해결 방법을 새롭게 관련짓거나 자신이 새롭게 문제 해결 방안을 만들어 수학문제를 해결하는 능력이다. 수학적 창의력은 가장 고차적인 수학적 사고능력이다.

그렇다면 수학적 창의력을 기르기 위해서는 어떻게 해야할까. 무슨 이론이라도 있는 것일까. 안타깝게도 특정한 이론은 없다. 단 창의력은 직관적인 능력과 관련되며, 개개인에게 가장 중요한 것은 사전에 연관성이 없던 개념들을 연관시킬 수 있도록 사고의 폭을 넓히는 것이 중요하다고 인식될 뿐이다. 이렇게 말로만 하면 수학적 창의력에 대한 느낌이 와 닿지 않는다. 간단한 문제를 통해 수학적 창의력이 낮은 수준과 높은 수준의 문제 해결을 살펴보자.


▣ 디오판토스의 방정식 문제

나는 생의 1/6은 유아로, 1/12는 소년으로, 1/7은 총각으로 살았다. 결혼한 지 5년 후 아들을 낳았고 아들은 나보다 4년전에 죽었는데, 아들은 나의 삶의 반을 산 셈이다. 나는 몇 살에 죽었는가?


<수학적 창의력이 평범한 수준의 풀이>


문제를 분석하면 선형 모형을 만들 수 있다.

x: 내가 죽었을 때의 나이, y: 아들의 나이

x/2=(1/6+1/12+1/7)x+5+4

x=84, y=42


<수학적 창의력이 가장 높은 수준인 풀이>


문제를 해결할 때 가장 창의적인 방법은 직관과 경험, 그리고 문제에 내재된 가정을 통해 푸는 것이다. 이 문제의 이면에 숨겨져 있는 가설은 다음과 같다.

나이는 0이상 100이하 정도의 양의 정수로 표현된다.

나이의 1/6, 1/12, 1/7도 정수로 표현될 수 있는 인생의 한 시점이다.

0과 100 사이에 6, 12, 7의 배수가 많지 않다.

이러한 조건에서 이들 수의 배수는 84뿐이다.

전형적인 방정식 문제를 창의적으로 해결한 예다. 남호영교사에 따르면 이러한 해결 능력은 확실한 지식과 풍부한 경험을 요구한다. 이제 문제집의 수많은 문제를 누구나 같은 방식으로 해결하기 보다 한 문제라도 나만의 방법으로 해결해보는 것은 어떨까. 국제수학올림피아드에 참가하는 학생들을 지도한 방승진교수는 우수한 성적을 거두는 학생들이라도 창의적인 측면에서는 많이 미흡한 것이 사실이라고 귀띔한다. 덧붙여 진도 중심의 수학교육 방식을 탈피해 연구주제 중심의 수학교육을 제시한다. 간단한 피타고라스 정리를 1백여 가지가 넘는 다양한 방법으로 증명해봄으로써 자연스럽게 창의적인 사고를 경험할 수 있다는 말이다.


수학에서의 남과 여




흔히 여학생은 수학을 못한다고 생각한다. 정말 그럴까. 권오남(이화여대 수학교육과)교수에 따르면 초등학교 저학년까지는 남녀의 차이가 거의 없지만 초등학교 고학년부터 중학교까지 는 남학생이 우세하고, 그 차이는 고등학교에서 점차 심화된다. 또 여학생들은 계산과 같은 낮은 인지단계의 사고를 요구하는 문제에서, 남학생들은 추론이나 다단계 문제 풀이와 같은 높은 인지 수준의 문제를 잘 해결한다. 수학적 능력의 성별차이가 학년이 올라감에 따라 가중되는 것과 같은 맥락이다. 그리고 공간능력을 필요로 하는 기하과목에서는 특히 남학생들의 능력이 뛰어나다. 이것은 남학생들이 성장과정에서 공간능력을 발달시킬 수 있는 블록이나 장난감을 접할 기회가 여학생보다 많기 때문이라고 설명될 수 있다.

또 수학을 공부하는데 있어 중요한 자신감도 남녀 차이가 크다. 남학생은 성공을 자신의 능력에 의한 것이라고 보는 반면 여학생들은 노력이나 운으로 돌리는 경향이 많다. 한마디로 여학생들은 남학생보다 자신감이 부족하다. 심지어 수학적 능력이 동등한 학생들일지라도 자신감에서는 차이를 보인다. 또 여학생들은 남학생들보다 수학의 유용성에 대해 부정적인 견해를 갖고 있다. 남호영 교사에 따르면 여학생들은 수학이 남자에게 필요한 과목이라고 생각할 뿐 아니라 자신들의 미래에 수학은 큰 기여를 하지 않는다고 생각한다. 이러한 생각은 수학을 공부하는데 가장 큰 약점으로 작용한다. 학습에 있어 자신감이나 필요성은 그 어떤 요인보다 중요하다는 것은 이미 알려진 사실이다. 나이가 들면서 점차 심화되는 수학적 능력의 남녀 차이는 교육환경과 사회문화적인 배경의 영향이 타고난 능력보다 크게 작용된 결과라고 말할 수 있다.

수학을 통해 세상의 질서를 읽으면 과학의 이론은 물론 경제분야의 흐름을 읽어낼 수 있다. 수학을 아름답다고 이야기하는 사람은 이것을 파악한 것이다. 하지만 수학은 결코 쉽지 않다. 1999년 제40회 아시아-태평양 수학올림피아드에서 금상을 수상한 박영한군(경기과학고 3년)에게도 수학은 어렵다. 하지만 박군은 어려운 문제일수록 큰 희열을 가져다준다고 말한다. 골똘히 문제에 집중하다 해결의 실마리를 찾으면 그것처럼 시원한 것이 없다는 것이다.

사실 현재 학생들이 수학을 기피하는 이유 중의 하나가 생각하기를 싫어하는데 있다. ■■학생들은 빠른 미디어 문화에 젖어있어 기다릴 줄 모르고 끈질기게 매달려 생각하려 들지 않는다■■고 말한 장훈교사의 지적도 같은 맥락이다. 남호영교사는 생각을 끈질기게 하도록 하는데 가장 방해가 되는 것은 어렸을 때부터의 학습 방법이라고 말한다. 학습지 중심으로 이뤄지는 수학 문제풀이는 학생들로 하여금 늘 정확한 답만을 요구한다는 것이다. 이것은 학년이 올라갈수록 심해진다. 중고등학생이 돼서도 항상 관심은 정답에만 있다. 남호영 교사는 ■■심지어 주어진 답이 틀리고, 자신이 옳았음에도 문제해결 과정을 체크하려 들지 않는다■■면서 정답에만 관심을 갖는 태도를 비판한다.

현재 청소년들의 가장 큰 특성은 개성이 강하다는 것이다. 이것은 수학자들도 마찬가지다. 수학자들은 다른 사람이 증명한 것을 인정하려들지 않고 자기만의 방법으로 증명하려고 한다. 그래야 무슨 정리 앞에 자신의 이름이 들어가기 때문일까. 개성이 강한 n세대들이 끈기있게 생각할 줄 아는 태도를 갖는다면 수학은 보다 많은 가능성의 미래를 열어 줄 것이다.




수학을 잘하는 방법


마음가짐


1. 실수를 두려워하지 말자.

2. 수치심을 갖지 말자.

3. 서두르지 말자.

4. 해답을 보지 말자.

5. 주관식 문제를 풀자.


행동지침


1. 수학공부는 장기전이다.

따라서 수학을 얼마나 ■■잘 하느냐■■ 보다 얼마나 ■■좋아하느냐■■ 가 중요하다.

● 갑자기 하기 힘들므로 매일 수학문제를 푸는 습관이 중요하다.

● 이해하기 힘들므로 수학공부에는 예습이 중요하다.

● 언제나 시작할 수 있으므로 수학을 포기할 필요는 없다.

2. 기초가 중요하다.

● 문제해결의 과정과 해결방법을 이해하자.

● 교과서를 잘 공부하자.

● 해답을 보지 말자.

3. 먼저 이해하고 나중에 외우자.

4. ■■외우는 수학■■에서 ■■생각하는 수학■■ 으로 전환하자.


수학문제의 해결과정


문제이해 ----> 해결계획 ----> 계획실행 ----> 반성




●문제이해

■■구하고자하는 것은 무엇인가?■■ ■■제공된 정보나 자료는 무엇인가?■■ 와 같은 질문에 답해야한다.




●해결계획

식 세우기, 그림 그리기, 표 만들기, 규칙성 찾기, 목록 만들기, 논리적 추론, 거꾸로 풀기, 예상과 확인, 가르기, 숫자를 채워서 계산하기, 특수화(극단적으로 생각하기), 열거하기 등의 방법을 계획한다.




●반성

쓰여지지 않은 조건이 있는가, 다른 풀이가 있는가, 논리적인 비약이 없었나를 검토한다. 그리고 자신의 사고과정이 논리적인가도 되짚어본다.

내용출처 : 본인작성
이 글은 "대　　출 카페의 『대출질문』지식"에서 작성된 글입니다. >> 원문보기

Re: 수학상식 몇가지만요

작성자: 오유미짱 (레벨1)

등록일:05.07.22

신고

공부 잘하는 법

어떻게 하면 공부를 잘할 수 있을까. "학문에는 왕도가

없다"는 말처럼 성적 향상에는 노력외에 별다른 성적은 늘

바닥인 학생이 있다. 공부를 게을리 해서 성적이 하위권이

라면 이는 당연한 결과지만 만약 열심히 공부했는데도 성적

이 잘 오르지 않는다면 자신의 학습 방법이 효과적인지 한
번쯤 뒤돌아 볼 필요가 있다.

독서는 속독, 메모, 정독, 암기, 복습의 5단계

학습량 기준해 계획표 구체적으로

노트필기는 항목분류, 색구분 효과적

집중 잘되는 시간대 최대한 활용해야

1. 효과적인 독서법

크게 5단계이다. 우선 교과서를 목차 중심으로 처음부터 끝

까지 쭉 훑어 읽는다. 전체 내용을 파악하기 위한 과정이므

로 읽다가 모르는 것이 나와도 그냥 넘어 간다. 책을 속독

한 뒤 주제가 무엇인지 그리고 궁금한 것들을 종이에 메모

해 본다

다음은 밑줄을 그어가며 읽는 정독 단계. 호기심이 일었

던 부분을 집중적으로 읽는다. 주요 개념을 파악하고 읽다

가 모르는 말이 나오면 반드시 앞장으로 다시 넘어가서 확

인한다. 보통 이정도만 해도 책 한 권을 완전히 숙독한 상

태다.

다음은 시험을 대비하기위한 암기과정. 큰 흐름을 머리속

으로 그린 뒤 그 내용을 도식으로 정리하고 주요 내용이나

개념을 암기한다.

마지막으로 복습. 교과서에 밑줄쳐진 부분을 다시 한번

일고 암기한 것을 다시 한번 확인한다. 이 과정을 충실히

하면 기억이 2배이상 오래 지속된다.

2. 학습 계획표 짜기

[아침 9시-11시 공부, 11시-오후 1시 점심 및 휴식. 오후 1

시-4시 공부....]. 이와 같은 학습 계획표는 실패할 확률

이 99%이다. 학습 계획표는 공부 · 휴식 등으로 막연하게

짤 것이 아니라 학습량 중심으로 구체적으로 짜야 한다. 학

습 계획표를 세우려면 큰 계획이 서야 한다. 우선 무슨 과

목을 어떤 교재로 몇 시간 동안 공부할것인지 정한다. 예

를 들어 300쪽 분량의 수학 문제집을 1달 동안 풀기로 결정

했다면 '하루에 10쪽씩 공부한다'는 30일 계획을 세우고 학습 계획표도 '아침 9시-11시까지는 수학 문제집 20쪽-29쪽을 푼다'식으로 짠다. 욕심만 앞서서무리한 학습 계획표를 짜면 < 실천하기 어렵다. 만약 계획표대로 실천이 이루어지지 않았다면 그 이유를 분석해 수정계획표를 세운다.

3. 노트필기법
노트필기의 목적은 자신이 적어 놓은 것을 나중에 다시 보면서 복습하기 위함이다. 그러므로 글씨를 잘 쓰느냐 못쓰느냐는 중요하지 않다. 자신이 읽을 수만 있으면 된다. 노트필기는 들여쓰기를 잘해야 한다. 큰1번이 있고 작은 1번이 있고 더 작은 1번이 있다. 서로 다른 1번을 상위 개념과 하위 개념으로 잘 분류해 눈에 잘 띄게 줄을 맞춰 적는 것이 중요하다. 하지만 많은 학생들이 이것을 잘못한다. 노트필기는 수업집중에도 도움이 된다. 선생님의 강의를 하나도 빠짐없이 적는다는 생각으로 노트필기를 하면 수업집중 효과도 거둘 수 있다. 선생님이 판서한 것은 검정색, 자신이 보충한 것은 파란색, 또 중요한 것은 빨간색 등으로 색을 쓰는 것도 좋다. 그러나 색깔이 4개 이상일 경우 혼란스러울 수 있다.

4. 집중력 향상법
우선 집중이 되지 않는 이유를 따져봐야 한다. TV나 라디오 때문에 주변이너무 소란스럽다면 스위치를 끄거나 다른 조용한 곳으로 옮긴다. 개방된 공간보다는 폐쇄된 공간이 집중이 잘된다. 또 개인마다 집중이 잘되는 시간대가 있는데 이 시간을 학습에 최대한 잘 활용한다. 잡념이 생기면 간단한 맨손체조를 하거나 세면으로 기분전환을 하는 것도 좋다. 학습목표를 명확히 세우는 것도 집중력 향상에 도움이 된다. '이 단원까지만 공부하고 쉬어야겠다'는 식으로 자기보상을 주는 것도 한 방법이다. 책상에는 만화책이나 연예인 사진같이 공부에 방해되는 물건을 두지 않고 학습 준비물은 한번에 완전히 챙겨 한번 앉은 책상에서 자주 들락날락하지 않는다. 마음의 고민 등 심리적인 영향으로 집중이 어려운 경우는 달리 해결 방법이 없다. 부모나 교사들과 터놓고 이야기해서 고민을 해결하는 것이 상책이다.

시험에 성공하는 공부방법

시험준비의 첫 단계는 시험시간표가 발표된 뒤 공부해야 할 과목 수와 어려운 정도에 따라 공부시간을 배분하는 것이다. 만일 영어가 어려울 경우 이틀 정도를 영어에 할애하고 나머지 과목은 하루씩 배정하는 등 자신의 수준을 고려해 공부 시간표를 짠다. 또한 교과서의 기본 내용을 정리하고 빠진 필기 내용을 보충하는 등 공부하기전에 필요한 자료들을 준비해둔다.
두번째 단계는 정리한 내용을 보면서 핵심을 암기하고, 문제집을 풀어보고, 더 나아가서는 본인이 예상문제를 내어 풀어보도록 하는 것이다. 공부를 할 때에는 먼저 중요한 개념을 정리한 뒤 그에 따르는 세세한 내용을 공부하는 것이 효과적이며, 예상문제를 만들 때에는 친구들과 서로 문제를 내고 답하는 방법도 좋다. 또한 이때 자신에게 취약한 과목이나 내용을 체크하여 보충을 한다.
세번째 단계에서는 시험 전날과 당일을 위해 정리했던 내용과 문제집을 풀면서 틀린 문제와 예상문제, 핵심개념을 다시 훑어보고 암기한다.
이와 같은 방식으로 계획을 세워 시험을 준비하면 교과내용을 ２-３번 반복할 수 있는 반면, ２-３주의 시간이 필요하다. '벼락치기'로 좋은 성적을 기대하는 학생들이 많은데 그렇게 해서는 원하는 결과를 얻을 수 없으므로 충실히 공부하는 습관을 기르자.

시험을 치를 때는 무엇보다 긍정적인 생각을 갖는 것이 중요하다. 시험을 잘 봐야 한다는 강박적인 생각보다는 '내가 공부한 만큼 시험을 보겠다'는 마음가짐이, '도저히 모르겠다'고 포기하기보다 우선 마음을 가다듬고 차분히 생각해 보는 것이 시험에 대한 부담감을 줄이는 데에 도움이 될 것이다.
보통 시험이 끝나면 '아, 드디어 끝이다'라는 해방감에 젖어 시험지를 팽개치고 다시는 보지 않거나 버리는 학생들이 많다. 그러나 시험지를 잘 활용하는 것도 훌륭한 학습방법의 하나임을 강조하고 싶다.
특히 1학기말고사나 학년말 시험을 준비할 경우에는 이전에 배웠던 모든 학습 내용을 한꺼번에 복습해야 하기 때문에 많은 시간과 노력이 필요하다. 이때 지난 시험지를 보며 핵심내용을 정리하고, 틀린 문제를 다시 풀어보면 적은 노력으로 큰 효과를 거둘 수 있다.

시험지 정리 및 오답정리에는 ４단계의 순서가 있다. １단계에서는 시험지에 날짜와 시험종류(중간고사.기말고사 등）, 시험범위를 기입한다.２단계에서는 정답을 적고, ３단계에는 틀린 문제를 확인하여 틀린 원인에 따라 각각 다른 표시를 한다.
예를 들어 실수로 틀렸으면（문제를 잘못 읽었거나, 다른 내용과 혼동된 경우 등） 'ｖ'로, 몰랐던 내용이면 '＜＞'로 표시하는 등 자기만 알아볼 수 있는 것으로 체크해둔다. 이때 모르는 내용이지만 추측으로 맞았을 경우, 자신의 찍는 솜씨와 운에 감사하며 다시 보지 않는 학생이 많은데 반드시 표시를 해두고 왜 정답인지를 확인하고 넘어가야 다음에 비슷한 문제가 나왔을 때 자신있게 답을 쓸 수 있다.
마지막 ４단계에는 틀린 문제와 관련되는 내용이나 교과서와 참고서의 페이지를 적어 다음에 시험지를 다시 볼 때 한눈에 알아보기 쉽도록 정리한다. 그래야 나중에 시험지를 공부자료로 사용할 수 있다.

다음 시험에서 좋은 결과를 얻으려면, 시험지를 버리지 말고 이와 같이 적극적으로 활용해보자. 그러면 점수와 등수 확인에 집착해서 쉽게 좌절하기보다 오히려 자신의 학습 수준과 부진한 부분을 명확히 파악할 수 있어 다음 시험에 자신감 있게 대처할 수 있다.
마산의 성지여자고등학교 지리교사 김상태 ( http://210.222.187.2/sangtae/)

머리를 거뜬하게 하려면

(1) 심호흡을 할 것

우리의 뇌는 그 무게가 체중의 30분의 1밖에 안되는 작은 기관이지만 산소의 소비량에 있어서는 전체의 20%에 이른다. 따라서, 어느 정도라도 산소의 부족 상태가 일어나면 비록 당사자는 의식하지 못한다 하더라도 그 사람의 머리는 일시적으로 나빠지는 것이다. 그러므로, 당신이 두뇌력의 향상을 바라고 있다면 적어도 한 시간마다 심호흡을 5번 정도 되풀이하는 게 좋을 것이다. 그러나 너무 심하게 하면 머리가 어지러워 실신하는 일도 있으니 요주의.

(2) 큰 소리로 노래부를 것

공부로 피로해진 머리를 빨리 회복시키는 데는 효과가 있다. 큰 소리로 노래를 부르게 되면, 욕구불만이 해소될 뿐만 아니라 이것도 일종의 심호흡법이므로 체내의 혈액순환을 원활하게 해준다. 또한 산소의 보충도 강화되고 크게 숨쉬는 습관이 길러짐으로써 자연히 두뇌력이 강화된다.

(3) 감각을 이용할 것

갓난 아기의 두뇌력을 발달시키는 것은 청각, 촉각, 시각 따위의 다섯가지 감각을 자극함으로써 비롯된다. 여기서 힌트를 얻은 방법이 바로 감각 이용법이다. 만약 당신이 청각 우위형 두뇌의 소유자라면 소리를 내면서 영어를 공부하면 좋다. 또 촉각 우위형이거나 시각 우위형의 두뇌를 가졌다면 노트에 글자를 쓰면서 외는 학습법을 쓴다면 적은 노력으로 큰 효과를 얻은 효과를 기대할 수가 있다. 수학처럼 추리가 필요한 과목도 시각적 방법을 쓰면 흥미를 느끼면서 공부를 진척시킬 수가 있다.

(4) 자연의 리듬을 따라

24시간의 생리적 밤낮의 리듬에서 본다면, 인간은 새와 같이 전형적인 주행성 동물이다. 따라서 아침 8시쯤부터 심신활동을 자극하는 부신홀몬이나 자율신경계의 긴장이 자동적으로 일어난다. 그래서 오전중의 학습효과는 저녁 때부터 야간에 걸친 생리적 휴식기에 비해 50∼100%나 높아진다고 한다. 따라서, 학습은 낮시간을 중심으로 하고 심야에는 잠을 자는 것이 실력을 향상시키는 요령이기도 하다. 사람은 신체상으로는 23일, 감정상으로는 28일, 지성은 33일이 한 주기가 된다고 한다. 이것이 이른바 인간 주기율이라는 것. 고교시대로 접어들면 지성주기의 파동도 뚜렷하게 발달되므로 그 절정기에는 추리나 분석으로써 해결되는 수학이나 과학 계통의 공부를 하고 저조기에는 어학이나 사회과목 따위를 중점적으로 공부하는 것이 효과적인 시간 배정이 된다.

(5) 커피를 마시지 말 것

만성 피로는 언제나 정신적 스트레스를 일으킴으로써 초조감에 따른 두뇌력의 저하를 가져오게 한다. 만성 피로를 해결하는 방법은, 그 날의 피로는 정신적인 것이나 육체적인 것을 가릴 것 없이 반드시 그 날 안에 풀도록 한다. 다음날은 아침부터 새로운 기분으로 공부를 한다. 흔히 밤 늦도록 공부하려고 커피같은 음료를 마시는 사람들이 많은데 이건 잘못된 것이다. 커피는 그 속에 들어 있는 카페인의 약리작용으로 뇌세포를 자극, 그 활동을 일시적으로는 활발하게 해 준다. 그러나 학습이란 단 하루만의 단거리 경주가 아니다. 따라서, 커피와 같은 인스턴트 음료 따위의 일시적인 흥분제에 의해서는 안된다. 그것은 당신의 깊은 잠을 방해하게 되어 결국은 만성적인 피로로부터 다시 슬럼프로 이끌어 가기 십상이기 때문이다. 만일, 야간에 일시적인 정신 긴장이 꼭 필요할 때에는 얼굴, 특히 그 중에서도 눈을 찬물로 자극하는 것이 좋다.

(6) 짧은 단식을 할 것

단식은, 어른들의 능력 개발에 매우 효과적인 방법이다. 그렇지만 한창 발육기에 있는 학생들이 이런 본격적인 단식을 한다는 것은 그리 바람직하지 못하다. 그러나 수험공부에 쫓기고 있을 때의 토요일 저녁쯤의 한 끼 정도를 굶어보는 단식은 머리를 쉬게하고 위장을 조정하는데 도움이 되는 것이다. 과식은 위장의 힘을 약화시킴으로써 자율신경의 활동이 저하되고 두뇌활동을 저해하게 된다. - (이화여고 학습자료실에서 인용) -

노트 정리와 작성요령

* 노트 정리
예습 - 수업 - 복습으로 이어지는 종합적인 것이어야 한다. 그 방법은 어떤 것이 좋을까? 수험생들은 노트를 단지 수업 시간에 필기하고 복습 시간에 한 번 훑어보는데 그치는 것으로 생각하고 있다. 더욱이 예습을 할 때 노트를 활용해서 공부하는 예는 드물다. 그러나 학습의 강도를 좀더 높이고 효과를 더 얻기 위해서는 예습-수업-복습으로 이어지는 종합적인 노트 정리가 필요하다. 왜냐하면 이것은 예습을 할 때 학습 내용이 자신의 힘으로 어느 정도 이해할 수 있었던가, 수업 중에 이해한 것은 무엇인가 또 복습할 때 내용 정리는 어떻게 했던가를 일목요연하게 보여주는 역할을 하기 때문이다.

이 유형의 노트는 나중에 노트를 기준으로 총복습을 할 때에도 편리하고 또한 수시로 중간에 자신의 학습 이해도를 파악하는 데 있어서도 유익한 자료로 활용된다. 특히, 예습 수업 복습 내용을 펜의 색을 구별해서 기입한다면 더 좋은 학습 효과를 노릴 수 있고 암기 내용을 쉽게 기억할 수 있다. 그러므로 펜의 색을 자신이 좋아하는 것으로 구분해서 사용하는 것이 좋겠다.

지나치게 빽빽한 노트 필기는 보는 사람에게 피곤함을 준다. 좁은 공간에 너무 많은 내용을 적어 놓으면 나중에 공부할 때 알아보기에도 힘이 들고 공부할 마음도 쉽게 일어나지 않는다. 그러므로 수험생들은 노트 필기를 할 때에 되도록 공간을 여유 있게 사용해야 한다. 그래야 수업 시간에 선생님의 강의 내용을 충분히 보충 설명하듯 적을 수 있다. 또 노트를 처음부터 끝까지 일률적으로 쓰면 보기에도 불편하고 학습 효과에도 큰 도움이 안된다. 요령 있는 사람은 어디에 어떤 내용을 쓰고 무엇을 어떻게 배치할 가를 분명하게 생각해서 노트 작성을 한다.

* 노트 작성 요령
① 수업 내용 이외에 예습 복습 설명 등은 수험생 자신이 직접 문장을 만들어서 적는다. 여기서 수험생은 문장을 가능한 간결한 문체로 자신만이 알아볼 수 있게 쓰되, 내용을 확실하게 적는다. 불확실한 해석이나 설명은 학습에 혼란을 초래하기 때문이다. 그리고 반복되는 내용이나 조사 등은 생략하는 것이 더 합리적이다. 특히 예습 복습 시에 학습 요점이나 중요 사항을 다룬 형식으로 자주 써 보는 것은 주관식 문제에 대한 대비책이 된다. 그러므로 예습에서 의문 내용을 문제화시키고 복습에서 답해 보는 연습을 많이 하도록 한다.

② 단지 글자만 널려 있는 노트를 한번보고 금방 그 내용을 기억해 내는 사람은 지극히 드물다. 따라서 마치 사진을 들여다보면 옛날 기억들이 하나 둘씩 떠오르듯 노트에도 기억을 되살릴 수 있는 장치가 필요하다. 이를테면 필기한 날의 날짜, 요일, 날씨, 선생님의 질문과 급우들의 대답 내용 등이 바로 기억 재생 장치(?)라고나 할까. 심지어는 어떤 학생은 선생님이 수업 내용 이외의 지나가는 말로 들려준 이야기까지 정리해서 적어 놓기도 한다. 이 모두가 수업 시간에 학습한 내용들을 쉽게 기억해 내기 위한 노력들이다.

③ 노트를 깨끗이 사용한다고 틀린 글씨나 내용을 지우개나 수정액 등으로 지우고 다시 쓰는 경우가 많다. 그러나 이것은 일종의 시간 낭비에 지나지 않는다. 따라서 이 때에는 틀린 부분들에 대해서 재빨리 선을 그어 지우고 그 밑에 다시 쓰는 방법을 취해 시간을 절약하도록 하는 게 효과적이다. 특히 예습에서 공부했던 것과 수업 시간에 다시 풀 것의 답이 서로 다를 경우, 예습 내용의 답을 고치되 그 흔적을 남겨 두도록 한다. 이는 다음에 복습할 때 자신의 예습 내용이 왜 틀렸는가를 분석할 수 있는 좋은 기회가 될 것이다.

④ 문장으로 모든 내용을 다 설명하는 데에는 한계가 있다. 복잡한 관계, 시대의 흐름 등은 단순히 말로 나타낼 것이 아니라 그림, 도표, 연표 등을 사용해서 나타내는 것이 효과적이다. 경우에 따라서는 교과서나 참고서에 나오는 그림과 표를 복사하여 노트에 오려 붙이는 방법도 좋다. (예: 사회 과목의 지도, 국사 과목의 연표. 생물 과목의 그림 등) 또 길을 갈 때 교통 안내 표지판을 이용하는 것처럼 노트 정리에도 장황한 해설보다는 단순한 기호를 사용하는 것도 괜찮은 방법이다. 자주 나오는 지시나 주의 사항을 기호로 표시해 두면 후에 복습할 때에 상당한 도움을 받을 수 있게 된다.

⑤ 노트 필기에서 중요한 부분이나 내용 등을 다른 색을 사용해서 쓰거나 밑줄을 그어 놓으면 다른 부분보다 훨씬 눈에 잘 뛰므로 생각해 내기 쉽다. 특히 형광펜을 칠해 놓으면 그 부분에 대한 인상은 더욱 강해진다. 그러나 너무 다양한 색 혹은 많은 부분을 형광펜이나 다른 색 펜으로 강조해 놓으면 학습에 혼란만 일으키고 오히려 역효과를 주기도 한다. 보통 노트로 공부하다 보면 덜 중요함에도 불구하고 밑줄을 그은 경우가 생긴다. 그러면 어느 부분이 더 중요하고 덜 중요한 것인지에 대한 구분이 모호해진다. 따라서, 형광펜이나 다른 색으로 밑줄을 그을 때에는 수업 중에 강조되었거나 정말 중요해서 반드시 암기해야 할 내용인 경우에만 혼란스럽지 않게 깔끔하게 줄을 친다.

한편, 노트는 수험생 자신이 매일 보는 것이기 때문에 너무 딱딱하게 쓰면 간혹 지겨울 때가 있다. 이런 느낌을 줄이려면 혼란스럽지 않은 범위 내에서 노트를 재미있게 꾸며 볼 필요가 있다. 내용 중간 중간에 삽화나 만화 등을 그려 넣는 것도 좋을 듯하다. 학기 초반에는 그런 대로 많은 학생들이 성의껏 노트 필기를 해 둔다. 그러나 학기 중반에 접어들면서 과제물 준비하랴 시험 준비하랴 바쁘다 보면 한 두 장 밀리게 되고 그러면 차츰 노트 필기에 소홀하게 된다. 이렇게 되면 결국에는 예습, 복습을 친구 노트 복사물이나 해설이 많이 되어 있는 참고서에 의존할 수밖에 없는 상황에 처하게 된다. 그러므로 노트 필기는 마음만 가지고 되는 것이 아니라 어떤 마음 자세로 끈기 있게 지속시키느냐에 그 성패가 달려 있다. 그리고 무엇보다도 중요한 것은 잘 정리된 노트 자체보다도 그것의 활용이다.- (이화여고 학습자료실에서 인용) -

과학 공부방법

1. 과학 교과서를 읽는 방법을 배워라.

어려운 내용의 교과서를 읽을 때에는 다른 책과 같은 방법으로 읽기 보다는 특별한 방법을 사용해서 읽어야 합니다. 과학과 같은 교과서를 읽을 때에는 계획을 잘 세우고 정신을 집중해서 다음과 같은 방식으로 읽어야 합니다.

① 생소한 용어와 어휘를 먼저 배워야 해요. 이러한 어휘들은 개념을 이해하는데 기초가 되기 때문이죠. 위에서 선생님이 '과학에서도 암기가 중요하다'고 이야기한 것과 통하는 것이기도 합니다.

② 내용이 어떤 식으로 제시되어 있는지를 보세요. 교과서에는 이론을 먼저 제시하고, 그 다음 예를 제시하고, 보기를 제시하고, 마지막으로 요약을 하는 것이 보통이지만, **가 알기 쉽게 읽을 내용의 구조를 수정할 수 있습니다. 예컨대 처음부터 꼼꼼히 읽었는데도 이해가 가지 않는다면, 보기 문제를 먼저 찬찬히 읽어보고, 그 다음 이론이나 공식을 이해하는 순서로 수정할 수 있습니다.

③ 한 문장을 완전히 이해한 후에 다음 문장으로 넘어가야 합니다. 제대로 과학을 공부하고자 한다면 모든 용어의 뜻을 소화시키고, 모든 공식을 기억할 뿐만 아니라 모든 예와 보기들을 직접 풀어볼 줄 알아야 합니다.

④ 공식이나 문제를 그림으로 바꾸어 보세요. 사람은 글로 제시된 것보다 그림으로 제시하면 더 잘 이해한답니다.

⑤ 문제를 풀기 전에 답을 추정해 보세요. 예컨대 '1보다 크지만, 10보다는 적을 것 같다'는 식으로... 그리고 문제를 풀 때 한가지 방법으로 해결하지 말고, 여러 가지 방법으로 해결해 보는 것이 공식을 이해하여 기억하는데 최상의 방법입니다.

⑥ 계산 문제는 반드시 검산을 해 보아야 합니다. 이것은 수학적 계산의 착오를 막는데 가장 좋은 방법이 되겠죠.

⑦ 문제가 무엇을 요구하고, 무슨 공식이 포함되어 있고, 어떤 정보가 중요한지, 불필요한 정보는 없는지 살펴보아야 합니다.

⑧ **가 공부한 내용을 어떤 사람들에게 친구 혹은 동생에게 설명하는 식으로 가르쳐 보세요. **가 잘 설명하면서 가르친다면, 잘 이해한 것이고, 그렇지 않다면 완전히 이해를 못했다고 볼 수 있어요.

2. 과학 교과서의 특징을 파악하라.

과학 분야 책들은 많은 사실들과 세부적이고 구체적인 내용들로 쓰여져 있습니다. 그러나 이런 종류의 책을 제대로 읽기 위해서는 세부적인 것만을 이해하기 보다는 그 전에 전체적인 줄거리 정보를 먼저 이해해야 합니다.

전체적인 줄거리 정보란 '책의 내용이 어떻게 구성되어 있는가'하는 '관련성'을 파악하는 것입니다. 즉 개념과 세부사항들은 앞에서 공부한 것을 기초로 서로 연결되어 있는데 학문에서 이러한 튼튼한 기초는 정보를 이해하고 파악하는데 필수적입니다. 또한 새로운 어휘는 제시된 정보를 파악하기 위해 알아두어야 하고, 중요한 용어는 굵은 글씨체나 이탤릭체로 쓰여져 있으니 책을 읽기 전에 이러한 용어들을 점검해 보는 것이 이해를 높여줄 수 있겠죠.

과학 분야 교과서에서는 많은 다이어그램, 그림, 차트, 그래프 등이 있습니다. 책을 읽기 전에 이러한 그래픽 자료를 공부하는데 시간을 보내는 것은 대단히 현명한 일입니다. 이러한 자료들을 읽은 만큼 정보를 파악하는데 도움이 됩니다. 게다가 글보다 그림은 정보를 이해하고 기억하는데 더 효과적이죠.

또한 수업과 독서를 통해 얻은 지식과 이해는 실제 적용을 해보아야 하는데 공부한 개념들은 책이나 수업에서 적용한 것 외에 다른 장면에서도 그것을 적용해 볼 수 있어야 합니다.

이와같은 내용을 바탕으로 과학을 공부하는 방법을 정리해 보면 다음과 같아요.

① 수업 시간 바로 전에 간단한 방법으로 책을 한 두번 읽어보자.

먼저 간단하게 제목, 작은 제목, 그림, 다이어그램, 이탤릭체 혹은 강조 글씨 그리고 요약된 부분들을 읽어보세요. 또 이렇게 하는 동안 스스로에게 물어보세요. "이것은 무엇에 관한 것인가?", "이것에 관해서 내가 알고 있는 것은 무엇인가? 모르는 것은 무엇인가?", "글쓴이는 어디서 시작해서 어디로 끌고 가는가?", "내용 구성은 어떤 형태인가?", "내용이 얼마나 어렵고 쉬운가?", "개념들이 생소한 것인가? 혹은 검토할 필요가 있는가?"

② 문단의 첫문장과 마지막 문장을 읽고 중요한 개념이나 자주 반복되는 단어를 이해하도록 하라.

③ 수업을 마친 후에는, 수업 시간에 필기한 노트를 점검해 보고, 교과서에서 덧붙일 필요가 있는 정보가 있는지를 생각해 보라.공부한 내용을 다양한 방법으로 곰곰이 생각해 봅니다. 즉 "이러한 기능들은 서로 어떻게 관련되어 있나?", "그들은 서로 영향을 줄까?"와 같은 질문의 형식으로 확인해 봅니다.

④ 시험에 나올 만한 질문을 예상해서 만들어 보고, 그 질문에 답해보도록 하라.

[작성자 : 선혜연 ] [감수자 : 고영숙 ]
이글은 정보통신부에서 시행한 정보화근로사업에 의하여 작성된글입니다. 한찬석 옮김

====한국상담원 고민해결백과.========

사회 과목의 학습 방법

1. 사회 문제 파악과 정보 수집 사회 탐구의 첫번째 단계로 사회에서 일어나고 있는 문제를 정확히 파악하고 정보를 수집하여 정확한 정보인가를 파악하는 것입니다.

2. 가설 설정 사회 탐구에서 가설을 설정하게 되면 연구 내용이 분명해지고 수집해야 할 증거의 대상이 확실해져 계획적인 탐구가 이뤄집니다.

3. 자료 수집 및 해석 우리가 학습한 지식과 기본 개념, 탐구 방법 등을 입증하기 위하여 수집된 자료를 우리 실제 상황에 연관시켜 해석하는 과정으로 학습의 기본이 된다고 볼 수 있습니다.

4. 정보의 종합과 문제의 해결 자료와 정보를 분석한 결과 분석된 자료를 분석한 다음 문제해결을 위한 어떤 규칙성이나 상관관계를 찾는 것으로 시험과도 직접적으로 결부될 수 있는 상당히 중요한 과정입니다.

5. 결론 도출 및 평가 우리가 얻을 수 있는 모든 정보, 증거, 자료에 입각하여 조리있고 정확한 결론을 얻고 평가하도록 하며, 탐구활동의 경험을 토론하여 반성하는 습관을 갖는 과정입니다.

자, 그럼 이러한 과정을 이루어지는 사회과목의 탐구를 좀 더 효과적으로 할 수 있는 구체적인 방법을 몇가지 제시해 보겠습니다. 내용을 잘 읽고 실천해 보도록 노력해 보세요. 그리고 만약 사회과목에 내용을 암기하는 것이 궁금하다면 이 곳에서 '암기과목을 공부하는 법'을 찾아보면 도움이 될 것입니다. 그러면 '사회시험을 볼 때 가슴이 답답해지는 현상'은 사라지고 자신감이 생길 거에요.

1. 흥미와 관심을 갖는다. 사회 시간은 우리가 살고 있는 세계를 탐구하는 시간이에요. 우리 자신과 이웃에 대하여 항상 관심을 갖고 수많은 질문을 던져 보는 습관이 중요합니다.

2. 기본 개념, 원리, 법칙 등을 철저히 이해해야 한다. 사회 문제를 해결하거나 실험하는데 필요한 것은 단편적인 지식의 암기보다는 기본적인 개념, 원리, 법칙 등을 아는 것입니다. 따라서 교과서에 소개된 사회과학 개념의 의미가 무엇이며, 그러한 개념이 어떤 논리적 과정과 어떠한 실험적 증거에 의해서 형성되었는가 이해하는 것이 사회학습의 기초를 쌓는 데 도움이 됩니다.

3. 일정한 주제를 놓고 토의 학습을 해 본다. 관심있는 사회 현상에 대해 조사를 해보고 친구들과 일정한 주제를 놓고 토론을 하며 결론을 이끌어 내도록 해 보는 것도 좋은 학습법입니다. 이 때 선생님이나 선배, 웃어른 등의 자문을 얻는 방법도 바른 결론을 내리는 데 도움이 될 것입니다. 주의할 점은 자신의 주장을 끝까지 관철시키려 하지 말고 상대의 의견이 옳다면 자신의 의견을 수정하는 탄력성있는 태도로 임해야 합니다.

4. 각종 도표, 지도, 사료 등의 자료를 분석하는 능력을 길러야 한다. 사회 학습에는 각종 홍보 자료나, 다양한 형태의 실측 자료, 기상도, 인구 통계, 경제 통계 등의 자료가 많이 이용되고 있어요. 그러므로 주어진 자료를 분석하여 하나의 개념으로 끌어내는 귀납적인 방법을 이용하는 것도 사회 학습의 한가지 방법으로 사용됩니다. 또한 자신이 원하는 자료를 어느 곳을 찾으면 얻을 수 있는가를 알아두면 다양하고 방대한 자료를 적절하게 이용할 수 있어서 편리합니다. 이 부분은 사회학습의 가장 중요한 부분 중에 하나이므로 시험과도 직접적인 관련이 있을 수도 있습니다.

5. 교과서 이외의 관련 도서를 읽는다. 평소에 신문, 잡지, TV 등의 다양한 대중 매체와 폭넓은 사회과학 서적의 독서를 통해 여러 가지 자료를 접하고, 그 중에서 특정한 사회 문제를 해결하기 위하여 필요한 자료를 취사, 선택하는 방법과 능력도 길러야 합니다. 특히, 사회 과학 도서는 대개가 지식의 단순한 나열이 아니라 특정한 주제에 관하여 일관된 맥락으로 문제를 제기한 다음, 증거를 제시하고, 주장을 펼치고, 일정한 결론을 내리는 형식으로 구성되어 있으므로 사회과학 서적의 독서는 과학적인 사고력 향상에 도움이 될 것입니다.

6. 현장 학습, 조사 활동 등에 적극적이고 자발적으로 참여한다. 교과서나 참고서를 통한 지나친 지식 위주의 학습보다는 일상적인 주변의 현상, 사실 문제 등을 종합적인 안목에서 인식하고 해결하려는 노력을 기울여야 합니다. 특히 교육과정이 개정되면서 점점 그러한 방향으로 나아가고 있으니 이 부분은 더욱 중요해지고 있다고 할 수 있겠죠. 그러므로 중학교 사회 학습의 수준에 맞추어 생활 주변에서 쉽게 접할 수 있는 소재나 상황(자연 현상, 과학 기술과 관련된 산업 문제, 노령 인구의 증가, 청소년 문제, 환경 문제 등)을 이용하여 문제에 대한 인식과 함께 문제 해결을 위한 가설 설정 및 탐색, 정보, 자료, 증거의 수집 및 분석, 사실 검증 및 결론 도출, 의사 결정 및 행동으로까지 이끌어 낼 수 있는 능력을 길러야 합니다.

7. 사회 과학의 종합성을 항상 염두에 두고 학습한다. 사회 학습은 어떤 행위나 상황이 가져오는 결과 그 자체보다는 그 결과에 도달하기까지의 모든 사고 과정을 더욱 중시해야 합니다. 즉 입법부, 사법부, 행정부는 권력이 분리되어 있다는 '사실'을 아는 것보다 왜 분리되어야 하는지를 아는 '과정'이 더욱 중요하다고 할 수 있습니다.

[작성자 : 선혜연 ] [감수자 : 고영숙 ]
이글은 정보통신부에서 시행한 정보화근로사업에 의하여 작성된글입니다

====한국상담원 고민해결백과========

암기과목을 공부하는 법

우선 **가 말했듯이 책을 통째로 외우겠다는 생각은 정말 바보 같은 일이죠. 따라서 책을 펴자 마자 무작정 외우려고 하지 말고, 저절로 외워지는 것은 그냥 두고 충실하게 책을 읽고 중요한 것을 파악해 놓은 다음에, 아직도 외워지지 않은 것들만 챙겨서 따로 외우는 것이 적게 외우는 방법이고 효과적인 외우기의 시작 이에요. 그럼 우선 암기의 몇 가지 수준을 소개하고 구체적인 암기법을 소개 할께요.

A. 암기의 수준

1. 일단 머리에 임시로 넣어두어서 시간이 지나면 잊어버리기 쉬운 정도의 수준으로 얕게 외워둔 것. 시험 전에 번개치기로 외워서 시험을 치르고 나면 잊어먹게 되는 것들이 많이 있는데, 그것들은 이 첫번째 수준으로 외웠기 때문이라고 할 수 있죠.

2. 내 머리 속에 넣어 두기 쉬운 형태로 내용을 다시 정리해서 시간이 많이 지나도 잘 잊어버리지 않는 정도의 수준으로 외워둔 것. 이 경우는 이해를 한 것이기 때문에 쉽게 잊어먹지 않으므로 가장 바람직한 외우기의 수준이라고 할 수 있어요.

3. 전체 내용을 이해하지 못하더라도 단단히 머리 속에 새겨 넣는 것, 이 경우는 두번째 수준과 비슷하지만 이해를 했는지와는 관계가 없다는 점에서 다릅니다.

B. 효과적인 암기법

1. 이야기로 만들기(약어법/약문법)

⑴ 약어법 절차 ① 기억해야 할 단어들에서 첫 글자들을 따낸다. ② 첫 글자들을 결집화 시킨다. 순서가 중요할 때는 그대로 사용하고 그렇지 않은 경우에는 첫 글자들의 순서를 바꾸어 의미있는 약자를 만든다 ③ 첫 글자들의 결집 수가 많다면 4/3조의 가락이나 리듬을 붙여 기억한다. (예) 무지개의 일곱 가지 색깔을 순서대로 외울 때, [빨주노초파남보]로 외우는 것.

⑵ 약문법 절차 ① 기억해야 할 단어들에서 첫 글자들을 따낸다. ② 첫 글자들 사이에 조사 모음이나 다른 단어를 집어넣는다. ③ 의미 있고 재미있는 문장을 만들고, 가능하다면 문장을 기초로 심상을 형성한다. (예) 신라 왕의 변천 순서 - 거서간, 차차웅, 이사금, 마립간 : 거참(차) 이마에 사마귀가 나다니 후기 인상파 미술가 - 마네, 모네, 세잔느, 고호 : 마네가 모내기를 하다가 술을 세 잔 마시고 고추를 먹더니 호호 하더라 법의 5단계 - 헌법, 법률, 명령, 조례, 규칙 : 헌법의 글씨는 명조체를 규칙으로 한다. 바하 - 'G선상의 아리아' 작곡 : 바지 삼천판 - 우심방과 우심실에 있다. 이천판 - 좌심방과 좌심실에 있다. : 삼촌은 오른쪽 방에, 이모는 왼쪽 방에서 방실 웃는다.

이렇게 이야기로 만들어 암기하는 방법을 사용할 때에, 첫 글자들만으로 의미있는 단어가 만들어진다면 약어법을 사용하는 것이 효율적이예요. 반면에 첫 글자들 만으로 의미있는 단어가 만들어지지 않을 경우에는 약문법을 사용하는 것이 좋겠죠.

2. 노래 가사로 만들어 외우기.

외울 내용의 갯수가 10개가 넘거나 매끄럽게 이야기로 잘 안 만들어지는 경우에, 그것을 노래가사로 만들어서 노래를 부르면서 외우면 금방 외울 수 있어요. 물론 잘 알고 있고 친숙한 노래라야 효과가 있겠죠 (예) 이건 선생님도 해본 방법인데 화학에 원소주기율표가 있잖아요. 그 경우 잘 알고 있는 "태극기가 바람에 펄럭입니다. 하늘높이 아름답게 펄럭입니다."여기에 맞춰서 원소 이름 앞 글자를 따서 노래를 하는 거에요. "수헬리베 붕탄질, 산프네나 마알, 규인황염 아르곤 칼륨, 칼슘 원소" 물론 앞 글자만 보고 무슨 원소인지 알 수 있도록 원소이름을 먼저 외워두는 것이 중요하겠지요? 수소, 헬륨, 리툼 등등..

3. 유사점과 차이점을 발견하여 서로 대조 시키면서 외우기.

두 가지 종류의 외울 내용들을 놓고, 그 두 가지 사이의 유사점과 차이점을 발견하여 서로 대조 시키면서 외우면 쉽게 외워져요. 특히 학년이 올라갈수록, 단순하게 암기한 지식을 요구하는 문제에서 탈피하여, 종합적이고 분석적인 이해를 요구하는 문제들이 많이 나오므로 꼭 필요한 암기법 이라고 할 수 있죠. 또한 이렇게 정리해서 외우면 잘 잊어버리지 않게 되며 일단 모아서 외우므로 단편적인 지식을 따로 외웠다가 모아서 다시 외우는 데에 드는 시간도 훨씬 짧다는 점에서 아주 효과적인 암기법 이라고 할 수 있어요.

4. 온 몸을 이용해서 외우기.

사람마다 자신이 좋아하는 학습스타일이 있는데 특히 움직임을 좋아하는 학생, 즉 만져보고 말해보고 손짓과 발짓을 하기를 좋아하며, 스포츠, 댄스 등 신체적으로 활동하는 것을 잘하고, 만지고, 옮기고, 신체적인 감각을 통해 지식을 얻고 주변의 공간과 상호작용하면 공부가 가장 잘 되는 스타일을 지닌 학생에게 특히 도움이 되는 암기법 이에요. 이것은 눈, 귀, 팔다리..... 등등 온 몸을 다 이용해서 효과적으로 외우는 방법 이에요. (예) 중요한 내용을 공부할 때 연습장에 써가면서 외우는 것, 걸어 다니면서 외우는 것, 전철 안에서 자신의 허벅지에다 무언가를 써 가면서 외우는 것, 시를 외울 때 시의 시각적 이미지를 한편의 영화처럼 기억해서 외우는 것, 영어 단어숙어를 오디오 테이프 에다 녹음해서 다시 들으면서 외우는 것, 자신의 몸을 지도로 생각하고 위치를 짚어가면서 외우는 것, 만화 같은 그림을 그려서 외우는 방법 (예) 시각화 방법단임제 : 대통령, 대법원장 ----> 단임제의'ㄷ', 대통령의'ㄷ', 대법원장의'ㄷ' 이 모두 같다고 기억하는 것이지요. 그리고 대통령의 임기는 5년이며 대법원장의 임기는 '대통령'이란 단어보다 한자가 더 많으므로 6년으로 기억합니다.

5. 표를 만들어 보기.

표는 과목별로 내용에 따라 다양하게 활용될 수 있는데, 표를 만들기 위해서는 내용을 압축, 재조직해야 하므로 상당히 많은 집중을 필요로 하게 되고, 이런 과정에서 표를 만드는 동안에 그대로 암기가 되는 경우가 많아요.

6. 위치로 외우기.

① 자신에게 친숙한 장소 또는 건물 등이 일련의 순서로 배열된 위치를 기억하고, 친숙한 장소 내에 순서적으로 배열되어 있는 대상 또는 어떤 위치들을 머리 속에 차례로 떠올려 본다 : 현관문→신발장→거실→부엌→화장실→안방→텔레비전, 자기집→버스 정류장→문방구→교문→학교→선생님 ② 예를 들어 "핫도그, 고양이, 토마토, 바나나, 위스키"를 암기하고자 한다면 우선 현관문에 거대한 핫도그가 걸려 있는 모습'을 떠올려보고, 둘째, 항목을 기억하기 위해서 친숙한 장소인 '신발장'을 머리 속에 떠올리고 '고양이가 신발장 속에 있는 모습'을 떠올리고, 셋째 거실을 떠올리면서 '거실에 토마토가 가득 널려 있는 모습'을 형성할 수 있다. 또한 '바나나가 부엌바닥에 널려 있는 상황'과 마지막으로, '화장실에서 위스키를 몰래 먹는 아빠의 모습'을 떠올리면서 암기를 할 수 있다. ③ 중요하게 고려해야 할 것은 **양이 친숙한 장소에 배열되어 있는 대상들을 순서대로 먼저 떠올린 다음에 기억해야 할 항목들에 대한 심상을 형성하고, 마지막으로 기억해야 할 항목들에 대한 생생한 심상을 형성하고, 마지막으로 친숙한 장소의 대상들과 기억해야 할 항목들을 서로 결합시켜서, 상호작용하고 기괴한 심상으로 떠올린다. 그리고 기억한 항목들을 기억할 때는 친숙한 대상들의 심상을 하나하나 떠올리면서 기억해낸다.

[작성자 : 선혜연 ] [감수자 : 고영숙 ]
이글은 정보통신부에서 시행한 정보화근로사업에 의하여 작성된글입니다

====한국상담원 고민해결백과========

영어는 어떻게 공부해야 할까요?

우선 영어공부는 크게 ①듣기/말하기, ②문법, ③독해, ④단어/숙어 편으로 나누어서 공부하는 것이 도움이 될 것같아요.

①듣기/말하기

듣기의 경우는 영어 교과서 해설판 테이프를 사서 듣는 것이 도움이 될 수 있어요. 그러나 영어 테이프는 아무리 들어도 쉽게 실력이 느는 것처럼 보이지 않을 수 있어요. 하지만 몇 개월 동안 같은 테이프를 완전히 소화할 때까지 듣는다면 저절로 그 내용을 익히게 되죠.

그리고 듣기평가를 대비해서 나온 여러 가지 모의 듣기평가 교재가 있으니, 어느 정도 자신의 실력이 축적되었다고 생각되면, 자신의 실력을 평가하는 예비 시험용으로 이용해 볼 수 있을 겁니다.

②문법

문법책은 지금 **군에게 적합한 문법책 하나를 선정해서 (이 부분은 학습서/문제집을 선택하는 방법에 관련된 이 곳 자료를 참고하도록 하세요.) 공부하는 것도 좋은 방법이지만 아직 중3이 아니므로 교과서에 나온 문법을 중심으로 공부하면서 관련된 부분을 문법책에서 찾아 정리하면서 공부하는 것이 아주 도움이 될 것 같아요.

특히 중학교 1학년 때의 문법은 그다지 많지 않으므로 지금부터 조금씩 철저히 다시 정리해 놓는 것이 앞으로의 문법 공부를 위해 아주 중요하답니다. 이를 위해서 문법 정리용 공책을 하나 따로 정리해 놓으면 중간/기말고사에 아주 도움이 될 거예요.

③독해

우선 학교 교과서에 나와있는 본문을 평소에 예습을 해 두고 선생님의 설명을 잘 듣고 이해해 두는 것이 독해의 첫걸음이라는 것은 이미 경험했겠죠? 그 외에 요즘 독해집이 아주 많이 나와있어요. 자신에게 적합한 수준의 독해집을 하나 선정해서 많이씩 말고 하루에 하나씩 정도를 꾸준하게 풀어보면 약 6개월 후에는 자신도 모르게 독해력이 향상될 거예요.

④단어/숙어

특별한 단어/숙어집을 사서 외우는 것도 좋지만, 우선 중학생이므로 가장 중요한 것은 교과서에 나온 단어/숙어를 철저히 외우는 것이 중요해요. 발음이나 철자가 특히 중요한 단어는 없는지, 강세를 유의할 단어는 없는지 등을 말이예요.

그리고 독해집이나 문법책을 통해서 간간히 나오는 단어를 외우는 것이 문맥 속에서 단어를 외울 수 있으므로 단어/숙어집을 통해 맹목적으로 외우는 것보다 상대적으로 쉽게 외워질 수 있을거예요.

단어/숙어를 외우는 가장 중요한 사항은 매일 매일 조금씩 꼬박꼬박 빼먹지 않고 외워야 한다는 점이죠. 따라서 마음이 맞는 친구나 부모님의 도움을 받아 함께 점검해가면서 외우는 것이 도움이 될거예요.

이 외에 영어 공부를 하는데 도움이 될 것을 몇가지 적어보면 다음과 같아요.

1. 교과서에 나오는 중요한 대화 문장, 본문 문장, 단어, 숙어는 가능하면 거의 외울 것.2. 교과서를 공부한 후에 확인하기 위한 문제집을 한 권 정도 꾸준히 풀 것.3. 모르는 것은 학교/학원 선생님이나 영어를 잘하는 친구들에게 물어봐서 선생님들과 '영어를 잘해서 부러운 친구들'을 이용할 것.

[작성자 : 선혜연 ] [감수자 : 고영숙 ]
이글은 정보통신부에서 시행한 정보화근로사업에 의하여 작성된글입니다

영어공부방법(2)

영어 공부는 주입보다는 습관, 반복에 의한 것이 중요합니다. 그러므로 자녀가 영어공부에 재미를 붙이도록 도와주시고 이때 참고서는 너무 어려운 것을 고르지 말고 자기 실력의 90% 정도의 것으로 선택하도록 지도하십시오.

영어 학습에서는 무엇보다도 예습이 가장 중요한 키 포인트입니다. 예습을 하지 않고 수업을 받는다면 단어나 단락 내용을 완전히 이해할 수 없습니다. 따라서 자녀가 예습에 의해 배울 곳의 핵심 요소를 먼저 파악하고, 단어나 숙어를 조사해 가는 동안에 스스로 약점을 발견할 수 있도록 하는 것이 좋습니다.

영어 공부를 할 때는 먼저, 교재는 단락을 하나로 구분해서 두 번쯤 읽습니다. 읽어 가는 도중에 발음이나 단어 등의 뜻을 모르는 곳은 표를 해 둡니다. 그리고 다시 한 번 읽어봅니다. 이렇게 읽는 동안에 발음이나 그 뜻이 저절로 떠오르는 경우가 흔히 있습니다. 또 그 문장의 뜻을 잘못 알고 있던 것도 깨닫게 되는 수가 있습니다. 여하튼, 가장 중요한 마음의 자세는 자신의 힘으로 끝까지 단락 속에서 그 문장의 뜻을 찾아내려는 태도입니다.

다음은 단어의 뜻을 사전에서 찾을 때의 주의점입니다. 흔히 그 단락과 문장 전체의 뜻을 생각하지 않고 단순히 단어의 뜻만 사전에서 찾는 사람이 있는데, 이처럼 무모한 짓은 없습니다. 끊임없이 앞 뒤 관계를 연결시키어 단어의 뜻을 생각해야 합니다. 그럴 거라고 생각되면 그 뜻을 단어에 끼워 맞춰서 텍스트를 읽어보도록 합니다. 이와 같이 해서 단어의 뜻은 그 텍스트 전체에서 분석되어 나오지 않으면 안 됩니다. 만약, 전체 안에서 그 뜻이 종합이 되지 않으면 사전을 다시 찾아 뜻이 통하는 것을 골라야 할 것입니다.

그러나 이처럼 예습을 철저히 한다고 하더라도 이해되지 않는 부분이 있는 법입니다. 따라서 수업 중에 해결해야 할 곳을 체크해 두는 것도 예습의 중요한 키 포인트입니다. 또 그 의문점은 반드시 수업 중에 해결해야 합니다. 만약 선생님의 설명으로도 부족하면, 부끄러워하지 말고 서슴없이 이해가 될 때까지 질문 해야 합니다.

자녀가 영어를 공부하는 데 있어서 효과적인 방법들을 조금 구체적으로 말씀 드리겠습니다.

1. 영문법의 뼈대를 이해해야 합니다. 영문법에서는 참고서 따위로 너무 자세히 파고드는 것보다는 뼈대 또는 윤곽 같은 것을 대충 해 두도록 합니다. 영문법 시간뿐만 아니라 교과서를 읽을 때도 영문법 책을 바로 가까이 놔두고 이따금 참조하여 규칙을 한 차례 머리에 넣어 두는 것이 좋습니다.

2. 국문을 영역하자. 대부분의 문법 참고서에는 연습문제로 국문 영역이 붙어 있습니다. 이것은 문법 참고서에서의 각 항에서 배운 것을 중심으로 하는 연습이기 때문에, 비교적 간단하고 기초적인 것입니다. 따라서 반드시 자신의 힘으로 풀어 보도록 해야 합니다.

3. 사전을 찾는 연습을 익혀야 합니다. 영어 공부를 위해서는 사전을 찾지 않으면 안됩니다. 빨리 그리고 정확하게 찾는 연습을 쌓아야 합니다. 그러기 위해서는 좋은 사전을 가져야 하는데, 책상 위에 놓고 쓸 중간 크기의 사전과 휴대용의 작은 사전 등 적어도 두 종류는 준비할 필요가 있습니다. 그리고 사전에서 단어를 찾으면 반드시 단어장에 적어 넣어야 합니다.

4. 단어장은 이렇게 만들어야 합니다.단어장을 꼭 만들어야 합니다. 우선 대학노트를 한 권 준비하여 크게 3:2의 비율로 나누고 3의 난에는 새로운 단어를 적어 넣습니다. 발음기호와 액센트도 반드시 기입합니다. 그리고 2의 난에 해당하는 곳에는 관계어, 숙어, 동의어나 반대어, 어법, 동사의 활용 등을 적어 넣습니다.

5. 영어 노트 작성은 이렇게 해야 합니다. 노트에는 단어장과는 달리 되도록 어법, 성구, 숙어 따위를 포함한 단문을 중심으로 하여 그것과 비슷한 것, 대조적인 것을 모으도록 합니다. 이 밖에 영문의 전환, 같은 뜻을 지닌 영문의 다른 표현 따위도 물론 쓰는 것이 좋습니다. 되도록 곧 눈에 띄는 표제라도 붙여 두고 어느 정도 여백을 남겨 두면, 나중에 유례를 발견했을 때 기입할 수 있어 편리합니다. 또한 노트의 처음 페이지는 색인용으로 사용하면 더욱 좋을 것입니다.

6. 듣기는 매우 중요합니다. 영어 공부에서는 듣기의 중요성을 아무리 강조해도 지나치지 않을 것입니다. 왜냐하면 옳은 발음, 옳은 회화법은 우선 올바른 듣기에서부터 시작되기 때문입니다.

7. 말하기와 읽기 영어를 말할 기회는 그리 많지 않습니다. 그러나, 반드시 외국인과의 영어회화가 아니더라도 교과서를 읽는 것은 누구나 할 수 있는 일이므로 힘껏 소리 내어 읽어야 합니다. 또한 자신이 읽는 것을 녹음했다가 들어보는 것도 좋은 방법입니다.

8. 다독을 하도록 노력하자. 학교를 다니면서 영어를 다독한다는 것은 약간 무리일 것입니다. 그러나 여름방학, 겨울방학, 봄방학 등을 이용해서 가능한 한 많이 읽어보도록 합니다. 영어 책을 읽을 때에는 완전무결하지 않아도 좋으므로 그냥 대강의 줄거리를 파악하는 정도로 생각하면 좋을 것입니다.

9. 단어를 분석적으로 연구하자. 단어를 그저 덮어놓고 외우지 말고 어근과 접두사, 접미사에 의한 파생어를 조사하고 동의어, 반의어, 동음이의어를 연구해야 합니다. 또한 품사 전환의 연습 등을 하여 단어의 뜻을 정확하게 이해하는 동시에 한층 더 풍부한 뜻을 알아야 합니다.

10. 언어에 의한 자기 표현 어휘가 어느 정도 풍부해지면 자기가 생각하거나 느끼는 것을 영어로 표현하도록 노력해야 합니다. 완벽하지 않아도 상관은 없습니다. 영문 일기, 영문 편지 등 아무 것이라도 괜찮습니다. 혹은 국문을 영역으로 번역하는 데 힘을 쏟아도 좋습니다.

영어를 공부할 때 이상과 같은 방법을 잘 활용하여 공부를 한다면 훨씬 효과적인 공부가 될 것입니다. 자녀의 영어 학습 향상에 많은 도움이 되었으면 합니다.

[작성자 : 가신현 ] [감수자 : 고영숙 ]
이글은 정보통신부에서 시행한 정보화근로사업에 의하여 작성된글입니다

====한국상담원 고민해결백과========

성적이 계속 떨어져요

1. 나에게 맞는 공부방법을 사용하고 있는가?

**가 해왔던 많은 공부방법들은 대부분의 학생들이 사용하는 방법이겠지만 그런 방법이 어떤 학생에게는 아주 효율적일 수 있지만 어느 누구에게나 효율적인 학습방법이 되지는 않아요. 다른 학생들의 경우에도 그런 방법을 하고 있기는 하지만 다른 방법을 찾지 못하기 때문에 성적이 오르지 않아도 그대로 하고 있을 수도 있구요.

우선 자신에게 맞는 공부방법을 찾는 방법은 여러 가지가 있을 수 있겠죠.

① 학습에 관한 상담을 해주는 상담소를 찾아가 성격검사, 적성검사, 학습유형검사 등의 검사와 상담을 통해 나에게 딱 맞는 '맞춤 공부방법'을 찾아보세요.

② 다른 친구들의 공부방법을 물어보세요. 아마 자세하게는 이야기를 못해주겠지만 친구들 나름대로의 방법이 있을 거예요. 그래서 자신과 비슷한 또는 자신에게 맞는 방법을 찾을 수 있을지 몰라요.

다음은 누구나 생각할 수 있는 내용이지만 동시에 가장 효과적인 방법인, 몇 가지 일반적인 공부방법 입니다. 가능한 한 구체적인 그리고 실제적인 공부방법을 말씀 드리는 것이 더 도움이 될 것 같군요. 본인에게는 안 맞을지 모른다는 생각이 들수도 있겠지만 하나의 사례로 참고하시면 좋겠네요.

① 교과서는 그 구성이 하나의 흐름으로 되어 있습니다. 그러니까 우선 내용의 흐름을 잡는 것이 중요하겠죠. 내용의 순서가 어떻게 되어 있고 각 순서마다 어떤 내용이 있는가를 정리해 보는 것이지요. 그리고 나름대로 작은 제목을 정해보는 거예요. 또 중요하다고 생각되는 것만이라도 하나로 연결해서 기억해두면 전체를 이해하는데 큰 도움이 됩니다.

② 다음은 수업시간의 노트정리 입니다. 흔히 선생님들의 말씀을 그냥 듣기만 하고 마는데 그대로 지나치지 마세요. 노트마다 여백을 남겨놓고 가능한 한 모든 내용을 적어보세요. 교과서와 노트정리만 가지고도 수업 내용을 이해할 수 있을 겁니다. 이해하지 않고 외우는 것은 오래가지 못합니다. 교과서의 내용과 그 내용을 설명해주는 선생님들의 말씀을 잘 정리하는 것이 가장 기본적인 일일 것입니다.

③ 그리고 나서 많은 문제를 풀어보아야겠지요. 자, 그런데 문제를 풀어보는 것도 그냥 해서는 안되겠죠? 하나의 문제가 나오면 그 내용에 관련된 즉, 문제 내용 중 관련된 사항을 다 찾아보고 정리해야 합니다. 또 나름대로 그 문제를 바꾸어서 생각해보는 것도 좋은 방법입니다.

2. 공부방법에 맞게 꾸준히 공부계획을 세워 실천하는가?

공부는 흔히들 마라톤에 비유하지요. 지금 성적이 좋지 않다고 계속 떨어지는 것은 아닙니다. 점점 성적이 올라가는 경우도 많이 있습니다. 문제는 지금 성적이 떨어졌다고 포기해버리는 것이지요.

사실 "이렇게 공부하면 성적이 반드시 올라간다."는 말은 할 수가 없겠죠. 모두 하나의 참고사항 일 뿐입니다. 중요한 것은 성적이 잘 오르지 않는다고 실망하지 말고 지속적으로 매달리는 마음가짐입니다.

3. 지난 성적에 얽매이거나 불안에 떨면서 자신감을 떨어뜨리고 있지는 않은가?

어떻게 보면 성적이 자꾸 떨어지는 것은 부정적인 행동과 감정의 계속되는 악순환으로 볼 수도 있어요. 성적이 잘 안나오고, 기분이 상해서 자신감도 떨어지고, 더 공부하기 싫어져서 쉽게 포기하고, 공부량이 그래서 더 줄고, 그래서 더 성적이 안나오고, 더 자신감이 떨어지고... 선생님이 무슨 말을 하는지 알겠죠?

자, 그럼 이 악순환의 고리는 어떻게 해결해야 할까요? 고리는 어느 부분이던지 한 부분이 끊기면 더 이상 순환되지 않겠죠? 즉, 행동을 변화 시키거나 감정을 변화 시켜야 하는데 행동적인 측면에서는 우선 먼저 공부를 계획에 맞춰 자신에 맞는 속도로 시작하는 것이고, 감정적으로는 그 동안 나의 실패경험에서 비롯된 자신감의 부족이나 다음에 잘 못하면 어쩌지 하는 불안감을 없애는 거죠.

자신감을 갖고 열심히 노력한다면 반드시 좋은 결과가 있을 것입니다. 그러길 진심으로 바라면서 이만.

[작성자 : 선혜연 ] [감수자 : 고영숙 ]
이글은 정보통신부에서 시행한 정보화근로사업에 의하여 작성된글입니다

====한국상담원 고민해결백과에서 퍼 온 글로 몇 군데 수정하였습니다.========

세계사 학습법

일반적으로 학생들은 '세계사 정도는 하룻밤만 새면 문제없어', '세계사 시험 준비는 맨 나중에 해도 상관없어' 라고 생각하는 경향이 있습니다. 그래서 세계사 과목을 소홀히 생각을 하게 되고 나중에는 공부하기가 힘이 들어지고 또 공부를 해도 성적이 잘 오르지 않게 되는 것입니다.

학생들이 생각하는 것 같이 확실히 세계사는 처음부터 끝까지 암기를 해야만 하는 과목입니다. 그러나 암기해야 할 역사적 테마가 많은 것은 사실이지만 그것이 도막도막으로 된 단순한 자료들의 모음이 아니란 것을 명심해야 할 것입니다.

세계사 학습의 철학은 [크게 파악해서 잘게 외우는 것]이 기본입니다. 즉, 시대별, 문화권별, 역사의 흐름을 크게 파악해서, 그 흐름에 따른 사항을 계통적으로 정리해서 외우는 것이 중요합니다. 처음부터 데이터를 잘게 잘라서 외우면 역사의 흐름을 파악하지 못해서 뿌리 없는 지식이 되고 맙니다.

수험 준비, 특히 세계사에 있어서는 많이 암기하고 있느냐 아니냐가 아니라, 기초적인 지식을 어떻게 연관시켜 이해하고 있는가가 열쇠라고 할 수 있습니다. 천태만상의 출제 문제를 해결하는 실력을 붙이려면 기초력이 토대라는 것은 두말 할 나위도 없는 것입니다.

그러기 위해서는 교과서야말로 기초 닦기와 흐름을 파악하기 위해서는 더 이상 안성맞춤인 것이 없습니다. 수험생 중에는 교과서는 팽개치고 참고서에만 매달리는 사람이 흔히 있는데 이것이야말로 주객이 전도된 공부 방법이라고 할 수 있습니다. 세계사를 공부하는 데 있어서 '교과서는 수험에 필요한 지식의 원천이요, 수험 공부의 중심이다' 라는 인식이 필요합니다. 또 '기초 닦기의 출발은 교과서로부터 시작하지 않으면 안 된다'고 인식하고, 기초 닦기는 교과서로부터 시작하는 것이 좋습니다.

다음은 세계사 과목을 공부하는 데 있어서 알아두면 도움이 되는 사항들입니다.

1. 참고서, 문제집의 활용법

참고서에는 교과서에서 이해하기 어려운 곳을 자세히 해설한 것, 교과서의 요점을 정리한 것, 문제 중심의 경향과 대책적인 것 등이 있습니다.

본격적 학습이나 기초적 학습의 보충물로는 교과서의 복습이 대충 끝나고 비교적 자신이 생겼을 때에, 또 다른 각도에서 정리하자면, 문제의 해법, 생각하는 법, 출제의 경향을 알고 대책을 위해서 실력을 닦으려 할 때 등의 사용 목적에 따라 분류할 수 있습니다.

여하튼 참고서는 여러 권을 구입하기보다는 한 권의 참고서로 깊이 이해해서 자신을 붙이는 일이 중요합니다.

교과서나 참고서를 읽고서 '아, 알았다' 하고 생각해도 실제로는 의외로 불완전한 이해밖에 되지 않을 것입니다. 그래서 기초력이 진정 익혀졌나를 판단하기 위해서는 문제 연습을 함께 병행해 나가야 합니다.

흔히 문제집은 학교 시험의 직전이나 입시 직전에 하면 된다고 여기는데, 이것은 옳지 않은 생각입니다. 반드시 교과서 학습과 병행하여 각 단원마다의 연습을 해 두어야 합니다. 왜냐하면 이미 배운 부분에서의 자기 이해의 맹점을 일찍 발견할 수 있기 때문입니다. 또 해답을 모를 때나 불확실할 때는 곧 정답을 볼 것이 아니라 교과서나 참고서를 조사해서 자신의 힘으로 해답을 구해야 합니다. 그렇지 않으면 확실치 못한 답을 그대로 암기하는 결과에 그치고 말 우려가 있기 때문입니다.

문제집은 되도록 교과서와 같은 순서의 것이 바람직한데, 동시에 종합적인 문제도 실려 있는 것을 고르면 더욱 좋을 것입니다.

정확한 지식과 깊은 이해, 논리적 사고력과 표현력을 요구하는 것이 기술, 논술 문제입니다. 이것은 ① 역사적 사실, 사항, 인명 등의 해설, ② 어떤 주제에 대한 해설이나 논문, ③ 지정 어귀를 사용할 작문과 같은 3가지 유형으로 분류됩니다. 어느 경우에도 언제, 어디서, 누가, 무엇을, 왜, 그리고 이유를 중심으로 구체적으로 생각하지 않으면 안됩니다.

2. 효과적인 노트 작성법

교과서나 참고서를 통독할 뿐으로 노트를 전혀 쓰지 않는 사람이 있는데 범위가 넓은 수험 공부에 있어서는 이 방법으로는 안 됩니다.

이해나 정리를 하기 위해서는 먼저 교과서나 참고서를 읽으면서 요점을 정리하고, 틀린 것이 없도록 확실히 노트에 적습니다. 이 경우에 기계적으로 아무 것이나 쓰는 것이 아니라 중요 사항, 특히 교과서의 고딕체를 주제로 자기가 느낀 점이나 틀리기 쉬운 곳 등을 기록합니다. 이때 항상 이해하면서 기록하도록 자각하면서 학습을 진행하여야 합니다. 즉 노트 정리를 하는 데 있어 가장 중요한 것은 알지 못하고서는 쓰지 않는다는 것입니다.

다음은 노트에는 크게 여백을 남겨 두여야 합니다. 선생님의 수업 내용에서 요점을 기입하거나, 또 참고 사항이나 출제율이 높은 곳은 언제든지 자세히 써넣을 수 있도록 여백을 남겨 두어야 합니다.

노트 정리는 그 이용 목적이나 학습 방법에 따라서 여러 가지 타입으로 나눌 수 있습니다.① 개별조식은 문장을 잘 읽고 요점을 정리해서 되도록 간단히 외우기 쉬운 문장으로 기호, 번호를 붙여서 정리하는 방법으로, 노트 정리의 전형적인 방법입니다.② 도해표식은 시대의 흐름이나 관련 사항, 민족이나 왕족의 대립 관계를 파악하는 데 가장 좋은 방법으로, 복잡한 관계를 한 눈으로 알 수 있도록 쓸 수 있습니다. ③ 일문일답식은 노트의 페이지를 둘로 나누어 왼쪽에 제목을 짧은 질문형으로 쓰고, 오른쪽에 답을 간단히 정리하는 것으로 암기물에 효과적입니다.④ 주제별식은 한 시대, 한 지역에 한정하지 않고, 주제 밑에 종합적 정리 노트로 만들면 입시 대책에 효과가 있는 노트가 될 수 있습니다.⑤ 지도기입식은 지명이나 하천 영역을 기입한 지도를 붙여 두는 노트 정리법으로 위의 여러 가지 노트 어디에나 응용할 수 있는 것입니다. 수험생은 역사 지도에 약한 경우가 많이 있으므로 수험생들이 많이 이용하도록 권하고 싶은 방법입니다.

[작성자 : 가신현 ] [감수자 : 고영숙 ]
이글은 정보통신부에서 시행한 정보화근로사업에 의하여 작성된글입니다

====한국상담원 고민해결백과에서 퍼 온 글로 몇 군데 수정하였습니다.========

수학 공부 방법

수학은 기초적 개념에 대한 이해와 암기가 중요합니다. 수학적 개념을 이해하지 못하면 응용문제를 풀 수 없습니다.

암기나 문제풀이식 수학공부는 학생에게 도움이 안됩니다. 반드시 교과서에 나오는 원리나 공식 등에 대해 개념을 정확히 알고 있는가를 먼저 점검해보고, 그에 대한 깊숙한 이해를 바탕으로 한 응용력 키우기에 힘을 쏟아야 합니다. 이를 위해선 모의시험 등에 제시된 응용형 문제에 대한 충분한 연습풀이가 효과적일 것입니다. 어떤 책으로 공부하며 얼마나 많은 것을 암기하느냐가 아니라, 얼마나 깊이 관찰하며 사고하는가, 또 어떤 자세로 문제에 접근할 것 인지가 앞으로 수학공부에 있어 성공의 열쇠가 될 것입니다. 기본 개념부터 차근차근 공부하는 것이 좋습니다.

1.효과적인 예습 방법

수학은 예습 방법이 나쁘면 차라리 하지 않는 쪽이 낫습니다. 나쁜 예습 방법이란 차례로 계통성 있게 예습하지 않고 어떤 결과만을 기억해 버리려고 하는 것입니다. 즉, 결과만을 알고 그것을 쓰는 법만을 알고 있을 뿐입니다. 도중 계산이나 그의 이론적 뒷받침을 모르고서는 아무 것도 되지 않기 때문입니다.

우선 수업을 받기 일주일 전에 앞으로 공부할 내용을 종합해서 읽어 두는 것이 좋습니다. 될 수 있으면 한 장(Chapter)분 정도의 분량이면 좋습니다. 이런 예습은 내용을 크게 보아둔다는 것과 대체적인 것을 알아 둘 수 있기 때문에 꼭 해 두는 것이 좋습니다.

수학 시간이 있는 전날에는 내일 배울 것으로 보이는 분량을 예습하는데 전보다 자세히 예습합니다. 본문을 보다 철저히 읽고 왜 이 식이 성립하는가, 이 정리의 증명은 전에 어떤 정리를 사용하고 있었는가 등을 생각합니다. 의문이 나는 곳은 노트에 실제로 그렇게 되는지 어떤지를 알아봅니다. 예제도 물론 똑같이 합니다. 그리고 그 내용의 논리적인 발전 등은 이해하도록 노력합니다. 알지 못한 곳이 있으면 수업 때 이해할 수 있도록 밑줄을 그어 놓는 일 등을 합니다.

2. 효과적인 복습 방법

복습은 뭐니 뭐니 해도 기초 실력을 충실히 길러야 합니다. 먼저 오늘 배운 수학에 대하여 교과서와 노트를 복습하고 숙제를 다하는 정도로 합니다. 수업이 중도에 끝이 나서 선생님이 숙제를 내어주지 않았다고 하더라도 적어도 교과서나 노트는 펼치고 오늘 배운 것을 복습하는 것이 바람직합니다. 집에 와서는 수업시간에 배운 것을 다시 정의나 정리의 간단한 적용이나 응용 등을 자기 스스로 해 보도록 합니다.

가장 좋은 복습은 위의 복습 외에 다시 교과서에 나오는 문제나 문제집이나 참고서의 문제를 풀어보는 것입니다. 그 문제는 꼭 그날에 몇 문제 해 보라는 것이 아닙니다. 그날 안에 되도록 깊이 파고 들어가 내용까지 복습해 두는 것입니다.

복습을 했을 때 모르는 것이 있으면 되도록 빨리 이해해 두어야 합니다. 그날 안에 가르쳐 줄 사람이 없으면 혹시 다음날 수학 시간이 없더라도 교과서나 노트를 가지고 가서 친구들에게나 선생님께 물어서 알아내도록 합니다.

3. 수업을 잘 받는 방법

예습을 충실히 했더라도 선생님의 강의 내용을 잘 들어두어야 합니다. 이해하지 못했던 것은 물론이고, 이해하고 있었다 하더라도 그것이 틀렸다든지, 불충분한 이해였음이 종종 발견되기 때문이다. 또한 충분히 잘 알고 있다 하더라도 그 내용의 보충이나 발전 등을 선생님께서 강의하는 경우가 많이 있기 때문입니다.

정리의 증명이나 도입 문제의 설명 다음에는 선생님께서 문제를 내어 즉시 문제를 풀게 되는 경우가 있습니다. 이때, 처음 정리나 도입 문제의 이해가 조금 불충분할지라도 출제된 문제를 풀도록 해야 합니다.

수업 중 여러 가지 사항을 모두 노트에 기록할 필요는 없습니다. 교과서의 내용에서 예습한 곳은 노트에 기록하는 것보다 내용을 잘 듣고, 그 생각하는 법의 중요한 점을 이해하도록 합니다. 그리고 보충한 내용이나 주의 받은 것을 노트에 기록하면 좋습니다.

칠판에 다른 학생이 해답을 쓰고 있는 사이에는 자기가 푼 해답과 맞추어 보고, 풀지 못한 문제가 있으면 칠판의 요점을 노트에 적어 두는 것이 좋습니다. 그리고 해답을 쓴 학생의 설명이나 선생님의 보충설명을 잘 듣고 자기가 푼 답의 잘못이나 불충분한 것을 보충하여 노트에 적어두어야 합니다.

더욱이 그날 문제를 모두 풀지 못한 경우는, 풀 수 있는 곳까지라도 좋으니 풀도록 해야 합니다. 어떤 사정으로 풀기 어렵거나 불가능한 경우에도 그 문제는 어떤 것인지 잘 읽고 나서 수업을 받도록 해야 합니다. 전혀 아무 것도 하지 않거나 문제를 읽지 않으면 멍청하게 있거나 그저 칠판에 쓰인 것일 베껴 쓰는 것만으로 끝나게 되고 맙니다.

학생이 수학과목을 공부할 때에 무턱대고 문제만 많이 풀도록 하시는 것 보다는 먼저 수학적 개념을 확실히 이해하도록 지도하시기 바랍니다. 충분한 예습과 복습을 하고, 수업시간에 열심히 선생님의 강의를 들어서 수학적 개념에 대한 이해가 확실히 이루어진 상태에서 문제집을 풀어 자신이 알고 있는 수학의 개념들을 잘 응용할 수 있게 된다면 학생의 수학 성적은 향상이 될 것입니다.

[작성자 : 가신현 ] [감수자 : 고영숙 ]
이글은 정보통신부에서 시행한 정보화근로사업에 의하여 작성된글입니다

====한국상담원 고민해결백과에서 퍼 온 글로 몇 군데 수정하였습니다.=======

국어 공부방법

국어 및 언어 영역의 준비는 문제집의 활용이 중요합니다. 그 이유로는, 첫째, 문제 유형을 익힐 수 있고 둘째, 문제집에는 좋은 글들이 많이 실려있으니 혼자 사고를 전개해 보거나 글을 써볼 수 있기 때문입니다. 셋째, 학습지도를 명확하게 할 수 있고 계획을 세우기에도 용이합니다. 또한 좋은 글을 읽고 얻은 수많은 지식과 정보를 요약, 정리, 집약화 시키는 학습방법이 필요합니다.

국어과목을 잘 하기 위해서는 예습과 복습 그리고 교양서적을 읽는 일이 중요합니다. 효과적인 예습방법과 복습방법, 교양서적 읽기 그리고 현대문과 고전문의 학습 방법에 대해 말씀 드리겠습니다.

1. 효과적인 예습 방법

입시 문제에서나 학교의 시험 문제에서나 가장 중요시되는 것은 문제의 내용을 정확히 파악하는 힘입니다. 이와 같은 질이 높은 독해력이란 깊이 있는 연습을 쌓아 나감으로써 달성되는 것입니다. 따라서 국어 과목을 공부하는 데 있어서 예습이 필요하며 교과서를 주의 깊게 읽고 그 내용을 생각해 나가는 습관을 들이는 것이 좋습니다. 단지 줄줄 읽을 수 있다든가, 뜻을 알 수 있다는 것 이상으로 내용을 잘 파악하는 데 중점을 둔 읽기를 해야 합니다.

논지를 파악하려면 각 절을 요약해 보는 것이 가장 좋습니다. 그래서 예습할 때 교과서를 읽은 다음에 각 절의 내용을 30-40자 정도로 요약해 보도록 합니다. 이런 연습을 하면 그 문장의 독해력이 길러질 뿐만 아니라 문장의 구성에 대해서도 이해할 수 있습니다. 또 그 속에서 필자가 말하고자 하는 것을 파악하는 연습도 됩니다. 특히 논설문 따위의 논리적인 구성, 역설적인 표현 따위를 정확하게 파악하도록 합니다.

예습할 때에는 당연히 어구를 조사해야 합니다. 그러나 그 때 다만 수업용의 사전 조사라는 면 뿐만이 아니라 국어 한한 사전 따위를 자꾸 찾아서 어구의 지식을 넓히도록 합니다. 특히 관용어, 고사성어는 출제율이 높으므로 중점을 두어야 합니다.

또한 예습을 할 때에 표현의 기법과 수사 따위에 대해서 자기가 생각한 것을 노트에 써서 수업시간에 선생님의 설명과 대조해 보는 것이 좋습니다.

2. 효과적인 복습 방법

흔히, 국어는 예습도 소홀히 하지만 더욱이 복습은 하지 않으려는 경향이 많습니다. 이런 사고 방식은 그야말로 위험천만 입니다.

현대문도 그날그날 배운 것은 최소한 읽어보기라도 해야 합니다. 이보다는 고전을 반드시 복습해야 합니다. 한번 암기한 것과 두 번째 암기한 것은 그 기억력의 정도가 다르기 때문입니다. 현대문과 달라서 고전의 경우는 지식에 의존하는 요소가 많으므로 매일매일 받아들인 모든 지식을 올바로 머리 속에 축적해 두어야 합니다.

비록 똑똑 떨어지는 학습은 아니라도 그날에 배운 것은 결코 다음 날로 미루지 말아야 합니다.

3. 교양서적 읽기

국어에서는 교과서와 참고서만 해야 한다고 생각하는 것은 잘못된 생각입니다. 국어는 교실에서의 교과서 학습이 가장 중요하고, 그것이 학습의 중심이 되지 않으면 안되겠지만, 그것만으로는 결코 충분하지 않습니다.

교과서 학습이 계기가 되어서 여러 가지 책을 읽는 일, 혹은 여러 가지 것을 보는 일, 듣는 일이 교과서에서 학습한 것보다 내용을 깊이 이해하는 데 도움이 되는 것입니다. 결국 신문이나 소설을 읽거나, 그림을 감상하거나, 음악을 듣거나 하는 모든 것이 교과서로 돌아오는 것입니다. 교양서적을 읽는 것은 그런 의미에서 매우 중요한 것입니다.

그러나 여러 가지 교양이 결국 교과서로 돌아온다고 해서 너무 깊숙이 빠져들어도 곤란합니다. 학습은 젖혀놓고 여러 가지 책읽기에만 몰두해서는 안 될 것입니다. 학습과 책읽기는 서로 균형을 유지해 나가지 않으면 안됩니다.

4. 현대문의 학습

현대문의 설문은 이렇게도 생각할 수 있고, 저렇게도 해석될 수 있는, 꼭 해답이 하나만은 아닌 것처럼 보이기도 합니다. 그러나 절대로 그렇지는 않습니다. 어떤 각도에서 생각해도 하나의 해답밖에 없는 해법의 필연성이 있습니다.

그 해답을 이끌어내는 데는 논리적인 사고 방식이 필요합니다. 어귀의 대비나 관련, 어떤 내용이 어떠한 말로 바뀌어 말해지고, 또 어떤 생각으로 긍정되거가 부정되거나 하는 것일까 등등의 모든 점을 충분히 분석해 가는 실력이 필요한 것입니다.

그리고 그것들을 반대로 다시 정리해서 문장의 주제나 요지를 파악하는 것입니다. 이러한 논리적 생각을 바탕으로 해서 문장을 분석하고 종합하는 것이 현대문 이해에 꼭 필요한 것입니다.

5. 고전문의 학습

고전을 이해하는 3가지의 기둥은 어휘력, 문법력, 고전에 관한 상식입니다. 고전에 관한 상식이란 고문의 수사법이나 계제(季題), 한문의 독해방법이나 어법 등을 가리키는 것입니다. 이것들은 어휘나 문법과 함께 어느 때든지 마음 내킬 때 정리하면 됩니다. 물론 평소에 쌓아 올린 실력이 소기의 성과를 올리는 것은 말할 나위도 없는 것입니다.

그러나 그것만으로는 좀처럼 매듭이 지어지지 않습니다. 어느 며칠간을 잡아서 여러 각도에서 정리하는 것이 중요합니다. 어휘는 한 낱말이 가지는 뜻이나 동의어, 경어법 등을 모아서 의미, 활용, 유사어형의 구별 등의 각도에서 분류해 보는 것이 효과적입니다. 그리고 그것들을 잊어버리지 않도록 연구해야 할 것입니다.

특히 고전의 경우 이미 배웠던 교과서를 차분히 다시 읽어보는 것이 필수불가결 한 것입니다. 정도가 높은 문장과 씨름하는 데 시간을 소비하기보다는 쉬운 문장을 거듭 반복하는 것이 더욱 현명한 것입니다. 이것도 결국 기초 학력을 단단히 다지는 결과가 됩니다. 그러므로 급하다고 서두르지 말고 헌 교과서부터 천천히 복습하는 것이 좋습니다.

국어 과목이 우리의 말과 글이기 때문에 공부를 하지 않아도 잘 할 수 있다는 생각은 버려야 합니다. 국어 과목을 하나의 교과목으로 생각하고 예습과 복습을 철저히 하고, 교양서적을 많이 읽으며 현대문과 고전 각각의 학습방법을 잘 활용하여 공부를 한다면 효과적인 국어 학습이 될 것입니다.

내용출처 : 본인작성
이 글은 "대　　출 카페의 『대출질문』지식"에서 작성된 글입니다. >> 원문보기

Re: 수학상식 몇가지만요

작성자: 이별없는사 (레벨1)

등록일:05.07.22

신고

1. 피부가 너무 까맣다..

여름에는 살이 타기 쉬우므로 썬크림을 많이 발라주세요

그리고 땀을 흘리고 나서 세수를 해주면

더 낳을 것입니다.

그리고 팩이나 화장품등을 사용해보세요 달걀마사지도 괜찮답니다.

2. 키가크고 싶다.

우선 키의 대한 부담을 없애세요

자세을 똑바로 하고 가벼운 스트레칭부터 매일 꾸준히 하시구요

음식을 골고루 먹고

우유는 아침에는 삼가하는게 좋답니다.

3. 머리빨리 자라는 법

머리 빨리 자라는 법을 솔직히 없다고 봅니다.

사람들 말에 의해서는

야한 생각을 하면 빨리 자란다고 하는데..

진짜 그럴까요?

4. 공부잘하는 법

요점정리는 해보세요.

선생님께서 칠판에 적어주시는건 꼭 적어두세요

그리고 암기장을 만들어 암기하면서 다니세요.

예습과 복습을 좋은습관이랍니다~

내용출처 : 본인작성
이 글은 "대　　출 카페의 『대출질문』지식"에서 작성된 글입니다. >> 원문보기

Re: 수학상식 몇가지만요

작성자: 다음나★ (레벨1)

등록일:05.08.15

신고

옜날에 만들었었는데.. 자료가 남아있어 이렇게 씁니다.!





★코끼리와 ∏
어른 코끼리의 발끝에서 어깨까지의 길이는 대략 코끼리의 발길이에 2∏를 곱한 값이다.



★컴퓨터를 바보로 만드는 논리
컴터에게 다음과 같은 명령문을 입력하라.
“나는 지금 네게 거짓을 말하고 있다.”
만일 그렇게 말했을 때 그것이 정말 거짓이라면 실제로는 거짓을 말하는 것이 아니다.
그러나 그렇게 말했을 때 그 말이 거짓이 아니라면 사실은 거짓을 말하고 있는 셈이다.
결국 컴퓨터는 그 명령문의 참 또는 거짓을 분별하지 못하여 먹통이 되고 말 것이다.



★최초의 미터
최초의 1미터는 1791년 프랑스가 정하였는데, 적도에서 파리를 거쳐 북극까지의 거리를
100만으로 나눈 값이다. 1983년에 공식적으로 인정되어 현재 사용되는 1미터는
진공상태에서 299,794,458분의 1초에 빛이 이동한 거리로 정한다. 물론 이 두거리는
같은 값이다.









★ 왜 구구단이라고 할까요?

'구구단'하면 초등학교 때 아무 뜻도 모르면서 외웠던 기억이 난다. 그저 맛도 재미도 없는 암산용의 계산표이다. 그러나 '수학을 십 년 넘게 배워도 남은 게 없다.'는 사람들도 구구단은 생활에 필요하다고 말한다. 한동안 '구구단을 외자'라는 놀이가 유행했었고, 지금도 우리 아이들은 초등학교 2학년이 되면 구구단을 외운다. 그런데 왜 '구구단'이라고 할까? 처음 시작은 '이이는 사, '이삼은 육', '이사 팔'. 바로 이단이 아닌가.

중국이나 우리나라에서의 구구단은 처음에 '구구 팔십일'부터 시작하였다. 옛날에는 구구단을 배우는 사람이 어린 아이가 아니고 어른이었다. 구구단을 사용하는 사람도 일반인이 아닌 특수 계층이었다. 구구단은 일부 사회에서만 독차지하여 사용했던 지혜의 하나였다. 그런데 이 구구단이 어찌나 편리하고 이익을 가져다 주는지 일반인들에게 구구단이 널리 알려져서는 안 된다는 생각을 하였다. 구구단을 마치 숨겨놓은 보물처럼 비밀스럽게 다루었다.그래서 쉽게 익힐 수 있는 구구단을 일부러 어렵게 만들었다. 구구단을 외울 때 구구단의 제일 마지막 대목인 '구구 팔십일'부터 외웠던 것이다. 그래서 '구구단'이라는 이름이 붙여졌다. 그러다가 700여 년 전 중국 원나라 무렵부터 '일일은 일'에서 구구단이 시작되었다. 그 후 우리나라에서도 그것을 따르게 되었다.

유럽에는 구구단과 비슷한 표가 있다. 그러나 외우고 있어도 입으로 표현하기가 어렵다. 예를 들면 '이삼은 육'이 'two times three are six' 또는 'two three are six' 라고 한다. 이 때문에 계산하기 쉽게 표를 만들었다. 그리고 구구단을 전부 외우지 않고 5단까지 만을 외운다. 이에 비하여 우리는 노래 부르듯이 억양을 부쳐가면서 구구단을 외울 수 있다. 어쩌면, 우리 나라 사람들이 유럽 사람에 비하여 셈을 잘하는 이유도 '구구단'을 외우고 있기 때문이 아닐까?







☆재미있는 수학

■ 친구들의 마음 하나로 모으기
▶ 친구들을 모아서 이렇게 해보세요.
① 각자 마음속에 좋아하는 어떤 수를 떠올린다.
② 그 수에 2를 더한다.
③ 그 답을 2배 한다.
④ 그 답에 또 2를 더한다.
⑤ 더한 답을 2로 나눈다.
⑥ 마지막으로 그 답에서 처음에 자기가 생각했던 수를 뺀다.

자, 친구들의 답은 몇으로 나왔을까요?

▶ 서로 다른 수를 생각했는데도 마지막엔 같은 답이 나오는 것이 매우 재미있게
여겨질 것이다. 모두 3으로 나온 이유는 다음과 같다.

처음에 떠 올렸던 수를 A 라고 하면
① A
② A＋2
③ (A＋2)×2
④ (2A＋4)+2 = 2A＋6
⑤ (2A＋6)÷2 = A＋3
⑥ (A＋3)－A = 3









★지구에 사는 모든 사람들의 머리카락 수를 곱하면 몇일까

-> 0이다! 대머리인 아저씨두 있기 땜시롱~ ^-^







-----------------------------

수학신문 뒷부분에 뭐 '쉬어가는 코너' 또는 '재미있는 수학' 이라고 란을 만들어
쓰면 괜찮을 것 같아요^-^ 숙제 열심히 하세요~

내용출처 : 본인작성

Re: 수학상식 몇가지만요

작성자: 경진love (레벨1)

등록일:05.10.23

신고

쉬운건데요

그냥중학이알생만한상식은 더하기.곱하기.빼기.나누기.중학생이이런거모르면  안돼지요 총등학생도아는데분수.등임니다

내용출처 : 본인작성

Re: 수학상식 몇가지만요

작성자: 쌈마캄마야 (레벨1)

등록일:05.11.14

신고

정비례는 y=xa

반비례는 y=a/x

입니다.

도움되시길

내용출처 : 본인작성

Re: 수학상식 몇가지만요

작성자: 조대영 (레벨1)

등록일:06.01.02

신고

Ⅰ. 수학을 배워서 어디에다 쓰나

 기원전 3세기경 이탈리아 시칠리 섬의 시라쿠사에는 아르키메데스(287-212 B.C.)라는 유명한 학자가 살았다. 그는 임금인 히에론에게 수학을 가르치곤 했다. 하루는 임금님이 그에게 ■■수학을 배워서 어디에다 쓰는가?■■라고 물었다.

 아르키메데스는 친절하게도 예를 들어 지렛대와 도르래로 무거운 물체를 들 수 있는 것 등이 모두 수학적인 원리를 이용한 것임을 보였다. 또 포물선의 성질을 이용한 포물거울로 햇빛을 모아 로마함대를 무찌를 수 있었던 것도 수학의 덕분이라고 덧붙였다. 하지만 아르키메데스 자신은 수학의 쓰임보다도 자연에 숨어 있는 섭리를 발견하는 것이 더 큰 즐거움이었다. 지금도 ■■수학을 배워서 어디에다 쓰는가?■■라고 묻는 사람들이 많다. 역사적으로 볼 때 수학은 인류 최초의 학문이다. 고대 그리스 시대에 수학은 곧 철학이었다. 화음이론, 원근법, 투시도, 측량, 천체 관측 등 모든 것이 수학에서 비롯됐다.

 현대 사람들이 추구하는 문제 가운데는 ■■가장 적합한 것을 구하는 것■■이 많다. 어떤 상품을 개발할 때 최대 이윤을 남기도록 하는 것에서 인공위성을 설계할 때 발생하는 문제들이 대부분 수학적으로 해결된다. 과거에는 아무렇게나 만들어도 작동하던 것들이 과학과 기술이 발전하면 할수록 점점 더 효율적이고 적합한 것들을 추구 하기 때문이다. 한마디로 수학을 떼 놓고는 제대로 할 수 있는 일이 없다고 보면 된다. 이제 인류 최초의 학문이면서 인류 최후의 학문으로 불리는 수학이 걸어온 길을 살펴보기로 하자. 

학문 탄생의 산파

 고대 그리스의 수학자들은 길이 재는 법을 가르쳐줬고, 삼각형의 성질을 이용해 강을 건너지 않고도 강 너비를 알 수 있게 해줬으며, 산에 오르지 않고도 산의 높이를 알 수 있도록 했다. 달에 가 보지 않고도 달까지의 거리를 쟀다. 고대 학문의 중심지였던 알렉산드리아 도서관 관장이었던 에라토스테네스는 삼각형의 성질을 이용해 하짓날 정오에 만들어지는 막대기의 그림자를 보고 지구의 크기까지 측정했다. 또 수학자들은 천체의 운동을 관측하면서 시각을 알려줬다. 일년은 3백65일이며, 한바퀴 돌면 3백60도이고, 일년은 12달, 하루는 24시간, 1분 60 초라는 것 등이 모두 수학자 덕분이라는 얘기다.

 뿐만 아니라 수학자들은 기하학을 바탕으로 땅의 넓이를 재는 법도 알려줬다. 이것은 가을에 곡식을 얼마나 거둘 수 있는가를 예측하게 해주었으며, 국가로서는 세금을 걷는 근거가 됐다. 홍수로 강이 범람해 누구 땅인지 구별하기 어려울 때에도 해결책을 제시했다. 또 수학자들은 그리스의 파르테논 신전이나 이집트의 피라미드를 설계할 때 아름다운 황금비를 제안했으며, 필요한 돌의 양을 미리 알려줬다.

 1천5백여년이 지나 지구가 둥글다는 것을 발견하고, 태양을 도는 행성들의 궤도가 원이 아니라 타원이라는 것을 발견한 케플러(1571-1630)의 업적도 그리스의 기하학이 없었다면 이루어지지 못했을 것이다. 이처럼 수학은 시대마다 새로운 학문을 탄생시켰고 미래에도 그러할 것으로 예상된다.

과학을 인도하다

 일반 상대성이론도 독일의 리만(1826-1866)이 비유 클리드 기하학과 공간의 개념을 정립해 1854년에 발표한 ■■리만 기하학■■이 있었기에 가능했다. 리만 기하학은 비유 클리드 기하학과 공간의 개념을 정립함으로써 아인 슈타인이 시간과 공간을 하나로 인식할 수 있도록 했다.

 양자역학과 입자물리학에도 군론과 복소수이론, 확률론은 그대로 이용된다.

19세기 초 프랑스의 갈루아(1811-1832)는 5차 이상의 방정식에 근의 공식이 존재하지 않는 이유를 ■■대칭성 이론■■을 도입해 완벽하게 해결했다. 이 이론은 20세기초에 군론(group theory), 체론(field theory), 표현론(repre-sentation theory)으로 크게 발전했다. 현재 군이론은 통신을 할 때 잡음이 들어가는 것을 수정하는 방법(error correcting code)에, 또는 일부러 잡음을 넣어 보안에 신경을 쓰고자 할 때도 쓰인다.

 20세기 수학자들은 ■■유한군론과 리군(Lie group)론■■을 통해 자연과 사회 및 인간의 마음에 존재하는 모든 대칭성을 찾아 그것들에 대한 도표를 만들기 시작했다. 이것은 4차원 공간이나 그 이상을 설명하고 나아가 물질의 본질을 규명하는 기본 원리로 쓰였다. 과학자들이 자연세계의 본질을 파헤치기 위해 찾으려고 했던 소립자들을 물질이라기보다 ■■대칭성의 표현■■이라고 하는 것도 같은 맥락이다.

신용카드에서 디지털 혁명까지

 최근에 물리학의 양자장론과 끈이론(string theory)에서도 19세기말부터 출발해 20세기말에 매듭이론(knot theory)으로 크게 발전한 위상수학(位相數學, topology)이라는 학문이 크게 쓰이고 있다.

 현대 수학에서 빼놓을 수 없는 것이 암호이론과 게임이론이다. 암호이론과 관련해 튜링(1912-1954)은 2차세계대전 당시 독일군의 암호를 해독해 영국을 전쟁에서 승리하도록 도움을 준 것으로 유명하다. 또 20세기 경제학과 정치학, 외교학 발전에 크게 기여한 게임이론은 독일 수학자 폰노이만(1903-1957)의 작품이다. 물론 튜링과 폰노이만은 컴퓨터를 발명한 장본인들이기도 하다. 컴퓨터가 오늘날처럼 발전하게 된 데에는 여러 과학자들의 힘이 컸지만, 수학자들의 역할도 무시할 수 없다. 예를 들어 불(1815-1864)의 이진법 대수체계에 대한 이론은 1940년 이후 전기회로에 이용되면서 컴퓨터를 이진 회로로 동작하는 기계로 설계하도록 했다.

 현재 전 세계에서 통용되는 ■■공개키 암호■■ 의 원리도 군론과 소인수분해 이론이 응용된 것이다. 이러한 이론은 현대사회에서 개인들이 신용카드를 쓰고, 은행예금을 인출하며, e메일을 주고받으며, 핸드폰을 사용하고, 기업이나 국방외교의 기밀을 보장하는데 유용하게 쓰인다.

 미래시대를 대표하는 용어로 불리는 디지털 혁명도 수학과 함께 시작한다. 프랑스의 푸리에(1768-1830)의 이론에 따르면 모든 주기적인 현상은 sin이나 cos 등 삼각함수의 합으로 나타낼 수 있다. 이 이론은 1948년 미국의 벨 실험실(Bell Lab)의 섀논이라는 수학자의 논문 ■■통신의 수학적 이론■■에 적용된다. 이 결과로 아날로그 통신시대는 막을 내렸고 디지털 혁명을 가속시켰다. 현재 머리카락 굵기의 전선에 6백40만개 이상의 신호를 처리할 수 있게 된 것이 수학자들의 공로란 얘기다. 푸리에이론은 많은 용량의 음악을 담는 CD를 탄생시켰을 뿐 아니라 지구 반대편의 사람들과 얼굴을 보면서 통화하는 것까지 가능하게 만들었다.

날씨와 미분방정식

 현대인의 생활과 가장 밀접한 관련을 맺고 있는 날씨도 수학을 빼고는 설자리가 없다. 태풍이 분다든지 비가 온다든지 하는 기상변화와, 지진이 일어나고 해류가 흐르는 것들을 분석하고 예측하기 위해서는 고도의 미분방정식을 잘 풀어야 하기 때문이다. 일기예보가 어려운 이유 중의 하나는 자료를 분석하고 설계하는 수학이 어렵기 때문이다.

 미분방정식과 같은 수학은 국가의 경제에도 큰 영향을 미친다. 현재 미국이 누리는 호황은 금융호황이라고 불리는데 이것은 금융수학의 바탕에서나 이뤄질 수 있는 말이다. 1973년 블랙과 숄츠 같은 수학자들은 미분방정식 이론이 금융시장에도 잘 적용되는 것을 발견했다. 금융시장의 흐름을 미분방정식을 통해 알 수 있다는 말이다. 뉴욕의 금융시장에서는 수천 명의 수학자들이 새로운 금융상품을 만들어낸다. 국민 연금이나, 퇴직금, 의료보험금 등 경제활동으로 파생되는 경영 문제와 기업평가 등은 수학자의 손에서 이뤄진다. 세계 경제의 흐름을 수학자들이 이끌어낸다고 말할 수 있다. 이렇게 현대 수학은 과학은 물론 경제분야와 일상 생활 전반에 깊게 관여하고 있다.

 수학은 이공계로 갈 사람들만 공부하면 될 것이라고 생각한다면, 이것은 큰 오해다. 수학은 사람의 마음을 종합적으로 훈련시키는 학문이다. 단순히 과학을 배우기 위한 도구가 아니라 바르게 생각하고 바르게 표현하는 방법을 제공하는 언어다. 수학이 비록 실생활에 많은 도움을 주는 면이 많다 하더라도, 눈에 보이는 쓰임에만 중요성을 강조하는 것은 옳지 않다. 금전이 쓰임이 많아도 그 자체가 목적이 아닌 것과 마찬가지이다. 사람의 몸과 마음이 둘이 아니듯이, 이론과 실용도 둘이 아니다.

Ⅱ. 우애수, 완전수, 삼각수, 아라비아수

 '수'없는 세상을 상상할 수 있을까? 우리 주변에서 찾아볼 수 있는 수많은 번호, 예를 들어 전화 번호, 상품 번호, 도서 번호, 자동차 번호, 우편 번호, 아파트 번호, 전철과 도로 번호, 계좌 번호, 신용카드 번호, 비밀 번호, 주민등록 번호, 수험 번호, 학번, 군번 등은 우리가 수 속에 파묻혀 살고 있음을 보여준다. 그리고 시간, 거리, 속도, 넓이, 부피, 무게 등과 같이 실생활과 불가분의 관계를 맺고 있는 개념들도 수를 이용하지 않고는 도무지 설명할 방법이 없을 것처럼 보인다.

 아이들은 말을 배우면서 ■■하나, 둘, 셋, …■■하면서 수를 접하고, 더 큰 수를 말할 수 있음을 자랑스러워한다. 곧 숫자 1, 2, 3, …을 배우고, 수를 계산한다. 수는 볼 수도 없고 냄새를 맡아볼 수도 없으며 만져볼 수도 없는 추상적인 개념이지만, 자연 언어와 마찬가지로 우리의 일부가 된다.

 그렇지만 수가 이런 단계까지 도달하는 데는 길고도 긴 시간이 걸렸고, 수많은 사람들의 피나는 노력 덕분에 손쉽게 수를 다룰 수 있게 됐다. 잠시 과거로 돌아가 여러 이름의 수들이 탄생한 배경을 살펴보자.

하나, 둘, 많이

 원시 시대의 수학을 확인해보는 방편으로 아직도 원시 생활을 하고 있는 부족을 연구하기도 한다. 원주민들은 물건의 많고 적음을 구분할 수 있지만, 얼마나 많은 지를 분명하게 말하지 못한다. 물건의 개수를 나타내는 숫자도 없고 수 이름도 없기 때문이다. 사실 사람의 이름을 짓기가 어렵듯이 수에 이름을 붙이는 것도 매우 어려웠을 것이다. 원시 부족 중에는 수 이름이 고작 ■■하나■■와 ■■둘■■밖에 없는 경우가 있다. 그러면서 ■■많이■■는 앞의 것보다 큰 모든 수에 대한 이름이다.

 말라카에 살고 있는 사카이 부족의 한 노인에게 나이를 묻자, ■■예, 저는 세 살입니다■■라고 대답했다는 이야기도 있다. 아예 수 이름이 전혀 없는 부족도 있다. 스리랑카의 베다 부족에게 코코넛의 개수를 물어보면, 그와 개수가 같은 조개 껍질을 보여주면서 ■■이만큼 많이■■라고 말한다. 호화로울 정도로 많은 수 이름을 만들어준 조상님들께 감사드려야 하지 않을까.

 분명히 새로운 수를 찾고 이에 이름을 붙이는 과정은 매우 어려웠을 것이다. 그래서 수는 소중히 간직해야 할 귀중하고 신성하며 신비로운 재산이었을 것이다. 세월이 흐르면서 수에 의미가 부여됐고, 수에 대한 미신이 생겼으며, 금기 사항이 추가됐다.

가장 존경받는 수 1

 수학이 성년기에 들어선 고대 그리스 시대에 수에 대한 호기심과 신비로움은 극에 달했다. 피타고라스 학파는 (자연)수가 만물의 구성 원소라고 믿었으며, 이에 따라 수 사이의 관계를 터득한 사람은 만물의 현상을 이해하고 지도할 수 있다고 믿었다.

 그들은 수 하나 하나에 의미를 부여했는데, 이를테면 모든 수의 생성원으로서 1은 가장 존경받는 수이며 이성의 수였다. 최초의 짝수 또는 여성의 수인 2는 의견의 다양성을 나타냈다. 최초의 진정한 남성의 수인 3은 단일성과 다양성의 합성으로서 조화를 나타냈다. 4는 정의를 의미했는데, 원한의 해소를 권유하는 수였다. 최초의 진정한 남성의 수와 여성의 수의 결합인 5는 결혼을 의미했다. 6은 창조의 수였다. 그들의 수에 대한 신비로운 연구는 계속돼 우애수, 완전수, 다각수가 등장했다.

220과 284는 우애수

 두 수 220과 284는 약수를 통해 매우 친근한 관계를 맺고 있다. 220의 진약수(자신을 제외한 약수)는 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110인데, 이것들의 합은 284이다. 또 284의 진약수는 1, 2, 4, 71, 142인데, 이것들의 합은 220이다. 서로 다른 친구를 ■■또 다른 나■■라고 역설한 피타고라스는 이 두 수에서 우정의 표상을 발견했으며, 이런 수들을 우애수■■의 쌍이라고 불렀다.

 그리고 신비로운 분위기를 풍기는 우애수의 쌍이 적힌 부적을 나눠 가진 사람 사이에는 완전한 우정이 보장된 다는 미신이 생겼다. 이런 부적을 나누어 가진 한 사람이 지구의 반대편에 가 있더라도 그리고 바늘에 찔리는 정도의 가벼운 상처를 입더라도 다른 사람은 그 사실을 알게 되고 아픔을 함께 느낀다고 생각했다.

 우애수의 쌍에 대한 또 다른 예로 1184와 1210, 17296과 18416 등이 있다. 많은 수학자가 새로운 우애수의 쌍을 찾아내려고 시도했고, 우애수의 쌍을 체계적으로 찾아내는 다양한 방법이 고안됐다. 암스테르담에 살고 있는 수학자 릴레는 최근에 임의로 정한 한계까지의 모든 우애수의 쌍을 계산할 수 있는 방법을 발견했고, 1백억보다 작은 우애수의 쌍 1천4백27가지에 대한 목록을 작성했다.

6일만에 창조된 완전한 세상

 통상 피타고라스 학파의 업적으로 돌리는 것 중에 또다른 것으로 ■■완전수■■, ■■결핍수■■, ■■과잉수■■가 있다. 어떤 수의 모든 진약수의 합이 원래의 수와 같을 때 그 수를 완전수라 하고, 원래의 수보다 작을 때를 결핍수라 하며, 원래의 수보다 클 때는 과잉수라고 한다. 이를테면 6=1+2+3이므로 6은 완전수이고, 8은 1+2+4보다 크므로 결핍수이다. 그래서 성서에 따라 6일만에 창조된 세상은 완전했는데, 노아의 방주에 타고 있던 여덟 사람으로부터 유래된 현재의 인류는 불완전하다. 이 세상에 재난과 질병이 들끓는 이유일까.

 처음 세 개의 완전수는 6, 28, 496이다. 신비로운 완전수에 대한 고찰은 진지한 수학적 연구를 유도했다. 유클리드의 ■■원론■■ 제IX권의 마지막 정리는 다음 명제를 증명하고 있다. ■■2n-1이 소수이면, 2n-1(2n-1)은 완전수이다.■■ 유클리드의 공식으로 얻는 완전수는 모두 짝수인데, 오일러(1707-1783)는 짝수인 모든 완전수가 반드시 이런 꼴이라는 사실을 밝혔다. 그래서 짝수인 완전수에 대한 연구는 2n-1 꼴의 소수에 대한 연구로 귀결됐다.  2n-1 꼴의 수를 ■■메르센 수■■라 하고, 이런 꼴의 소수를 ■■메르센 소수■■라고 한다. 메르센 수는 거대한 소수를 찾아서 기록을 세우려는 사람들에게 귀중한 도구다. 최근에 가장 큰 소수의 명예를 안았던 수는 모두 메르센 소수다(표 2). 현재(1999년 6월)까지 38개의 메르센 소수가, 따라서 38개의 짝수인 완전수가 발견됐다.

 꾸준히 거대한 완전수가 발견되면서 자신이 발견한 완전수가 가장 큰 수가 될 것이라고 발표한 발로우(1776-1862)의 판단은 설자리가 없어졌다. 그는 1811년 한 책에서 n=61에 대응하는 아홉째 완전수에 대해 ■■이 수는 앞으로 발견될 완전수 중에서 가장 큰 수가 될 것이다. 왜냐하면 완전수는 쓸모없고 단지 호기심의 대상이므로 누구도 이것보다 더 큰 수를 찾아내려고 시도하지 않을 것이기 때문이다■■라고 말했다.

 완전수에 대한 연구는 계속되고 있다. 그런데 홀수인 완전수는 존재할까. 이 질문은 오랜 역사를 지니고 있다. 또 쉽게 제기할 수 있고 호기심도 자극한다. 하지만 여전히 미해결된 문제로 남아 있다. 최근에 브렌트와 코헨은 홀수인 완전수가 존재한다면 적어도 3백자리의 수가 돼야 한다는 사실을 발견했다.

해바라기에 들어있는 피보나치 수열

 고대 그리스 시대에는 알파벳을 숫자로 사용했기 때문에, 효율적으로 수를 나타낼 수 없었다. 피타고라스 학파는 점을 기하학적 도형의 형태로 배열해서 수를 나타내기도 했는데, 이것으로부터 ■■다각수■■가 유래됐다. 삼각형, 사각형, …으로 배열해서 나타낸 수를 각각 삼각수, 정사각수, …라고 한다(그림 2). 영어에서 스퀘어(square)는 정사각형과 제곱수를 동시에 나타내고, 큐브(cube)는 정육각형과 세제곱수를 나타내는데, 이것은 그리스 시대에 수를 기하학적으로 나타냈던 전통에서 유래한다.

 삼각수와 정사각수는 각각 하나의 수열을 이룬다. 수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열중 하나가 피보나치 수열이다. 인도-아라비아 숫자를 유럽에 전파하는 데 큰 공헌을 했던 피보나치(1175-1250?)는 다음과 같은 문제를 제시했다. 

 한 쌍의 토끼가 매달 한 쌍의 토끼를 낳고 새로운 토끼 쌍은 두 번째 달부터 한 쌍의 새끼를 매달 낳는다면, 한 쌍의 (새끼) 토끼는 일년 뒤에 몇 쌍의 토끼로 불어나겠는가?

 어렵지 않게, 이 문제는 다음과 같은 흥미로운 수열이 된다는 사실을 보일 수 있다. (각 항은 각 달의 토끼 쌍의 수이다.)

  1, 2, 3, 5, 8, 13, …, m, n, m +n, …

 처음 두 항은 1이고 그 뒤의 항은 바로 직전 두 항의 합과 같은 이 수열을 ■■피보나치 수열■■이라고 부른다.

 단순한 흥밋거리에 불과할 수도 있는 이 수열은 수학의 여러 분야와 컴퓨터 과학에서 매우 의미있게 응용된다. 실제로 피보나치 수열과 이와 관련된 사실을 주로 다루는 학술지인 ■■피보나치 계간지■■도 있다. 1963년에 창간된 이 잡지는 매년 4-5호를 발간하며, 2000년 2월 현재 제38권 제1호가 출판됐다.

 그런데 더욱 놀라운 점은 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다는 사실이다. 많은 식물의 꽃잎 수, 해바라기와 파인애플에서 시계 방향과 시계 반대 방향의 나선의 개수에서 피보나치 수열의 항을 발견할 수 있다. 그리고 식물의 줄기에서 뻗어 나온 잎(또는 봉우리 또는 가지)을 생각해 보면, 줄기의 밑 근처에 있는 어떤 잎 하나에서 수직으로 위에 있는 잎까지 도달할 때까지 줄기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면, 그 수는 일반적으로 피보나치 수열의 항이 된다.

만국 공통어 아라비아 수

 수는 그 자체로 호기심을 야기하고 흥미롭기 때문에, 수를 연구하는 사람은 쉽게 눈에 띈다. 그렇지만 고대의 수 체계로 수를 나타내고 간단한 사칙 연산을 하기 위해서도 상당한 집중력과 큰 고통을 감내해야 한다. 그래서 수의 계산을 보조하는 수판이 동서양 모두에서 이용됐다.

 우리가 수를 자유자재로 다룰 수 있게 된 것은 열 개의 숫자 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9가 위치에 따라 다른 자릿값을 갖도록 수를 나타내는 인도-아라비아 수 체계라는 훌륭한 수 표기법을 갖고 있기 때문이다. 고대 로마나 이집트의 숫자와 비교하면 얼마나 간단하게 나타나는지 확인할 수 있다. 특히 빈 자리를 표현할 수 있는 ■■0■■의 출현은 인도-아라비아수가 어떠한 언어보다도 보편적으로 사용되는 만국 공통어로 자리매김할 수 있도록 했다. 한마디로 모든 자릿수를 표현할 수 있을뿐 아니라 간단한 알고리즘으로 계산을 손쉽게 할 수 있다는 것이 인도-아라비아수가 세계적으로 통용된 이유다.

 그런데 편리하고 영리한(?) 인도-아라비아 숫자는 처음에 어떻게 만들어졌을까. 아라비아 숫자가 어떤 합리적인 규칙이나 의미를 갖고 만들어졌을 것이라고 추측할 수 있으며, 그러기를 희망한다.

 모로코 박물관장인 부지바르여사는 인도-아라비아 숫자가 그에 해당하는 개수만큼의 각을 포함하도록 형상화했다고 주장한다. 여기서 각은 크기가 1백80 인 평각보다 작은 각을 의미한다. 인도-아라비아 숫자의 탄생에 대해 다시 한번 생각해보는 것은 어떨까.

Ⅲ. 평면나라에서 공간나라로

 주변을 둘러보자. 동그란 컵, 네모난 모니터, 세모난 시계 등 모든 물건들이 일정한 형태를 띠고 있다. 물건만이 아니다. 현대적인 건물로 불리는 건축 양식에서는 더욱 다양한 형태의 도형을 만날 수 있다. 수학 책에서는 별로 아름다워 보이지 않던 도형들이 새로운 삶을 부여받은 듯 한껏 자신을 뽐내고 있는 것일까. 점에서 시작해 다각형, 원, 다면체까지 다양한 형태를 띠는 도형들은 세상을 더욱더 풍요롭게 만들고 있다.

 도형의 세계에서 막내둥이는 점이다. 점은 위치만 나타내고 크기는 없다. 연필로 점을 찍지만 현미경으로 확대해보면 크기가 있으므로 진짜 점은 아니다. 페인트칠을 하는 원리는 점을 움직여서 면을 만드는 것이다. 직선, 선분, 삼각형, 사각형, 다각형, 원 등은 점으로 구성돼 있는 도형세계의 또 다른 식구다. 이들과 재미있는 만남을 주선하고자 한다.

세발의자와 네발의자 차이

 세발의자는 밑바닥이 어떤 모양이라도 안정되게 앉을 수 있다. 그러나 네발의자는 바닥이 편평해야 안정된다. 그 이유는 무엇일까. 세 점은 한 평면을 결정하지만 네 점은 특수한 경우에만 한 평면을 결정하기 때문이다. 바로 문제는 평면의 결정조건에 있다. 그렇다면 세 점을 선분으로 이은 삼각형을 살펴보자.

 대부분의 목조 건물은 벽을 쌓고 문틀을 짜서 세울 때 대개 문틀 안쪽에 버팀목을 세워 문틀을 안정시킨다. 문틀은 대개 직사각형이다. 이는 공간의 활용을 극대화시킬 수 있는 형태이기 때문이다.

 이런 구조물에 힘을 가하면 평행사변형으로 찌그러진다. 정사각형이 찌그러지면 마름모꼴이 된다. 그러나 삼각형에는 힘을 가해도 결코 찌그러지지 않는다. 이는 삼각형은 세 변의 길이가 정해지면 자동적으로 각도가 고정되기 때문이다. 유럽의 건축물은 처음부터 삼각형 형태로 구조물을 여러 개 만들어놓고 그것을 조립해나가는 트러스(truss)방식을 많이 사용했다. 성수대교를 비롯한 한강의 다리를 살펴보자. 트러스교가 어떻게 힘을 분산시키고 있는가.

곡선 나라의 왕 ■■원■■

 곡선은 직선과 달리 수학자들을 꽤나 고생시킨 것으로도 유명하다. 옛날에는 원에 대해 얼마나 아는가가 수학 실력을 결정하기까지 했다. 원은 모두 닮은꼴이라는 사실로부터 ℓ/ 2r` (ℓ`은 원주의 길이, r`은 원의 반지름 )이 모든 원에 대해 일정하다는 사실이 나온다.

 ℓ`/ 2r``=``π로 원주율이라 하는데 3.1415926… 로 끝이 없는 무리수다. 과거 원주율 `π를 계산해내는 것은 그 나라의 수학 수준을 측정하는 방법이기도 했다. 아르키메데스는 원에 내접한 다각형과 외접한 다각형의 둘레의 길이를 계산하는 정다각형법을 이용해 원주율을 계산했다(그림 1). 그 후 많은 사람들이 새로운 방법으로 원주율을 계산했다(과학동아 98년 6월호 참고). 그러면 원의 넓이는 어떻게 계산했을까. 원주를 2n 등분해 부채꼴로 나누고 다시 평행사변형꼴로 모은다. n`을 크게 하면 평행사변형꼴은 직사각형으로 다가가면서 원의 넓이는 S``=``πr` × r``=`πr2 이 된다. 별로 측량기구가 없던 시대에 에라토스테네스(B.C. 273-192)는 지구의 둘레를 오직 수학만으로 계산해냈다. 그는 하지가 되면 이집트 시에네에 있는 우물 바로 위에 태양이 오고, 같은 시각에 그곳으로부터 8백km 떨어진 알렉산드리아에서 태양을 보면 7.2도 기울어진다는 사실을 알았다. 원호의 길이는 중심각에 비례한다는 이론을 이용해 (지구둘레) : 800km =``360°: 7.2° 에서 (지구둘레) =``800 ×(360 /7.2)``=``40000km를 알아냈다. 현재 알려진 4만77km 과 비교하면 얼마나 정확한 것인가 알 수 있다.

 ■■지름에서의 원주각은 항상 직각■■이라는 사실과 관련된 이야기가 있다. 16세기 독일의 유명한 계산가 레이제(1492-1559)는 모자에 은으로 만든 컴퍼스를 꼽고 뽐내는 측량가를 만나 단시간에 누가 많은 직각을 그리는가 내기했다. 측량가가 직각자로 하나하나 직각을 그리는 동안에 레이제는 반원을 그려놓고 그 위에 많은 직각을 그렸다. 물론 승리는 레이제에게 돌아갔다. 지금도 공작물이 반원으로 돼 있는지를 검사하기 위해 직각자를 반원에 넣어 본다. 대단하지도 않은 이야기 같지만 수학이 잘 알려지지 않았던 중세에는 있을 법한 우스운 이야기다. 현재 우리가 알고 있는 많은 간단한 수학 공식들은 수학자들이 자연의 규칙성을 찾아내려고 골몰한 덕택이다. 물론 그 이득은 후세의 사람들이 톡톡히 보고 있지만 말이다.

닮음의 조화 A4 용지

 두 장의 색종이를 겹쳐 가위로 자르면 완전히 포개지는 모양을 얻을 수 있다. 이때 두 도형을 합동이라고 한다. 이에 비해 닮음은 사진의 확대나 축소, 복사기의 확대나 축소에서 경험할 수 있다. 닮음이 가장 효율적으로 사용되는 복사용지에 대해 생각해보자.

 A4, B4로 불리는 복사용지는 일상생활에서도 많이 사용된다. 구조적인 측면에서 축소나 확대에 유용하도록 재단돼 있기 때문이다. 즉 2배로 복사했을 때 복사지에 있는 내용이 그대로 A3 나 B3 로 옮겨갈 수 있게 돼 있다. 원리는 간단하다. 전지의 길이대 폭의 비를 x:1이라고 하자. 이것을 절반으로 자른 종이의 길이대 폭의 비는 1:x/2 다. 두 직사각형이 닮은꼴이므로 비례식 x:1=1:x/2가 성립하고 이로부터 x`=``√2`가 된다. 이렇게 전지의 폭에 대한 길이의 비를 √2 `로 택하면 반으로 자르는 과정에서 항상 이 비가 유지된다. 도형의 닮음이 실생활에 유용한 재단에 이용돼 종이의 낭비를 막고 있다는 얘기다.

 A 판은 넓이가 거의 1m2 가 되도록 설계돼 있다. 원판 A0`의 넓이는 841×1189` =`999949`` (mm2`)`인데 841×1.414``=1189.174 `로 확인할 수 있다. B판의 원판 B0`는 1030 ×1456``=1499680``(mm2)`으로 약 1.5``(m2)` 가 되는데, 1030×1.414``=1456.42` 이다.

기하학이 논리적인 이유

 그림의 일부를 확대한 것이 전체와 같은 모양이 될 때 자기닮음(self-similarity)이라고 하고 그런 도형을 프랙탈이라 한다. 자연을 관찰하면 이런 모양을 많이 발견할 수 있다. 자연현상에서 카오스(chaos)가 일어나는데 이 현상을 그림으로 해석할 때에도 프랙탈이 나타난다. 시어핀스키 삼각형도 간단한 형태의 프랙탈이다. 삼각형에서 출발해 중점끼리 연결한 중점삼각형을 제거해나가는 식으로 계속해나가면 시어핀스키 삼각형이 만들어진다. 이런 도형들을 연구하는 기하학을 프랙탈기하학이라 하는데 아름다운 자연을 그대로 표현하는 가장 강력한 수학이다. 

 그러면 이런 도형을 연구하는 기하학은 어떻게 발전했을까. 기하학은 유클리드의 원론에서 출발한다. 이것은 이집트와 바빌로니아의 실용수학의 결과를 다듬어서 체계화시킨 것으로 상당히 구조적으로 전개돼 현대 수학의 원류가 됐다. 논리적으로 따지기 좋아하는 그리스인들의 성향이 기하학에까지 묻어난 것일까. 그러고 보면 기하학의 성격, 나아가 현대수학의 성격이 논리적으로 발달한데는 그리스인들의 역할이 크다. 유클리드 기하학은 참이라고 생각되는 공리(axiom)와 공준(postulate)을 먼저 주고 삼단논법에 의해 정리(theorem)를 유도해나가는 체계를 갖는다. 예를 들어 ■■두 점은 한 직선을 결정한다.■■등의 공리를 주고 ■■삼각형의 내각의 합은 180° ■■라는 리를 증명하는 식이다. 따라서 공리와 공준(기하학적 공리)은 누구나 인정할 수 있는 명제여야 한다. 이는 현대 수학의 체계와 거의 같다. 그리스와는 다르게 다른 문명에서는 현실의 필요성에 의해 기하학이 발전했다. 예를 들어 구장산술을 보면 천문관측이나 건축을 위해 기하학을 연구했음이 나타난다.

 기하학의 연구 결과는 실생활에 드러나기 마련인데 그 중 재미있는 것이 동서양에서 차이를 보이는 황금비다. 서양은 1:(1+√5 )/2≒1:1.6`를 황금분할이라 해 아름다운 것으로 여기면서 건축, 회화, 조각 등에서 이용했다. 심지어 액자, 책, 명함, 담배나 성냥갑도 황금비로 돼 있다. 하지만 동양, 특히 한국에서 기본적인 구도는 1:√2 ≒ `1:1.4`의 비율을 따른다. 분묘의 내부, 불상, 사원 등의 중요한 건축물에 1: 1.4의 비는 거의 예외 없이 사용된다. 동서양의 미적 차이가 서로 다른 황금비를 만든 것일까.

유클리드 기하에서 위상 기하까지

 유클리드 원론에 있는 것처럼 삼각형과 원에 대해 연구하는 기하학을 유클리드 기하학이라 한다. 옛날 사람들은 유클리드 기하학 이외에는 상상을 하지 못했다. 그러나 새로운 기하학이 가능하다는 사실이 밝혀졌다. 발견의 출발은 평행선 공준(■■한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점이 주어졌을 때 그 점을 지나고 그 직선과 만나지 않는 직선은 단 하나 있다. 이 직선을 평행선이라 한다■■)이 특이하게도 다른 공리나 공준으로부터 유도될 수 있지 않을까를 증명하려고 노력한데 있다. 사실상 증명이 불가능한 것을 증명하려고 노력하면서 사케리는 비유클리드 기하학의 성질들을 발견했다. 결국 유클리드 기하학의 절대 권위를 부정하는 행위, 즉 평행선 공준을 부정해 평행선이 없다는 기하학과 평행선이 무한히 많다는 기하학이 탄생하는데 이를 비유클리드 기하학이라 한다. 

 구면에서 대원을 직선으로 보면 평행선이 없다는 비유클리드 기하학이 되고, 단위원에서 그 원에 수직인 원이나 직선의 단위원 내부 부분을 직선으로 보면 평행선이 무한히 많다는 비유클리드 기하학이 된다. 직선을 곧은 선으로 보지 말고 공리나 공준을 만족하는 그 어떤 것으로 보는 결단이 필요했다는 것이다.

 나중에 비유클리드 기하학은 가우스가 토지측량을 수학적으로 처리하면서 발전시킨 곡선과 곡면의 기하학인 미분기하학으로 편입된다.

 사람의 눈은 보통 원근을 구분할 줄 아는데 이는 사영기하적으로 사물을 보기 때문이다. 레오나르도 다 빈치의 ■■최후의 만찬■■이 아름다운 것도 사영기하학적으로 원근법이 완벽하게 구현됐기 때문이다. 현재 디지털 애니메이션으로 불리는 것들도 사영기하학 없이는 탄생할 수 없는 분야다. 사영기하학이 그만큼 실감나는 영상을 만드는데 기초가 된다는 말이다.

 기하학은 한마디로 공간에 대한 연구이고 이러한 기하학을 대표하는 것이 위상기하학이다. 위상기하학은 연속적인 변형에 의해 불변이 되는 성질을 다루는 기하학으로 양자역학에서 등장하는 방정식 등을 해석하는 방법론을 제공한다. 즉 게이지변환처럼 상호작용을 표현하는 함수(예를 들어 포텐셜)를 변화시키는 특정한 규칙들에 적용된다. 이 규칙에 의해 변화된 함수에 의해서도 실제적인 물리량(예를 들어 전기장)이 변하지 않으면 게이지 변환에 불변이라고 한다. 맥스웰의 전자기학 이론이 게이지 변환에 불변인 것이 알려지면서 모든 가설이 이론으로 자리잡는데 이것은 필수조건이 됐다. 산의 높이를 측정하는데서 출발한 기하학이 이제 새로운 과학 이론의 출현을 돕고 있는 것이다.

Ⅳ. 수학은 왜 어려운가?

 은혜는 지금 수학 때문에 한 걱정이다. 어떻게 수학만 이리도 못할 수 있을까. 선생님이 풀 때는 잘 알 것 같다가도 시험 문제만 풀려고 하면 영 생각이 안나니 말이다. 또 어디서 많이 본 문제 같은데 어디서부터 손을 대야할지 몰라 이 문제, 저 문제에 조금씩 손만 대다 말아 버린다. 초등학교때는 수학이 쉬웠는데 왜 점점 어려워지는지. 요즘은 수학 시간만 되면 머리가 아프고 배도 살살 아프다. 그리고 수학 시간은 너무 길게만 느껴진다.

몸으로 느껴야 한다

 고등학교 2학년 교실에서 ■■수학■■하면 떠오르는 말을 쓰도록 한다면 어떤 말이 가장 많이 나올까. 교사들은 구동성으로 ■■어렵다■■를 꼽는다. 정말 수학은 어려운 것일까. 장훈(한성과학고)교사에 따르면 소수의 우수한 학생들을 제외하고 대부분의 학생들에게 수학은 어렵다. 왜냐하면 수학은 형식적인 언어이기 때문이다. 특히 학년이 올라갈수록 수학을 더 어렵게 느끼는 것은 형식적인 언어의 수준이 더 높아지므로 당연한 말이란다.

 대부분의 사람들은 어렸을 때 수학적인 사고를 경험하지 못한다. 이런 상황에서 갑자기 피타고라스의 정리, 수열의 합, 미분방정식을 배우는 것은 무리다. 수학자들이 오랜 시간 고민한 끝에 도달한 수많은 정리들을 수업시간 10-20분 안에 이해하기를 바라는 것 자체가 문제의 출발점이 아닐까. 장훈 교사는 이에 대해 ■■수학을 체험할 필요가 있다■■고 주장한다. 원의 면적을 πr2이라고 외우기 전에 원을 작게 잘라 직사각형 형태로 만들어 면적을 구해보고, 아르키메데스의 사고 천칭을 이용해 원기둥의 부피와 원뿔 부피의 관계를 알아내고, 회전식 수조로 피타고라스의 정리를 눈으로 보고 가슴으로 느껴야 한다는 것이다.

 이것에 대해 ■■지금도 진도 나가기 빠듯한데, 언제 뭘 만들어 본다는 말인가■■라고 생각하는 교사들이 많을 것 이다. 하지만 그렇게 진도 나가서 얻은 것은 무엇일까. 남호영교사(대림여중)도 가르치는 방법이 바뀌지 않으면 수학이 어려운 과목으로만 인식되는 길을 피할 수 없다고 말한다. 이를 위해 현재 수학교사들의 움직임은 발빠르다. 수학교사들이 93년부터 ■■수학사랑■■이라는 모임을 만들어 세미나와 토론을 통해 수업 현장에서 직접 활용할 수 있는 수업 자료와 교구를 만들어 활용하고 있는 것이다. 조윤동(서초전자공고)교사에 따르면 수학사랑에서 개발된 교구와 퍼즐, 놀이와 수업안 등은 학생들이 직관적으로 수학을 느끼게 하는데 목적이 있다. 대부분의 수학교사들이 수학에서는 직관적인 인식이 중요하다는데 동의하고 있다는 것도 덧붙이면서 눈으로 보고 손으로 느끼는 수학의 필요성을 강조한다.

가장 소중한 사고 과정

 그렇더라도 수학하면 빼놓을 수 없는 것이 문제풀이다. 사실 학생들이 많은 시간을 투자하는 시간 역시 문제풀이다. 수학은 기초적인 개념 위에 새로운 정의나 정리를 세워 더 고급의 지식으로 논리적으로 전개해 나가기 때문에 어떤 개념을 배운 후에는 반드시 연습해야 한다. 일부의 극히 우수한 학생들에게는 그런 과정이 필요없을지 모르지만 대부분의 보통 학생들에게는 연습문제를 풀어 그러한 유형의 문제를 익히는 일은 대단히 중요하다.

 문제를 해결했다는 것은 수학적인 개념을 이해했다는 가장 명확한 증거가 된다. 하지만 수학자들이 학생들의 문제풀이에서 기대하는 것은 정답만이 아니다. 바로 어떻게 생각해 정답에 이르게 됐는가 하는 과정이다. 문제를 해결할 때 학생이 어떤 사고과정을 거쳤는가는 답보다 훨씬 중요하다. 특히 문제를 풀 때마다 기존에 알고 있던 지식만을 이용하는 것이 아니라 새로운 방법을 찾아내려고 하는 것은 수학을 통해 창의적인 사고를 경험할 수 있는 최고의 기회다.

 하지만 대부분의 학생들은 문제풀이 방법을 능동적으로 생각하기 보다 교사의 설명을 수동적으로 받아들이려는 경향이 있다. 그리고 교재나 참고서의 풀이를 보며 어떻게 풀어놨는가를 눈으로 확인한다. 물론 여기서는 문제를 푼 결과만을 볼 수 있을 뿐이며, 푸는 과정과 어떻게 생각하고 문제를 풀어나가는가를 배울 기회는 거의 없다.

 힘들더라도 스스로 생각을 하고 문제를 해결해야 개념을 이해할 수 있다. 그래야 다른 유형의 문제도 같은 개념이라면 간단하게 해결할 수 있다. 응용력이 길러진다는 말이다. 문제를 풀려고 할 때 어디서부터 어떻게 풀어야 할지 막막하다는 학생들의 대부분은 직접 문제를 해결하는데 대한 두려움을 안고 있다. 이것은 생각하기를 기피하는 학생들의 전형적인 특징이기도 하다.

나만의 방법으로 문제 해결

 요즘 교육에서 최대의 목표는 창의성이다. 이에 대해 수학자들은 창의성을 기대할 수 있는 학문의 으뜸으로 수학을 꼽는다. 하지만 현장교사들의 지적대로 현재로는 학생들에게 수학적인 창의력을 기대하기는 어렵다. 학생들에게 어느 정도의 수학적 사고력과 수학적 문제해결력은 기대할 수 있으나 수학적 창의력까지는 기대할 수 없다는 말이다. 수학적 창의력은 창의적인 문제해결 과정을 통해 수학문제를 해결하는 능력이다. 그것은 이미 알고있는 지식, 개념, 원리, 문제해결 방법을 새롭게 관련짓거나 자신이 새롭게 문제 해결 방안을 만들어 수학문제를 해결하는 능력이다. 수학적 창의력은 가장 고차적인 수학적 사고능력이다.

 그렇다면 수학적 창의력을 기르기 위해서는 어떻게 해야할까. 무슨 이론이라도 있는 것일까. 안타깝게도 특정한 이론은 없다. 단 창의력은 직관적인 능력과 관련되며, 개개인에게 가장 중요한 것은 사전에 연관성이 없던 개념들을 연관시킬 수 있도록 사고의 폭을 넓히는 것이 중요하다고 인식될 뿐이다. 이렇게 말로만 하면 수학적 창의력에 대한 느낌이 와 닿지 않는다. 간단한 문제를 통해 수학적 창의력이 낮은 수준과 높은 수준의 문제 해결을 살펴보자. 

 ▣ 디오판토스의 방정식 문제

 나는 생의 1/6은 유아로, 1/12는 소년으로, 1/7은 총각으로 살았다. 결혼한 지 5년 후 아들을 낳았고 아들은 나보다 4년전에 죽었는데, 아들은 나의 삶의 반을 산 셈이다. 나는 몇 살에 죽었는가?

 <수학적 창의력이 평범한 수준의 풀이>

 문제를 분석하면 선형 모형을 만들 수 있다.

 x: 내가 죽었을 때의 나이, y: 아들의 나이

 x/2=(1/6+1/12+1/7)x+5+4

 x=84, y=42

 <수학적 창의력이 가장 높은 수준인 풀이>

 문제를 해결할 때 가장 창의적인 방법은 직관과 경험, 그리고 문제에 내재된 가정을 통해 푸는 것이다. 이 문제의 이면에 숨겨져 있는 가설은 다음과 같다.

 나이는 0이상 100이하 정도의 양의 정수로 표현된다.

 나이의 1/6, 1/12, 1/7도 정수로 표현될 수 있는 인생의 한 시점이다. 

 0과 100 사이에 6, 12, 7의 배수가 많지 않다.

 이러한 조건에서 이들 수의 배수는 84뿐이다.

 전형적인 방정식 문제를 창의적으로 해결한 예다. 남호영교사에 따르면 이러한 해결 능력은 확실한 지식과 풍부한 경험을 요구한다. 이제 문제집의 수많은 문제를 누구나 같은 방식으로 해결하기 보다 한 문제라도 나만의 방법으로 해결해보는 것은 어떨까. 국제수학올림피아드에 참가하는 학생들을 지도한 방승진교수는 우수한 성적을 거두는 학생들이라도 창의적인 측면에서는 많이 미흡한 것이 사실이라고 귀띔한다. 덧붙여 진도 중심의 수학교육 방식을 탈피해 연구주제 중심의 수학교육을 제시한다. 간단한 피타고라스 정리를 1백여 가지가 넘는 다양한 방법으로 증명해봄으로써 자연스럽게 창의적인 사고를 경험할 수 있다는 말이다.

수학에서의 남과 여

 흔히 여학생은 수학을 못한다고 생각한다. 정말 그럴까. 권오남(이화여대 수학교육과)교수에 따르면 초등학교 저학년까지는 남녀의 차이가 거의 없지만 초등학교 고학년부터 중학교까지 는 남학생이 우세하고, 그 차이는 고등학교에서 점차 심화된다. 또 여학생들은 계산과 같은 낮은 인지단계의 사고를 요구하는 문제에서, 남학생들은 추론이나 다단계 문제 풀이와 같은 높은 인지 수준의 문제를 잘 해결한다. 수학적 능력의 성별차이가 학년이 올라감에 따라 가중되는 것과 같은 맥락이다. 그리고 공간능력을 필요로 하는 기하과목에서는 특히 남학생들의 능력이 뛰어나다. 이것은 남학생들이 성장과정에서 공간능력을 발달시킬 수 있는 블록이나 장난감을 접할 기회가 여학생보다 많기 때문이라고 설명될 수 있다.

 또 수학을 공부하는데 있어 중요한 자신감도 남녀 차이가 크다. 남학생은 성공을 자신의 능력에 의한 것이라고 보는 반면 여학생들은 노력이나 운으로 돌리는 경향이 많다. 한마디로 여학생들은 남학생보다 자신감이 부족하다. 심지어 수학적 능력이 동등한 학생들일지라도 자신감에서는 차이를 보인다. 또 여학생들은 남학생들보다 수학의 유용성에 대해 부정적인 견해를 갖고 있다. 남호영 교사에 따르면 여학생들은 수학이 남자에게 필요한 과목이라고 생각할 뿐 아니라 자신들의 미래에 수학은 큰 기여를 하지 않는다고 생각한다. 이러한 생각은 수학을 공부하는데 가장 큰 약점으로 작용한다. 학습에 있어 자신감이나 필요성은 그 어떤 요인보다 중요하다는 것은 이미 알려진 사실이다. 나이가 들면서 점차 심화되는 수학적 능력의 남녀 차이는 교육환경과 사회문화적인 배경의 영향이 타고난 능력보다 크게 작용된 결과라고 말할 수 있다.

 수학을 통해 세상의 질서를 읽으면 과학의 이론은 물론 경제분야의 흐름을 읽어낼 수 있다. 수학을 아름답다고 이야기하는 사람은 이것을 파악한 것이다. 하지만 수학은 결코 쉽지 않다. 1999년 제40회 아시아-태평양 수학올림피아드에서 금상을 수상한 박영한군(경기과학고 3년)에게도 수학은 어렵다. 하지만 박군은 어려운 문제일수록 큰 희열을 가져다준다고 말한다. 골똘히 문제에 집중하다 해결의 실마리를 찾으면 그것처럼 시원한 것이 없다는 것이다. 

 사실 현재 학생들이 수학을 기피하는 이유 중의 하나가 생각하기를 싫어하는데 있다. ■■학생들은 빠른 미디어 문화에 젖어있어 기다릴 줄 모르고 끈질기게 매달려 생각하려 들지 않는다■■고 말한 장훈교사의 지적도 같은 맥락이다. 남호영교사는 생각을 끈질기게 하도록 하는데 가장 방해가 되는 것은 어렸을 때부터의 학습 방법이라고 말한다. 학습지 중심으로 이뤄지는 수학 문제풀이는 학생들로 하여금 늘 정확한 답만을 요구한다는 것이다. 이것은 학년이 올라갈수록 심해진다. 중고등학생이 돼서도 항상 관심은 정답에만 있다. 남호영 교사는 ■■심지어 주어진 답이 틀리고, 자신이 옳았음에도 문제해결 과정을 체크하려 들지 않는다■■면서 정답에만 관심을 갖는 태도를 비판한다. 

 현재 청소년들의 가장 큰 특성은 개성이 강하다는 것이다. 이것은 수학자들도 마찬가지다. 수학자들은 다른 사람이 증명한 것을 인정하려들지 않고 자기만의 방법으로 증명하려고 한다. 그래야 무슨 정리 앞에 자신의 이름이 들어가기 때문일까. 개성이 강한 n세대들이 끈기있게 생각할 줄 아는 태도를 갖는다면 수학은 보다 많은 가능성의 미래를 열어 줄 것이다.

수학을 잘하는 방법

마음가짐

1. 실수를 두려워하지 말자.

2. 수치심을 갖지 말자.

3. 서두르지 말자.

4. 해답을 보지 말자.

5. 주관식 문제를 풀자.

행동지침

1. 수학공부는 장기전이다.

따라서 수학을 얼마나 ■■잘 하느냐■■ 보다 얼마나 ■■좋아하느냐■■ 가 중요하다.

● 갑자기 하기 힘들므로 매일 수학문제를 푸는 습관이 중요하다.

● 이해하기 힘들므로 수학공부에는 예습이 중요하다.

● 언제나 시작할 수 있으므로 수학을 포기할 필요는 없다.

2. 기초가 중요하다.

● 문제해결의 과정과 해결방법을 이해하자.

● 교과서를 잘 공부하자.

● 해답을 보지 말자.

3. 먼저 이해하고 나중에 외우자.

4. ■■외우는 수학■■에서 ■■생각하는 수학■■ 으로 전환하자.

수학문제의 해결과정

문제이해 ----> 해결계획 ----> 계획실행 ----> 반성

●문제이해 

 ■■구하고자하는 것은 무엇인가?■■ ■■제공된 정보나 자료는 무엇인가?■■ 와 같은 질문에 답해야한다.

●해결계획 

 식 세우기, 그림 그리기, 표 만들기, 규칙성 찾기, 목록 만들기, 논리적 추론, 거꾸로 풀기, 예상과 확인, 가르기, 숫자를 채워서 계산하기, 특수화(극단적으로 생각하기), 열거하기 등의 방법을 계획한다.

●반성 

 쓰여지지 않은 조건이 있는가, 다른 풀이가 있는가, 논리적인 비약이 없었나를 검토한다. 그리고 자신의 사고과정이 논리적인가도 되짚어본다.

내용출처 : 본인작성

Re: 수학상식 몇가지만요

작성자: 친절한은자씨~ (레벨1)

등록일:06.02.14

신고

1.화장지의 양

두루마리 화장지는 둥근 원통형이다. 이 두루마리 화장지는 통의 넓이가 일정하므로 원통의 부피는 원의 넓이에 비례한다. 우리가 '화장지가 반쯤 남았군'하고 생각할 때는 원의 반지름이 반으로 줄었을 때이다. 그러므로 남은 화장지의 양은 4분의 1밖에 남지 않은 것이다. 아직 조금 남아 있는 것 같은 때는 사실 남은 화장지의 양은 900분의 1밖에 되지 않는다. 그러다 보니 위기 상황이 발생되는 것이다. 화장실에는 반드시 예비 화장지를 준비해 놓아야 한다.

샤워할 때도 닮음의 원리는 모습을 드러낸다. 흔히 사용하는 비누는 처음에는 잘 줄어들지 않는다. 그런데 어느 순간부터는 순식간에 줄어들더니 나중에는 너무 얇아져서 그냥 부러져 버리고 만다. 왜 그럴까? 여기에도 닮음의 원리가 적용된다. 우리가 비누의 크기가 반으로 줄어들었다고 생각할 때 사실은 가로, 세로, 높이가 모두 반으로 줄어든 것이다. 따라서 부피는 8분의 1로 줄어든 것이다. 그러니까 거의 90%(87.5%) 가까이 써버린 것이다. 남은 비누의 양이 더욱 빠른 속도로 줄어드는 것은 당연하다.

우리가 원뿔을 뒤집어 놓은 모양의 아이스크림 콘을 반쯤 먹었다고 생각했을 때 사실 남은 건 얼마일까? 우리가 반쯤 먹었다고 생각할 때는 보통 아이스크림의 높이가 반쯤 됐을 때이다. 그러니까 남아 있는 아이스크림의 닮음비는 2:1이 된다. 그럼 부피의 비는? 닮음비의 세제곱을 해야 하니까 8:1이 된다. 남은 아이스크림의 양은 처음의 8분의 1밖에 안 된다는 것이다. 그럼 어떻게 해야 하는가? 남이 뭐라든 쫀쫀하게 아껴 먹는 수밖에 없다.

2.A4용지의 비밀

A4 용지는 우리가 가장 흔히 사용하는 종이다. 복사용지를 포함해 공문서, 전화번호부, 디자인계통잡지, 여성종합지 등에 A4 용지를 쓴다. 이것은 우리만 사용하는 것이 아니라 전 세계적으로 사용하는 규격용지다.
A4 용지의 규격은 297×210㎜이다. 단순하게 300×200㎜로 정하면 훨씬 편했을 텐데 왜 이렇게 복잡한 수치를 사용했을까? 일상 생활에서 사용되는 용지는 제지공장에서 만든 큰 규격의 전지를 절반으로 자르고 또 다시 절반으로 자르는 과정을 반복해서 만든다. 그런데, 300×200㎜와 같은 종이를 절반으로 자르면, 200×150㎜의 크기가 되어 처음 종이에 비해 뭉툭해 보인다. 이런 종이를 실생활에 필요한 용도로 이용하기 위해서는 일부를 잘라내어 보기 좋은 형태로 만들어야 한다. 그렇게 되면 아까운 종이가 낭비된다.
종이의 규격을 처음으로 제안한 곳은 독일의 표준화 연구소였다. 연구소는 종이의 낭비를 최소로 줄일 수 있는 종이의 모양과 크기를 제안했다. 종이의 모양은 이전부터 사용해온 직사각형으로 하고, 처음 종이를 반으로 자른 종이가 처음 종이 모양과 같게 했다. 서로 닮은꼴이라는 얘기다. 그리고 가장 큰 규격용지의 넓이를 1㎡로 정했다.
닮음을 이용하여 구한 종이의 긴 변과 짧은 변의 길이의 비는 약 1.414:1이다. 이 비를 이용하면 긴 변을 반으로 접어서 자른 종이도 처음과 같은 모양이 된다. 따라서 버려지는 종이도 없다. 전지 A0의 넓이를 1㎡이라고 하면, 두 변의 길이가 결정된다. 이렇게 해서 구한 전지의 규격이 1189×841㎜이다. A4 용지는 A0 용지의 가로, 세로를 각각 4등분하면 된다. 그래서 A4 용지의 규격이 297×210㎜이다. B4 용지도 이와 같은 원리로 만들어진다. 종이의 재단에도 낭비를 최소로 줄이기 위해 도형의 닮음과 같은 수학적 개념이 이용된다. ‘중학교 수학 교과서를 A4 용지 위에 놓아보자. 정확히 반이 된다.’ 

3.63빌딩의 높이는 얼마나 될까?

63빌딩의 높이는 얼마나 될까? 63m? 630m? 63빌딩은 우리나라에서 제일 높은 빌딩이다. 지하 3층, 지상 60층, 옥탑 1층으로 이루어져 있는데 최고 높이는 249.58m이다. 서울과학원의 강석진 교수가 중학생 100명에게 '63빌딩의 높이를 어떻게 잴까?'하고 설문조사를 했는데, 별의별 대답이 다 나왔다.

개미가 줄자를 몸에 매고 벽을 기어올라간다.(1명) 63빌딩 옥상에 올라가 줄자를 늘어뜨린다.(12명) 층마다 높이를 재서 다 더한다.(68명) 설계도를 탈취한다.(3명. 가장 확실한 방법이지만 이건 범죄 행위다.) 63빌딩 꼭대기에 올라가 물체를 자유낙하시켜 시간을 잰 후 자유낙하 공식에 집어넣는다.(14명. 시간을 재는 것도 문제지만 물체가 땅에 떨어질 때면 무섭게 빠른 속력으로 바닥에 부딪힐 테니까 상당히 위험하다.) 삼각형의 닮음을 이용한다.(2명)

그렇다. 바로 삼각형의 닮음을 이용하는 것이다.

어느 맑은 날 오후 3시경 63빌딩의 그림자의 길이를 쟀더니 62.4m가 나왔다. 이 때 높이가 4m인 막대기의 그림자를 쟀더니 1m가 나왔다. 어떤 생각이 드는가? 삼각형의 닮음비를 이용하고 싶은 생각이 들지 않는가? 1 : 62.4 = 4 : (높이), (높이)=249.6, 즉 63빌딩의 높이는 249.6m라는 결론이 나온다.

4.바코드의 비밀

슈퍼마켓에 진열되어 있는 상품이나 서점의 책을 들여다보면 다음 그림과 같은 표식을 쉽게 보게 된다. 가늘고 굵은 검은 막대와 흰 막대들의 그래프가 있고 그 밑에 숫자들이 쓰여져 있다. 이것을 바코드라고 부른다.
　막대의 굵기에 따라 문자나 숫자를 나타내는 특정한 배열이 마치 상품의 신분증과 같은 역할을 한다. 바코드의 판독 원리는 바코드의 검은 막대와 흰 막대의 반사율 차이를 스캐너가 전기 신호로 바꾼다. 전기 신호의 폭을 디지털인 1과 0으로 나타내어 그 조합에 해당되는 숫자를 구별한다.
　바코드에 나타난 숫자는 보통 13자리(30개의 줄무늬)로 되어 있다. 이것은 표준형이다. 8가지 숫자(22개의 줄무늬)로 된 단축형도 있다. 앞의 숫자 3자리는 국가 번호, 그 다음 4자리는 제조업체 번호, 다음 5자리는 각 회사의 상품 번호, 마지막 한자리는 입력이 제대로 되었는지 확인하는 검사 숫자를 나타낸다. 우리나라는 지난 88년 국제 상품 코드 관리 기관에 회원국으로 가입하여 880을 국가 번호로 취득하였다.
　바코드에는 상품 코드 번호만 들어 있지 가격, 크기, 무게 등의 정보가 들어 있지는 않다. 그러면 계산대에서 찍히는 가격은 어떻게 된 걸까? 붉은 색의 레이저 광선을 이용하는 스캐너로 바코드를 읽으면 상품의 가격이 즉시 입력되도록 만들어 놓은 프로그램이 있기 때문에 가능한 일이다. 바코드를 이용하면 팔린 물건의 종류와 수량들을 컴퓨터로 바르고 쉽게 파악할 수 있다. 또 키보드로 숫자를 입력하면서 걸리는 시간도 줄이고 오타도 방지할 수 있다.
　이 바코드는 판매 및 재고 관리 업무 분야 등의 유통업체뿐만 아니라 병원의 환자 관리 카드, 서점의 서적 관리, 철도나 항공의 여객 및 화물 관리, 우체국의 우편물 관리 등 대량의 데이터를 신속하고 정확하게 처리하기 위한 많은 분야에서 이용되고 있다.

5. 혈핵형과 밴 다이어 그램

수혈은 오래 전부터 시도되었다. 처음에는 동물의 혈액을 동물에게 수혈하는 시도가 이루어졌다. 이어 동물의 혈액을 사람에게, 그리고 사람의 혈액을 사람에게 수혈하는 시도들이 순서대로 차례차례 이루어졌다. 우연히 그 초반의 시도들은 특별한 부작용을 일으키지 않아 많은 생명을 살리기도 했다. 그러나 그 이후 계속된 수혈 결과 환자가 심한 부작용을 보이거나 사망하게 되자 수혈 행위가 150년 간 금지되었다.

수혈의 문제는 두 가지로 정리할 수 있었는데, 하나는 혈액이 공기 중에 나오면서 응고하는 문제이다. 이것은 1910년 구연산나트륨을 응고 방지제로 사용함으로써 어느 정도 해결할 수 있었다.

이 문제보다 부작용의 원인으로 더 크게 작용한 것은 수혈할 때에 어떤 사람의 혈액에 다른 사람의 혈액을 혼합하면  혈구 덩어리가 만들어지는 응집 현상이었다. 그러나 처음에는 이러한 현상이 단순히 류머티스열이나 결핵 등의 질환과 관련이 있는 것이라고 생각했다.

그러나, 1900년 란트슈타이너는 서로 다른 사람의 혈액을 섞을 때 항상 혈구 덩어리가 만들어지는 것은 아니라는 사실을 발견하였다. 혈구 덩어리가 만들어지는 현상이 질병과는 관계없는 현상이라는 사실도 알아냈다. 이에 따라 란트 슈타이너는 사람의 혈액을 몇 가지 유형으로 나눌 수 있다고 생각했다. 그는 연구를 계속해 1901년 응집성의 차이에 따라 세 가지 혈액형, A형, B형, O형으로 구분할 수 있다는 결론에 도달했다.

즉, A항원을 가지고 있으면 A형, B항원을 가지고 있으면 B형, 항원을 가지고 있지 않으면 O형으로 분류했다. 이러한 혈액형의 차이는 적혈구의 구조상의 차이 때문에 생긴다는 것도 밝혔다. 곧 이어 2년 후에는 AB형도 찾아내었다.

란트슈타이너는 ABO식 혈액형 체계 발견의 업적으로 1930년 노벨상을 수상한다.

ABO식 혈액형 다음으로 임상적으로 중요한 혈액형이 Rh식 혈액형이다. Rh 혈액형군에 속하는 항원들은 49개가 있으며 이중 가장 중요한 것은 D항원이다. 적혈구 표면에 D항원이 있으면 Rh+, 없으면 Rh-로 분류한다.

이와 같은 관계를 정리하는 데에는 벤 다이어그램이 매우 좋은 도구가 된다. 벤 다이어그램을 이용하여 혈액형을 간단하게 정리하고 혈액형을 분류하여 보자

A+형이란, A, D항원만을 가지고 있는 혈액형이다. A-형이란, A항원만 가지고 있는 혈액형이다. B+형이란, B, D항원만을 가지고 있는 혈액형이다. B-형이란, B항원만 가지고 있는 혈액형이다. AB+형이란, A, B 그리고 D항원만을 가지고 있는 혈액형이다. AB-형이란, A, B항원만 가지고 있는 혈액형이다. 0+형이란, D항원만을 가지고 있는 혈액형이다. 0-형이란, 항원을 가지고 않은 혈액형이다.

나의 혈액형은 무엇일까? 벤 다이어그램에서는 어느 부분일까?

우리나라 사람인 경우 ABO 혈액형의 빈도는 A형이 34%로 가장 많고 O형이 28%, B형 27% 그리고 AB형이 11%로 가장 적다.

6.보온병은 왜 원기둥 일까?

휘발유 통이나 보온병 등은 액체를 담는 용기이다. 액체를 담는 용기들은 대부분 원기둥 모양으로 되어 있다는 데 대해 평소에 주의한 적이 있는가? 여기에 어떤 수학적 이유가 있을까?

  용기를 만들 때는 언제나 재료를 적게 들이고도 많은 양의 액체를 담을 수 있어야 한다. 다시 말하면 같은 재료로 제일 많이 담을 수 있는 용기를 만들어야 한다.

  원의 넓이와 일부 정다각형의 넓이 그리고 둘레의 길이를 직접 구하여 비교하여 보자.
                 
  그림에서처럼 면적이 똑같이 100cm²인 정사각형의 둘레의 길이는 40cm이고 같은 면적인 정삼각형의 둘레의 길이는 45.6cm이다. 그러나 같은 면적인 원의 둘레의 길이는 약 35.4cm밖에 안된다. 다시 말하면 넓이가 같은 원, 정사각형, 정삼각형 등의 도형에서 원의 둘레의 길이가 가장 짧다.

  그러므로 같은 양의 액체를 담을 수 있고 높이가 같은 용기들 가운데서 원기둥 모양의 용기가 그 옆면에 드는 재료가 가장 적다. 그래서 휘발유 통이나 보온병 등 액체를 담는 용기는 대부분이 원기둥 모양으로 되어 있다.

  원기둥 모양보다 재료가 더 적게 드는 모양은 없겠는가? 있다. 수학적 원리에서 보면 같은 재료로 만든 용기들 가운데 구 모양의 용기의 용적이 원기둥 모양의 용기보다 더 크다. 즉 구 모양의 용기를 만들면 재료가 더욱 절약된다. 그러나 구 모양의 용기는 잘 구르기 때문에 불안정하며 덮개도 만들기 어렵다. 그러므로 구 모양의 용기는 실용적이지 못하다.

  함, 상자, 궤 등과 같이 고체를 넣는 용기는 무엇 때문에 원기둥 모양으로 만들지 않는가? 원기둥 모양의 용기를 만들면 재료는 비록 적게 들지만 고체와 같은 물건을 넣기에는 적당하지 않기 때문에 고체를 넣는 용기는 일반적으로 직육면체 모양으로 만든다

내용출처 : 본인작성

Re: 수학상식 몇가지만요

작성자: 안넝 ㅋ (레벨1)

등록일:06.04.02

신고

수학을 잘하는 방법 마음가짐 1. 실수를 두려워하지 말자. 2. 수치심을 갖지 말자. 3. 서두르지 말자. 4. 해답을 보지 말자. 5. 주관식 문제를 풀자. 행동지침 1. 수학공부는 장기전이다. 따라서 수학을 얼마나 ■■잘 하느냐■■ 보다 얼마나 ■■좋아하느냐■■ 가 중요하다. ● 갑자기 하기 힘들므로 매일 수학문제를 푸는 습관이 중요하다. ● 이해하기 힘들므로 수학공부에는 예습이 중요하다. ● 언제나 시작할 수 있으므로 수학을 포기할 필요는 없다. 2. 기초가 중요하다. ● 문제해결의 과정과 해결방법을 이해하자. ● 교과서를 잘 공부하자. ● 해답을 보지 말자. 3. 먼저 이해하고 나중에 외우자. 4. ■■외우는 수학■■에서 ■■생각하는 수학■■ 으로 전환하자. 수학문제의 해결과정 문제이해 ----> 해결계획 ----> 계획실행 ----> 반성 ●문제이해   ■■구하고자하는 것은 무엇인가?■■ ■■제공된 정보나 자료는 무엇인가?■■ 와 같은 질문에 답해야한다. ●해결계획   식 세우기, 그림 그리기, 표 만들기, 규칙성 찾기, 목록 만들기, 논리적 추론, 거꾸로 풀기, 예상과 확인, 가르기, 숫자를 채워서 계산하기, 특수화(극단적으로 생각하기), 열거하기 등의 방법을 계획한다. ●반성   쓰여지지 않은 조건이 있는가, 다른 풀이가 있는가, 논리적인 비약이 없었나를 검토한다. 그리고 자신의 사고과정이 논리적인가도 되짚어본다.

내용출처 : 본인작성