수업시간에 전미분을 사용하면 된다고 말씀하시고 넘어가신 부분입니다.
정리된 내용이 있어서 올립니다.
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MRS(Marginal Rate of Substitution한계 대체율)의 정의를 생각해보면 MRS는 Indifference curve(무차별 곡선) 상의 한 점에서 그은 접선의 기울기(정확히 말하면 절대값을 뜻한다)를 의미함을 알 수 있다. 경제에 두가지 재화만이 존재한다고 할 때, 우리는 (총)효용함수를 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있다.
따라서 무차별곡선의 정의에 의해 우리는 
의 크기를 고정시키게 된다. 이 때 이를 만족하는 
의 집합이 2차원 좌표에 투영된 Indifference curve가 된다.
의 크기를 고정시키게 된다. 이 때 이를 만족하는 의 집합이 2차원 좌표에 투영된 Indifference curve가 된다. 원래 우리의 논의로 돌아와 이 무차별곡선을 이용해 MRS의 경제학적 의미를 도출해보도록 하자. 가 고정된 상황에서 를 전미분해보자. 그러면 다음과 같은 수식을 얻을 수 있다.
가 고정된 상황에서 를 전미분해보자. 그러면 다음과 같은 수식을 얻을 수 있다. 
그런데 각 편도함수는 위의 효용함수에서 설명한 정의에 따르면 각각의 한계효용함수로 해석할 수 있다. 그리고 우리는 를 고정된 것으로 상정하였으므로 위의 수식은 다음과 같다.
각각의 한계효용함수로 해석할 수 있다. 그리고 우리는 를 고정된 것으로 상정하였으므로 위의 수식은 다음과 같다.
따라서 식을 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 그리고 위에서 언급한 것처럼 MRS는 Indifference curve의 접선의 기울기의 절대치를 의미하므로,
를 얻는다. 경제학적 Implication을 생각해보면, MRS는 두 재화의 한계효용의 비로 측정이 가능하다는 것이다. 그리고 MRS는 일반적으로 체감하게 되는데(그러나 MU가 항상 양수라는 위의 가정을 생각하면 MRS는 여전히 양수이다) 이를 Diminishing Marginal Rate of Substitution(한계대체율 체감)이라고 한다.
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