기어치형의 계산
기어의 치형(tooth profile)계산은 일반적으로 많이 사용하지는 않는다. 그러나 기어의 이빨 모양을 그림으로 2차원 혹은 3차원으로 그려 보거나, 기어의 강도에 대한 유한요소해석(Finite Element Analysis)을 할 때 모델링을 위하여 필요하다. 기어의 기하학적인 치형은 인벌류우트 곡선과 트로코이드 필렛 곡선으로 나뉘어 지며, 기어의 가공시에 두 부분의 곡선이 형성되어 하나의 이빨이 만들어 진다. 이론적으로 이 부분을 계산하여 좌표점을 얻기에는 전문적인 지식이 필요하다. 치형계산에 대하여 자세히 잘 설명이 되어 있는 참고서적은 Earle Buckingham 의 "Analytical Mechanics of Gears"이고, 다음은 그 내용을 정리하였다. 물론 이 부분도 간단하게 수작업은 힘들므로 프로그램을 하여 사용하며 치형계산의 프로그램은 참고프로그램 항목을 참고하시기 바란다.
1. 인벌류우트 치형곡선
인벌류우트의 치형계산은 기본적인 기어 및 가공 툴의 데이터를 이용하여 계산한다. 우선 피치 반경의 이두께를 계산하고 이 때의 좌표를 기준으로 인벌류우트 곡선의 시작점인 기초원과 끝점인 이끝원까지의 좌표를 계산한다.
인벌류우트 곡선이 기초원(Rb)과 만나는 점과 치형중심선이 이루는 각도를 A(radian)라고 하면 A를 구하는 식은 다음과 같다.
* the angle A = inv(α) + Tp*0.5/Rp
여기에서,
α = pressure angle, Tp = Tooth thickness at pitch radius, Rp = pitch circle radius,
inv(α) = involute function of pressure angle
= tan(α) - α
임의 반경 r 에서의 원호이두께(Tr) 및 그 때 이(齒) 중심선과 이루는 각도를 B라 하면,
* B = A- inv(αr) = inv(α) + Tp*0.5/Rp - inv(αr)
= Tr*0.5/r
로 표현할 수 있다.
이것을 직교 좌표로 나타내면,
* X = r*sin(B)
* Y = r*cos(B)
와 같고, B의 단위는 radian 이다. r을 기초원에서 이끝원까지 변화시키면서 계산을 수행하면 인벌류우트 곡선좌표를 얻을 수 있다.
2. 트로코이드 필렛 곡선
필렛곡선을 계산하기 위하여는 가공 툴의 제원을 알고 있어야 한다. 여기에서는 호브의 제원을 알고 있을 때 필렛곡선을 구하는 방법에 대하여 설명한다. 우선 다음 그림과 같은 호브를 이용하여 기어를 가공한다고 할 때,
(상세그림은 그림을 클릭)
여기에서, A = 호브의 이끝 둥글기 반경(radius of rounded corner of hob tooth),
Φ1 = 압력각 (pressure angle at pitch radius of gear) 이다.
호브의 rounding center가 생성하는 trochoidal path는 다음과 같다. (참고그림)
* 트로코이드의 벡터 각 (vectorial angle of trochoid)
* 트로코이드에 접선과 반경벡터와의 각 (angle between tangent to trochoid and radius vector)
여기에서, R = pitch radius of gear, b= distance from pitch line of hob to center of rounded corner,
rt = any radius of trochoid
실제 필렛의 좌표는 다음과 같다.
*실제 필렛의 임의 점까지의 반경(radius to any point on actual fillet)
*실제 필렛의 벡터 각 (vectorial angle of actual fillet form)
이를 직교좌표로 나타내면 다음과 같다.
* 기준 중심선과 필렛의 벡터 각 (Vectorial angle of fillet in reference to selected center line )
여기에서 델타는 이(치)의 중심선 혹은 이 공간(space) 과 트로코이드의 원점이 이루는 각도(참고그림)이며, 이의 중심선이 Y이라 할때(즉 x=0가 이의 중심선일때) 다음을 대입한다.
[ (p/2)-B ] / R
여기에서, p = circular pitch of gear,
B = 랙의 중심선과 이끝 둥글기의 중심선과의 거리 (distance from center line of rack tooth to center of rounded corner)
* 필렛의 직교좌표 계산
3. 인벌류우트 곡선과 필렛 곡선이 만나는 점
* the point of tangency of the involute profile and trochoidal fillet
기어의 효율계산
기어 및 감속기의 효율은 기어의 효율뿐만 아니라 감속기에 조립되는 부품들의 효율이 복합적으로 작용하므로 이론적으로 계산하기에 어려운 점이 많다. 여기에서는 감속기의 효율계산에 있어 간략화할 수 있는 부분은 간략화하여 설명하기로 하며 상세한 부분은 참고자료를 참고하기 바란다.
감속기의 효율은 크게 기어의 물림에 의한 효율, 베어링의 효율, 오일의 윤활 효율, 오일실의 효율로 나눌 수 있다.
1. 기어의 물림에 의한 효율
기어의 물림에 의한 효율은 물림이 일어날 때의 미끄러짐(sliding)의 양과 치면사이의 마찰계수 등의 영향을 받는다. 미끄러짐의 양은 기어의 제원에 따라 정면 맞물림율과 겹침 맞물림율로 계산할 수 있고, 치면 사이의 마찰계수는 기어의 피치 선속도 및 윤활유의 점도 등에 영향을 받는다. 치면 사이의 마찰계수는 보통 0.03 ∼ 0.08 사이의 값을 갖는다.
기어의 효율 계산식은 기어의 물림양과 마찰계수를 고려하여 이론과 실험에 근거한 여러가지 식이 발표되었으며, 다음 식은 기어의 효율 계산식이다.
여기에서,
μ : 마찰계수 = 0.05 , Z1 , Z2 : 피니언 및 기어 잇수 , ε : ε1 + ε2
ε1 : 정면 맞물림율 , ε2 : 겹침 맞물림율 , αs : 축직각 압력각
αn : 치직각 압력각
2. 베어링의 효율
베어링의 효율은 구름회전을 하는 볼과 베어링의 내륜, 외륜 사이의 접촉면에서 일어나는 구름마찰과 미끄럼 마찰, 윤활제와의 마찰 등의 영향을 받으며, 보통운전조건, 원활한 윤활 상태의 베어링에 대한 마찰모멘트는 다음의 식으로 구한다.
M = 0.5 μ F d
여기에서,
M : 마찰 모멘트(kgf·mm), μ : 베어링의 마찰계수 ,
F : 베어링에 작용하는 하중(kgf), d : 베어링의 내경(mm)
3. 오일실 및 윤활 효율
오일실 효율은 오일실 제작사의 기술자료를 이용하여 계산하는 것이 가장 정확하고, 윤활 효율은 OMALA OIL #220을 사용하였을 경우 99.7 %정도이다.
4. 감속기 효율 계산예
헬리컬 감속기의 총효율 계산결과예는 다음 표와 같다. 소형 헬리컬 감속기의 경우 93.7 % 이고, 중형 헬리컬 감속기의 경우 92.9 % 이다.
표 헬리컬 감속기의 효율 계산 결과 (예)
1st, 2nd gear
3rd, 4th gear
1st, 2nd gear
3rd, 4th gear
5th, 6th gear
정면 맞물림율
1.479
1.502
1.48
1.508
1.476
겹침 맞물림율
2.152
2.306
2.42
2.306
2.15
기어 효율
98.4 %
98 %
97.9 %
98.4 %
98.5 %
베어링 효율 ηb
98.9 %
99.1 %
오일실 효율 ηo
98.6 %
99.1 %
윤활 효율 ηL
99.7 %
감속기 효율
93.7 %
92.9 %
베어링 하중(반력) 계산
감속기의 베어링 수명계산시 가장 기본적인 것이 베어링이 받고 있는 하중의 정확한 계산이다. 그러므로 여기에서는 베어링의 하중 계산에 대하여 설명하겠고, 베어링의 수명계산에 대한 자료는 기계설계 혹은 베어링 카달로그에 잘 나와 있으므로 생략하겠다.
헬리컬기어의 축방향 추력(thrust load)은 다음 Fx 와 같이 계산할 수 있으며, 스퍼어 기어(평기어)의 경우는 헬리털 각이 0 이므로 축방향 추력은 0 이 된다.
Fx = Ft tan(beta)
여기에서, Ft = 원주력 (kgf) = 2x10^3 Torque / d (기어피치원직경),
beta = 헬리컬 각 이다.
헬리컬 방향과 회전방향에 의한 추력은 다음 그림과 같다.
(그림 클릭시 화면 확대가 됨)
기어 축에 작용하는 레이디얼 방향의 힘 F'r 은 다음과 같이 계산한다.
F'r = Ft tan(An) / cos(beta)
여기에서, An = 치직각 압력각 이다.
스퍼어 기어의 경우 beta = 0 로 하여 계산한다.
베어링에 작용하는 하중 Fr 의 계산은 추력에 의한 하중, 원주력에 의한 하중, 레이디얼 방향 하중의 합력으로 계산할 수 있으며, 계산 식 및 참고그림은 다음 그림과 같다. (그림 클릭시 화면 확대가 됨)
(참고문헌: 仙波正莊, " 齒車傳動機構設計のポイント ", 日本規格協會, 1991 )
베어링 하중(반력)계산 참고자료 (그림을 다운받아 프린트해서 사용하세요...^.^)
1) 헬리컬 1단 감속의 경우
2) 2단 감속의 경우
3) 계산예
[ 기어의 해석 ]
기어의 실물이 주어질 때 그것과 같은 것을 제작하고 싶은 경우와 그 설계데이터를 알고 싶은 경우에 필요한 제원 (m, z, α, β, x)을 알아내고 더 나아가서 물림율, 미끄럼율 등을 구하는 것을 기어의 해석이라 한다. 다른 용어로는 기어의 스케치라 하기도 하나 여기에서는 기어의 해석으로 용어를 통일하겠다.
1. 스퍼어 기어(spur gear)의 해석
① 기어의 잇수 Z, 외경 dk 를 측정한다. ⇒ Z
② 전위가 없다고 가정하고 다음식으로 대체적인 모듈 m을 계산한다. ⇒ ≒ m
③ 다음 그림과 같이 적당한 잇수 n개의 걸치기 이두께 En을 측정하고 다음에 n+1개의 걸치기 이두께 En+1을 측정한다. 그러면 En+1 과 En 과의 차(差)가 법선피치가 된다. 즉
이므로 이 값을 이용하여 모듈 m 과 압력각 α의 조합을 알아낸다. ⇒ m, α
④ m, α, En 값과 걸치기 이두께 계산식('기어설계->걸치기 이두께' 참조)을 이용하여 전위계수를 구한다.
⑤ 위의 결과를 이용하여 기타 필요한 제원 (피치원, 물림률 등)을 계산한다.
(스퍼어 기어의 해석 예)
① 기어 잇수 Z = 24, 기어의 외경 dk = 80.27 mm
② m = 80.27 / (24+2) = 3.087 , m ≒ 3.0
③ 걸치기 잇수 4, 걸치기이두께 E4 = 32.83 mm
걸치기 잇수 3, 걸치기 이두께 E3 = 23.97 mm
E4 - E3 = 8.86 = 3.141592 × 3 × cos α , α = 20 °
④ 걸치기 이두께 계산식을 이용하여 전위계수를 구하면, x = 0.40 mm
⑤ 기타 필요한 제원 계산....
2. 헬리컬 기어(helical gear) 의 해석
① 기어의 잇수 Z, 외경 dk 를 측정한다. ⇒ Z
② 용지에 기어를 회전시켜 치선(齒先)의 헬리컬 각 tanβk 을 측정한다.
③ 스퍼어 기어일 때와 같이 걸치기 이두께 법에 의해
(치직각 법선피치) 으로부터 치직각 모듈 mn 과 치직각 압력각 αn 의 조합을 알아낸다. ⇒ mn, αn, tn
④ 다음식에 의해 기초원상의 헬리컬 각 βg를 구한다.
⑤ 다음식에 의해 기초원 직경 dg 를 구한다.
⑥ 다음식에 의해 정면 압력각 αs를 구한다.
⑦ 피치원상의 헬리컬 각 βo 를 구한다.
⑧ 걸치기 이두께 계산식('기어설계->걸치기 이두께' 참조)을 이용하여 전위계수 x를 구한다.
⑨ 위의 결과를 이용하여 기타 필요한 제원 (피치원, 물림률 등)을 계산한다.
(헬리컬 기어의 해석 예)
① 기어의 잇수 Z = 19, 외경 dk = 30.613 mm
② 치선의 헬리컬 각 tan βk = 39/90 ∼ 43/98.5, βk = 23.4°∼23.5°
③ 걸치기 치두께 측정
걸치기 치두께 En+1= 4 매 = 14.473∼14.47mm (평균 14.4715 mm)
En = 3매 = 10.588∼10.587mm (평균 10.5875mm)
치직각 법선피치
= 3.884 mm
치직각 모듈 mn, 치직각 압력각 αn 의 추정
mn (1.27) cos20° π = 3.749
mn (1.27) cos14.5°π = 3.862
mn (1.27) cos22.5°π = 3.686
mn (1.3) cos14.5° π = 3.953
mn (1.3) cos15° π = 3.944
mn (1.3) cos18° π = 3.884 (○) → 모듈 mn = 1.3, 치직각 압력각 αn=18°
④ 위 기초원상의 헬리컬 각 βg 계산식을 이용하여 계산하면 βg=19.4415°
⑤ 위 기초원 직경 dg 계산식을 이용하여 dg = 24.910343 mm
⑥ 위 정면 압력각 αs 계산식을 이용하여 αs = 19.128427°
⑦ 위 피치원상의 헬리컬 각 βo 계산식을 이용하여 βo = 20.477659°
⑧ 걸치기 이두께 계산식('기어설계->걸치기 이두께' 참조)을 이용하여 전위계수 x를 구하면, x=0.7126 (백래쉬를 고려한 전위를 포함)
⑨ 피치원 계산식에 의하여 피치원 직경 26.3661 mm
Ref) 1. 국외 기어제작업체 기술자료
2. Gear 최적 설계, 제작 및 정밀측정과 현장트러블 방지대책, 한국산업기술협회, 1995
