단면1차, 2차 모멘트의 의미
1) 단면 1차 모멘트(cm3, m3)
면적 A를 가지는 도형을 n개의 미소한 면적으로 나누어 임의의 미소 면적을 ai 로 한다. 그러면 전 도형의 면적 A는 다음과 같이 표시할 수 있다.
A = a1 + a2 + ... + an = ∑ai
이 도형에 대하여 임의의 직교축 x, y를 잡고, 미소 면적 ai 좌표를(xi, yi )로 한다.
이것으로부터 ai yi 및 ai xi 를 구하여 이들을 전체 도형에 대하여 합계한 것을 x축 및 y축에 대한 단면 1차 모멘트라 한다.
x축 대한 단면 1차 모멘트
Qx = a1y1 + a2y2 + ... + anyn = ∑ai yi
y 축에 대한 단면 1차 모멘트
Qy = a1x1 + a2x2 + ... + anxn = ∑ai xi
단면 1차 모멘트는 (면적X거리)의 합이므로 단위는 cm3 , m3 과 같이 길이 단위의 세제곱 으로 나타낸다
단면1차모멘트를 구하는 목적은 보나 여러 가지 구조물의 단면의 도심 위치, 보의 전단응력도 계산 등을 구할 때에 사용됩니다. 단순한 직사각형, 원, 삼각형 등의 도심은 금방 쉽게 구해 지지만, 복합도형에 대해서는 단면1차 모멘트를 이용하여야 구할 수 있기 때문에 단면1차 모멘트의 중요성은 굳이 말을 안해도 아실거 같네요..
수치가 크게 나오는 것은 cm (또는 m) 의 세제곱이므로, 당연히 커질 수 밖에요..
특히나, 토목이나 건축 같은 구조물의 수치가 m 단위로 가기 때문에, 기계등의 구조에서 논하는 수치보다는 훨씬 클 것입니다. 더욱이, 2차모멘트의 경우는 1차 모멘트의 단위에 cm (또는 m) 가 더 곱해지므로, 그 값이 더욱 커지죠..
도심(중심)이란, 임의의 도형에서 직교축 x, y를 적당히 선택 하면, 각 축에 대한 단면 1차 모멘트가 모두 0이 되는 직교축의 원점 (도심축 : 도심을 통과하는 직교축) 도형의 도심 G(x0, y0)은 다음 식과 같이 된다.
x0 = Qy / A , y0 = Qx / A
2) 단면 2차 모멘트(cm4, m4)
면적 A를 가지는 도형을 n개의 미소한 면적으로 나누어 임의의 미소 면적을 ai라 하고 직교축 x, y를 잡고 ai 의 좌표를 (xi, yi )로 한다. 이것으로부터 ai * yi 2 및 ai * xi 2 를 구하여 이들을 전체 도형에 대하여 합계한 것을 x축 및 y축에 대한 단면 2차 모멘트라 한다.
x 축에 대한 단면 2차 모멘트
Ix = a1y12 + a2y22 + ... + anyn2 = ∑ai yi 2
y 축에 대한 단면 2차 모멘트
Iy = a1x12 + a2x22 + ... + anxn2 = ∑ai xi 2
단면 2차 모멘트는 [면적X(거리)2 ]의 합이므로 단위는 cm4, m4 과 같이 길이 단위의 네제곱으로 나타낸다.
평행축의 정리:
도형의 임의의 축에 대한 단면 2차 모멘트는 그 축에 평행한 도심축에대한 단면 2차모멘트와 그 두 축 사이의 거리의 제곱에 도형의 면적을 곱한 것과의 합이 된다.
도심축 X 및 Y에 대한 단면 2차 모멘트를 각각 Ix, Iy 라 하고, x 및 y 축에 대한 단면 2차모멘트를
Ix', Iy' 라 하면, Ix'= Ix + A*y02 , Iy'= Iy + A*x02 이다.
단면2차 모멘트를 구하는 목적은 우리가 흔히 말하는 구조물의 강성(휨강도)을 알기 위함이다. 단면2차 모멘트에 탄성계수를 곱하면 그게 바로 휨강성(변형에 저항하는 성질)이다. 또한, 단면2차 모멘트는 보,캔틸레버 등의 구조물의 처짐, 휨응력을 구하는 데에도 유용하게 쓰인다.
3) 단면계수 [斷面係數, section modulus]
보를 아래쪽으로 구부리면, 보의 윗부분은 팽팽해지고 아랫부분은 압축된다. 이때 아랫부분 ·윗부분에 생기는 힘을 휨변형력이라고 한다. 보의 어떤 단면에서의 변형력은 인장도 압축도 받지 않는 중립축으로부터의 거리에 비례하기 때문에, 중립축으로부터 가장 먼 곳이 최대가 된다. 이 최대값은 그 점의 휨모멘트에 비례하는데, 이 비례상수의 역수를 단면계수라고 한다.
단면계수는 단면의 형태에 의해서 정해지는 상수이며, 이 밖에 단면 1차 모멘트, 단면 2차 모멘트라고 하는 것도 있다. 평면도형 내의 미소면적(微小面積)과 어떤 하나의 축에서 그 면적 부분에 이르는 거리를 곱한 것을 모두 합할 때 이것을 단면 1차 모멘트 또는 면적모멘트라 한다. 이 경우, 거리의 제곱을 미소면적에 곱하고 그 도형 전부에 대해서 합한 것을 단면 2차 모멘트라고 한다.
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어떤 면적에 작용하는 힘이 연속적으로 분포하여 작용하면,우리는 이 면적과 같은 면 또는 수직인 방향으로 어떤 축에 대한 이 힘의 모멘트를 계산할 필요가 생기는데요,
이 힘(압력이나 응력)의 세기는 모멘트축으로부터의 거리에 비례하는 경우가 많습니다.
그러면 이러한 분포하는 힘의 모멘트를 전체면적에 적용하려면 미소힘과 거리의 곱을 적분해주게 됩니다.
즉, 미소면적에 작용하는 미소힘은 "(모멘트축으로부터의 거리) X (미소면적)"이 되고, 이 힘의 미소모멘트는 "(미소힘)X( 모멘트축으로부터의 거리)"가 되므로 결국 전체모멘트는 "∫(거리의 제곱) d(면적)"의 형태가 나오게 되지요.
이러한 "(거리제곱)X(미소면적)의 적분형태"를 면적의 관성모멘트 또는 단면2차모멘트라 부릅니다. 이러한 형태는 역학에서 자주 나오므로 표로 만들어 편리하게 이용하고 있습니다.
굽힘하중이 작용하는 단면을 보면 응력σ의 분포는 무게중심축으로부터의 거리 y에비례하는 σ= ky의 크기를 가집니다. 축에서 한쪽은 (+)값인 인장응력, 다른쪽은 (-)값이 압축응력이 작용하는거죠.
이 힘의 미소모멘트는 dM= y(σ dA)=k(y의 제곱) dA 이 되고, 이것을 적분하면 전체모멘트 M= k∫(y의제곱)dA 로 단면2차모멘트 형태가 나옵니다.
어떠한 형상의 단면2차 모멘트(또는 관성모멘트)는 그러한 형상이 굽힘에 대해 얼마나 효과적으로 저항하는지를 나타내는 물성입니다.
굽힘하중에 대해 단면질량의 대부분이 단면무게중심으로부터 바깥쪽으로 멀리 떨어져분포할수록 더욱 효과적으로 견딜 수 있답니다. 그러므로 같은 단면적이라면 사각단면보다는 아이(I)형강이 훨씬 낫다는 거지요. 이거는 고체역학에서 응력계산해보면 나오는 항이구요.
대부분의 빔(대칭일 때)들은 단면의 무게중심(센트로이드)에서 만나는 2개의 주축, X-X 와 Y-Y을 가지고 이러한 축에 대한 단면2차모멘트를 Ixx 와 Iyy로 나타냅니다. 단면2차모멘트가 크면 굽힘에 대한 저항이 좋은 겁니다.
단면2차 모멘트는 매우 중요한데 그 이유는 단면2차모멘트의 성질에 있다.우리가 흔히 말하는 구조물의 강성.....휨강성도를 표현하는데 단면2차모멘트에 탄성계수를 곱하면 그게 바로 휨강성을 의미한다.
E * I = 휨강성(변형에 저항하는 성질)
탄성계수에 대해서는 아실테지만, 단단할수록 크죠? 흔히 아는 콘크리트의 탄성계수보다 철근의 탄성계수는 10배정도 크답니다. 그렇지만 철근이 비싸서..ㅎㅎ 그리고
콘크리트의 압축력도 좋구 해서 철콘이 만들어진거죠. 위의 공식은 강성도를 판단할때 두가지 성격을 혼합한 공식인데, 물체가 가지는 고유의 물성치(탄성계수)와 물성치가 같더라도 그 모양, 형상에 따른 힘의 작용성의 차이...이 두가지가 결국 강도를 결정하는 중요한 두가지 요인이라는 것이죠.
암튼....EI(휨강성)는 이름처럼 그 크기가 크면 클수록 구조적으로 안전한 정도를 의미한답니다. 그렇담....역학에서 여러가지 단면을 배우는데 어느 단면이 가장 안전하고 좋을까? 아실테지만, 원형단면이죠? 단면2차모멘트 공식을 보면 아실테지만 직사각형의 길이와 크기가 같은 지름을 가진 원.. 두개를 놓고 계산한다면 원이 더 크답니다. 삼각형까지 합세하면....
직사각형:삼각형:원 = 4:3:5 정도랍니다.(원의위대함)
공식을 볼때 이해력을 높히려면 분자, 분모에 무엇이 들어가나 유심하게 보면 좋습니다. 분자에 들어가는 것은 비례관계로 크면 클수록 수치가 커지는 것이고, 아까 말했던 휨강성의 EI는 곱의 관계니까 탄성계수건 단면2차모멘트건 크면 클수록 휨강성이커진다 라는 사실을 알수 있죠. 휨강성은 또한 처짐,처짐각에서도 알수 있죠.
E * I는 분모에 있습니다. 즉, 휨강성이 크면 클수록 처짐,처짐각의 크기는 반비례적으로 작아지는 것을 알 수 있답니다. ^^