Beam의 굽힘 응력
전단력과 굽힘 모멘트의 과정에서 우리는 하중을 받는 빔에서 전단력과 굽힘 모멘트를 정의하는법을 알았다. 이것은 특히 빔에서의 전단력과 굽힘 모멘트의 값에 의존하는 하중을 받는 빔에서 발생하는 전단응력과 축응력 때문에 가치가 있다. 굽힘응력으로 종종알려져 있는 축응력을 정의하기 위해 수평전단응력은 두가지 면에서 중요하다.
첫째로 그것은 우리가 특별한 하중을 받는 빔이 적용된 하중하에서 안전할 때 정의 할수 있도록 해준다.
둘째로 그것은 우리가 특별한 하중에 대해 최적의 빔을 고를수 있도록 해준다. 이것은 둘다 빔의 안정성과 효율에 있어서 매우 중요한 과정이다.
우리는 먼저 하중을 받는 빔에 대해 굽힘 응력과 수평 전단 응력을 정의 하는 것을 계속하기에 앞서 우리는 굽힘과 전단 응력의 변형에 사용되었던 두가지 토픽을 조사해야 한다. 그것은 도심과 관성 모멘트이다.
굽힘 응력:
우리는 먼저 하중을 받는 빔에 발생하는 굽힘 응력의 관계를 알아야 한다. 이 관계는 Flexure Formula로 알려져 있다.
우리는 이제 상대적으로 간단하게 유도되는 Flexure Formula에 접근해야 한다. 먼저 중립축과 관계있는 수평력에 의해 발생되는 굽힘 모멘트를 표현해야 한다. 굽힘 모멘트에 대한 표현은 중립축에 수직거리에 힘을 곱한것의 합으로 간단히 된다.
M= ∑Fx*y
우리는 이제 우리가 힘 Fx를 Fx =
dA로 표현 할수 있는점에 대해 유의 해야 한다. 그것은 바로 미소 면적에 작용하는 힘은 그점에서의 축응력에 의해 발생하며 dA의 크기에 의해 발생한다. 이제 우리는 식을 다시 쓸수 있다.
M = ∑
dA*y
우리는 여기서 식을 한 번더 쓸수 있다. 수평력과 그에 따른 응력이 중립축에서 0으로 부터 끝단에서의 최대치에 이르기 까지 선형적으로 변한다는 것을 주의 해야 한다.
여기서 y는 중립축으로 부터 dA까지의 거리이며
는 중립축으로 부터 빔의 단면의 끝 부분까지의 거리이 다 .
이다.
그리하여 빔의 단면적의 도심에 관하여 관성 모멘트(I)로 간략히 할수 있다.
마지막으로 우리는 식을 다시 쓸수 있다.
이식이 복잡해 보인다면 몇 개의 예제를 풀어보면 확실히 알수 있다. 위의 유도된 식이 최대 응력에 의해 씌여졌다면 사실상의 어떤 부분의 응력에 대한식은 다음과 같이 쓸수 있다.
Flexure Formula :
빔 - 굽힘 응력 예제 1
위의 그림에서 10000lb의 하중을 받고 있는 단순 지지보를 볼수 있다. 빔의 2*4의 단면적으로 이루어진 사각형의 스틸빔이다 . 하중이 작용하에 빔에 발생하는 최대굽힘 응력을 정의하려 한다.
단계1:
첫째 단계로는 정역학적 평형조건을 외부 반력을 정의하기 위해 사용하여야 한다.이 예제에서 문제의 평형성 때문에 세부적으로 정역학적으로 접근할 필요는 없으나 양끝 지지점에서 하중의 반인 5000lb씩을 지지하고 있는 것을 알수 있다.
단계2:
두 번째 단계로는 전단력 선도 .굽힘 모멘트 선도를 그리는 것이다.
우리는 단순히 하중과 지지반력들을 보아서 전단력 선도를 그릴수 있다. 필요하다면 전단력과 굽힘 모멘트를 표현하고 전단력 선도와 굽힘응력 선도를 앞의 장 에서 해왔던 것처럼 그릴수 있다.
먼저 우리는 전단력 선도를 그린다 . 그 다음 non-canti levered빔에 대하여 굽힘 모멘트 값은 전단력 선도의 아래 면적과 같다는 사실을 이용하여 굽힘 모멘트그래프를 그린다 .
단계3 :
이제 flexure formula를 이용한다.
우리는 빔의 외각 끝에서 발생하는 최대 굽힘응력을 찾을수 있다. 최대 굽힘 모멘트는 빔의 형태에는 좌우되지 않는다는 것을 명심하여라.
사각단면 금속 보는 일반적으로 큰 건물 건축 시는 효율적이지 못하므로 I 보나 T 보를 사용한다.
사각단면보는 금속 보나 T보 의 가격이 비싸므로 하여 목조건축에 쓰인다. 낮은 가격의 나무 사각단면 보는 낮은 효율을 가진다.
I-Beams
I-보를 그림을 보고 설명한다. I 보의 단면에서 위와 아래의 부분을 플랜지라 하고 그것을 연결하는 부분을 웹이라 한다. 보의 중심을 통과하는 수평선을 중립축이라한다.
BEAM DATA TABLE 에는 보에 관한 정보를 보여 준다.
예를 들어 DESIGNATION이 W8*30 이면 W은 넓은 플랜지보를 나타내고 '8'은 보의 대략적인 두께를 인치 단위로 나타낸 것이며 '20'은 기준타입 강철 보에서의 단위 피트당 질량을 파운드로 나타낸 것이다. TABLE 에는 또한 플랜지 너비와 두께, 웹의 두께, X-X 축과 Y-Y축에 관한 관성 모멘트 I , 단면계수 S, 회전 반경 r 이 포함되어 있다.
|
I-Beams |
- |
- |
Flange |
Flange |
Web |
Cross |
Section |
Info. |
Cross |
Section |
Info. |
|
Designation |
Area |
Depth |
Width |
thick |
thick |
x-x axis |
x-x axis |
x-x axis |
y-y axis |
y-y axis |
y-y axis |
|
- |
A |
d |
bf |
tf |
tw |
I |
S |
r |
I |
S |
r |
|
- |
in2 |
in |
in |
in |
in |
in4 |
in3 |
in |
in4 |
in3 |
in |
|
W 8x20 |
5.89 |
8.14 |
5.268 |
0.378 |
0.248 |
69.4 |
17.0 |
3.43 |
9.22 |
3.50 |
1.25 |
|
W 8x17 |
5.01 |
8.00 |
5.250 |
0.308 |
0.230 |
56.6 |
14.1 |
3.36 |
7.44 |
2.83 |
1.22 |
|
W 10x45 |
13.20 |
10.12 |
8.022 |
0.618 |
0.350 |
249.0 |
49.1 |
4.33 |
53.20 |
13.30 |
2.00 |
|
W 10x39 |
11.50 |
9.94 |
7.990 |
0.528 |
0.318 |
210.0 |
42.2 |
4.27 |
44.90 |
11.20 |
1.98 |
|
W 10x33 |
9.71 |
9.75 |
7.964 |
0.433 |
0.292 |
171.0 |
35.0 |
4.20 |
36.50 |
9.16 |
1.94 |
|
W 12x22 |
6.47 |
12.31 |
4.030 |
0.424 |
0.260 |
156.0 |
25.3 |
4.91 |
4.64 |
2.31 |
0.85 |
|
W 12x19 |
5.59 |
12.16 |
4.007 |
0.349 |
0.237 |
130.0 |
21.3 |
4.82 |
3.76 |
1.88 |
0.82 |
|
W 12x31 |
9.13 |
12.09 |
6.525 |
0.465 |
0.265 |
239.0 |
39.5 |
5.12 |
21.60 |
6.61 |
1.54 |
|
W 14x38 |
11.20 |
14.12 |
6.776 |
0.513 |
0.313 |
386.0 |
54.7 |
5.88 |
26.60 |
7.86 |
1.54 |
|
W 14x34 |
10.00 |
14.00 |
6.750 |
0.453 |
0.287 |
340.0 |
48.6 |
5.83 |
23.30 |
6.89 |
1.52 |
|
W 16x50 |
14.70 |
16.25 |
7.073 |
0.628 |
0.380 |
657.0 |
80.8 |
6.68 |
37.10 |
10.50 |
1.59 |
|
W 16x40 |
11.80 |
16.00 |
7.000 |
0.503 |
0.307 |
517.0 |
64.6 |
6.62 |
28.80 |
8.23 |
1.56 |
|
W 16x36 |
10.60 |
15.85 |
6.992 |
0.428 |
0.299 |
447.0 |
56.5 |
6.50 |
24.40 |
6.99 |
1.52 |
|
W 24x94 |
27.70 |
24.29 |
9.061 |
0.872 |
0.516 |
2690.0 |
221.0 |
9.86 |
108.00 |
23.90 |
1.98 |
|
W 24x76 |
22.40 |
23.91 |
8.985 |
0.682 |
0.400 |
2100.0 |
176.0 |
9.69 |
82.60 |
18.40 |
1.92 |
|
W 24x68 |
20.00 |
23.71 |
8.961 |
0.582 |
0.416 |
1820.0 |
153.0 |
9.53 |
70.00 |
15.60 |
1.87 |
하중이 있는 I 보에 관한 예제를 보자. - 보의 굽힘응력 예제2를 본다.
T-Beams
T-보를 그림을 보고 설명한다. 위의 수평한 부분을 플랜지라 하고 수직 부분을 스템이라 한다.
그림의 수평의 직선이 중립축이며 위에서부터 중립축까지의 거리를 y라 하였다.
BEAM DATA TABLE 에는 보에 관한 정보를 보여 준다.
예를 들어 WT 6*11의 DESIGNATION이면 WT는 넓은 플랜지 T형 보를 나타내고 '8'은 보의 대략적인 두께를 인치 단위로 나타낸 것이며 '11'은 기준타입 강철 보에서의 단위 피트당 질량을 파운드로 나타낸 것이다. TABLE 에는 또한 플랜지 너비와 두께, 스템의 두께, X-X 축에 관한 관성 모멘트 I , 단면계수 S, 회전 반경 r, 그리고 y이 포함되어 있다.
|
T-Beams |
- |
Depth |
Flange |
Flange |
Stem |
- |
Cross |
Section |
Info. |
- |
|
Designation |
Area |
of T |
Width |
thick |
thick |
- |
x-x axis |
x-x axis |
x-x axis |
x-x axis |
|
- |
A |
d |
bf |
tf |
tw |
d/tw |
I |
S |
r |
y |
|
- |
in2 |
in |
in |
in |
in |
- |
in4 |
in3 |
in |
in |
|
WT 6x11 |
3.24 |
6.16 |
4.030 |
0.424 |
0.260 |
23.70 |
11.70 |
2.590 |
1.900 |
1.630 |
|
WT 6x9.5 |
2.80 |
6.08 |
4.007 |
0.349 |
0.237 |
25.70 |
10.20 |
2.300 |
1.910 |
1.650 |
|
WT 7x26.5 |
7.79 |
6.97 |
8.062 |
0.658 |
0.370 |
18.80 |
27.70 |
4.960 |
1.880 |
1.380 |
|
WT 7 x24 |
7.06 |
6.91 |
8.031 |
0.593 |
0.339 |
20.40 |
24.90 |
4.490 |
1.880 |
1.350 |
|
WT 8x25 |
7.36 |
8.13 |
7.073 |
0.628 |
0.380 |
21.40 |
42.20 |
6.770 |
2.400 |
1.890 |
|
WT 8x20 |
5.89 |
8.00 |
7.000 |
0.503 |
0.307 |
26.10 |
33.20 |
5.380 |
2.370 |
1.820 |
|
WT 8x18 |
5.30 |
7.93 |
6.992 |
0.428 |
0.299 |
26.50 |
30.80 |
5.110 |
2.410 |
1.890 |
|
WT10.5 x34 |
10.00 |
10.57 |
8.270 |
0.685 |
0.430 |
24.60 |
103.00 |
12.900 |
3.200 |
2.590 |
|
WT 10x31 |
9.13 |
10.50 |
8.240 |
0.615 |
0.400 |
26.20 |
93.80 |
11.900 |
3.210 |
2.580 |
|
WT 12x47 |
13.80 |
12.15 |
9.061 |
0.872 |
0.516 |
23.50 |
186.00 |
20.300 |
3.670 |
3.000 |
|
WT 12x42 |
12.40 |
12.05 |
9.015 |
0.772 |
0.470 |
25.60 |
166.00 |
18.300 |
3.660 |
2.970 |
|
WT 12x38 |
11.20 |
11.96 |
8.985 |
0.682 |
0.440 |
27.20 |
151.00 |
16.900 |
3.680 |
2.990 |
|
WT 15x66 |
19.40 |
15.15 |
10.551 |
1.000 |
0.615 |
24.60 |
421.00 |
37.400 |
4.650 |
3.900 |
|
WT 15x58 |
17.10 |
15.00 |
10.500 |
0.850 |
0.564 |
26.60 |
372.00 |
33.600 |
4.670 |
3.930 |
|
WT 15x54 |
15.90 |
14.91 |
10.484 |
0.760 |
0.548 |
27.20 |
350.00 |
32.100 |
4.690 |
4.020 |
|
WT18x97 |
28.60 |
18.24 |
12.117 |
1.260 |
0.770 |
23.70 |
905.00 |
67.400 |
5.630 |
4.810 |
|
WT 18x75 |
22.10 |
17.92 |
11.972 |
0.940 |
0.625 |
28.70 |
698.00 |
53.100 |
5.620 |
4.780 |
하중이 있는 T 보에 관한 예제를 보자.
빔 - 굽힘 응력 예제 2
W10*45 보에 대한 그림이 주어지고 최대굽힘 모멘트와 최대 굽힘응력과 그것이 일어나는 위치를 찾고 보의 단면아래부터 8인치 떨어진 곳의 보를 따르는 굽힘응력을 찾는다.
STEP 1: 평형방정식의 원리를 이용하여 지점반력을 구한다.
1) 자유물체도를 그린다. (See Diagram 2) .
2) 모든 힘을 X,Y요소로 나눈다.
3) 평형방정식을 세워서 반력을 구한다.
Sum Fx = 0 none
Sum Fy = By + Dy - 2,000 lbs/ft (4 ft) - 5,000 lbs = 0
Sum TB = 5,000 lbs (4 ft) - 2,000 lbs/ft (4 ft) (6 ft) + Dy(8 ft) = 0
Solving: By = 9,500 lbs; Dy = 3,500 lbs
STEP 2: 보에 관한 전단력과 굽힘 모멘트 선도를 그린다. (See Diagram 3,4).
STEP 3: 굽힘공식을 적용하여 최대 굽힘응력을 구한다.
Flexure Formula:
M y / I,
굽힘공식의 특별한 모양, special form of theFlexure Formula:
M / s 으로 형상계수를 이용하여 구할 수도 있다.
이것은 단지 최대 굽힘응력을 구하기 위하여 쓰이는 것으로 보의 단면에 관한 관성모멘트를 최대 y로 나눈 값과 동일하다 (:M (ymax / I) = M / (I / ymax) = M / s) s = I / ymax.
Diagram 4: Mmax = 20,000 ft.-lb, x = 4 ft에서.
We also then find the x-x axis section modulus of the beam as listed in the beam table below, s = 49.1 in3
|
- |
- |
- |
Flange |
Flange |
Web |
Cross |
Section |
Info. |
Cross |
Section |
Info. |
|
Designation |
Area |
Depth |
Width |
thick |
thick |
x-x axis |
x-x axis |
x-x axis |
y-y axis |
y-y axis |
y-y axis |
|
- |
A |
d |
bf |
tf |
tw |
I |
S |
r |
I |
S |
r |
|
- |
in2 |
in |
in |
in |
in |
in4 |
in3 |
in |
in4 |
in3 |
in |
|
W 10x45 |
13.20 |
10.12 |
8.022 |
0.618 |
0.350 |
249.0 |
49.1 |
4.33 |
53.20 |
13.30 |
2.00 |
M / s = (20,000 ft-lb)(12 in./ft.)/ 49.1 in3 = 4, 890 lb/in2.
