안녕하세요? 정팔면체에 외접하는 구의 부피는 쉽게 생각할 수 있는데 내접하는 구는 너무 어렵네요...
도움 부탁드립니다ㅠㅠ
문제) 정팔면체에 내접하는 구가 존재한다. 이 정팔면체의 겉넓이가 부피의 2배라고 할 때, 구의 부피를 정팔면체의 부피를 이용하여 표현하여라.
풀이) 정팔면체의 부피=A, 정팔면체 겉넓이=2A
라고 할 때, 정팔면체 각 면의 정삼각형들의 넓이는 A/4 이고......
어떻게 해야 할까요...? 중 1 수준이라 루트로 계산할수도 없고... 뭔가 삼각뿔의 부피와 반구의 부피비를 생각해봐도 정팔면체의 겉넓이가 주어진 의미를 모르겠습니다...ㅠㅠ 도와주세용!
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댓글
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답댓글 작성자하늘하나 작성시간 18.11.03 s푸른하늘a 정팔면체에서는 그럴 거예요^^
예를 들어 정육면체에서는 겉넓이가 부피의 2배가 되는 경우 구의 반지름의 길이가 3이 되고 이 때는 구의 겉넓이와 부피가 같아집니다. -
답댓글 작성자s푸른하늘a 작성자 본인 여부 작성자 작성시간 18.11.03 하늘하나 와~~~ 그렇군요!! 감사합니다!! 풀어볼게ㆍ요!!
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답댓글 작성자하늘하나 작성시간 18.11.03 s푸른하늘a 아 제가 잘못 계산했네요^^ 정육면체도 2배가 되는 것이 맞습니다.
정다면체의 경우 다 성립합니다 ㅎ
이를 이용해보면,
정다면체에 내접하는 구의 반지름의 길이를 r이라 할 때, 정다면체의 겉넓이 S와 부피 V사이에는 항상 S=V×(1/3)r가 성립합니다.
구도 마찬가지인데요, 이는 부피를 미분하면 겉넓이가 나오는 원리와도 관련 있습니다^^; -
답댓글 작성자s푸른하늘a 작성자 본인 여부 작성자 작성시간 18.11.03 하늘하나 음 설명해주신 내용을 쭉 정리하여
구에 대해서
S=4ㅠrr, V=4/3ㅠrrr
이므로,
S=Vx(1/3)r이 된다는 것은 선생님 첫 글을 보고 깨달았습니다만...
모든 정다면체에 내접하는 구가 존재할 때, '그 정다면체의 부피와 겉넓이'의 관계가 '구의 부피와 겉넓이의 관계'와 같음을 어떻게 정당화 시켜줘야 할 지...ㅠㅠㅠ
중1 문제라 식의 변형을 이용하여 V와 S의 관계식을 세우는 것도 사실상 설명해주기 곤란한데 어떻게 해야 현명할까요??
많은 도움을 주셨는데 자꾸 여쭤봐서 죄송합니다ㅠㅠ -
작성자하늘하나 작성시간 18.11.03 정m면체라 하고 한 면의 넓이를 S라 하면 정m면체의 겉넓이는 mS
내접하는 구의 반지름의 길이를 r이라 하면 r은 정m면체의 중심에서 면까지의 거리와 같으므로 정m면체의 부피는 합동인 다각뿔 m개의 부피와 같으므로 (1/3)Srm
따라서 겉넓이와 부피는 항상 1:(1/3)r이 성립합니다^^