삼차방정식의 미분중 질문..

[펠프스되자]

삼차함수와 직선이 변곡점에서 접하는 모양을 생각해볼때..

기하적으로는 직선이 삼차함수를 뚫고 지나가는 형태의 접선이 되잖아요..

그때, 대수적으로 두 함수를 연립한 삼차방정식이 왜 삼중근을 갖게 되는 것인지 자세한 이유나 원리설명좀 부탁드립니당..^^

[카르다노]

변곡점에서 접하는 직선은 삼차함수와 만나는 점이 변곡점이 유일하니까 그런거 같네요.
직선의 양끝은 삼차함수와 만나지 않으니까요^^

[펠프스되자]

답변 감사합니다^^

[성지훈]

원점이 변곡점인 경우를 생각해보면 간단합니다. 어차피 다른 경우는 이것을 평행이동하면 되니까요.
원점이 변곡점인 삼차함수 f(x)=kx(x^2-a^2)으로 둘 수 있습니다.
이 때 f'(x)=kx^2-ka^2+2kx^2=3kx^2-ka^2이므로 변곡점인 원점에서의 미분 계수 f'(0)=-ka^2
따라서 변곡점에서의 접선의 방정식은 y=-ka^2x이고 이를 f(x)와 연립하면,
kx(x^2-a^2)=-ka^2x 에서 kx^3=0. 따라서 x=0 이 삼중근이 됩니다.
변곡점이 (m,n)인 경우는 이 함수를 평행이동 한 경우이므로 똑같은 방식으로 계산하면 k(x-m)^3=0
즉, x=m이 삼중근이 됩니다.

[펠프스되자]

평행이동...이거한방으로 끝이네요.ㅎ