미분가능성에 대해 질문

[펠프스되자]

(1) x=0에서의 미분가능성에 대해

보통 미분가능을 물어보는 문제는 도함수를 직접 구해서 대입하는게 아니고, 미분계수의 정의를 이용해서 풀잖아요? 미분가능한지를 물어보는거니..

근데 일단 도함수가 구해지는경우라면 대입했을때 값이 존재하면 미분가능한것이고, 값이 존재하지 않는다면 미분불가능한것으로 그냥 해석하면 안되는건가요? 꼭 미분계수의 정의를 이용해야하는건가요?

위문제처럼 0이 아닌범위에서 함수가 정의되어있어서 도함수를 구한후 0을 대입하는것이 안된다면, 위식에서 x=1에서 미분가능성을 물어봤다면 그냥 f'(x)구한후 1대입해도 되는건가요? 굳이 미분계수의 정의를 사용하지 않고?

(2)에서는 도함수의 x=0에서의 극한값과 함숫값이 같으면 된다로 풀면되는데요.

도함수의 극한값구할때는 f'(x)를 그냥 미분해서 구한후 극한을 취하던데,,

(1), (2)에서처럼 어떤경우는  f'(x)를 구해도 되고, 어떤경우는 안되고..정확한 개념구분좀 부탁드립니다..

[Beast_Inc]

2)위문제처럼 0이 아닌범위에서 함수가 정의되어있어서 도함수를 구한후 0을 대입하는것이 안된다면, 위식에서 x=1에서 미분가능성을 물어봤다면 그냥 f'(x)구한후 1대입해도 되는건가요? 굳이 미분계수의 정의를 사용하지 않고?

미분가능성만을 대답해야 된다면 예 그렇게 해도 큰문제는 없습니다. 그런데 그런문제가 있을까요?

[Beast_Inc]

3)어떤경우는 f'(x)를 구해도 되고, 어떤경우는 안되고..정확한 개념구분좀 부탁드립니다..

문제가 f'(x)의 x=0에서의 연속성을 묻는문제이니, 극한을 다룰때는 x는 0이 아닌거지요. 따라서 도함수를 구해줘야 하겠지요.

[펠프스되자]

네, x가 0이 아니었죠 참...감사요~~

[성지훈]

x=0이 아닌 점에서는 x^2과 sin(1/x)이 모두 미분 가능함수이므로 둘의 곱으로 이루어진 함수도 x=0을 제외한 모든 점에서 미분가능일 수 밖에 없습니다. 그래서 x=0이 아닌 점에서의 미분가능성을 물어보거나 미분계수를 묻는다면 바로 도함수를 구해서 풀어도 무관합니다. 하지만 x=0에서의 미분 가능성은 얘기가 다릅니다. sin(1/x)이 정의가 안되니까요. 그래서 이 문제처럼 x=0일 때의 함숫값을 별도로 정의해줄 필요가 있는 것이고, 결국 미분가능성에 대한 판정은 정의에 따를 수 밖에 없습니다. 우선 x=0에서의 연속을 따지고, 연속이 된다면 좌우 미분계수를 따져야겠죠.

[펠프스되자]

그래서 당연히 구간의 경계값의 미분가능성을 문제로 내는군요..감사~~