일대일 대응함수 문제인데 풀이과정을 알수가 없습니다

[소문난호떡]

이 문제를 풀기 위해 저는 위에 있는 첫번째 식과 밑에 있는 두번재 식을 아래와 같이 증명하였습니다

     이렇게 해서 답이 a = 1, -1 이 아닌 실수인줄 알았는데

    해답을 봤더니 a>1 or a<-1 라고 하였습니다  그래서 다시 그래프를 그려보니까 그 답이 맞긴 한데 풀이과정을 알수가 없습니다

(천재교과서 수학 2  89p)

[버들향기]

일대일 대응이 돼려면 함수가 증가함수이던가 감소함수가 돼어야 합니다. 따라서 따라서 정의역에 따른 함수가 일차 함수가 돼어야하고 기울기의 부호가 같아야합니다. 그래서 (a-1)(a+1)>0 이면 됩니다.

[성지훈]

호떡님이시군요. 호떡님이 하신 풀이는 나눠진 부분 각각이 일대일대응이 되기위한 조건입니다.
함수의 일부분만 봤을 때 각각이 일대일대응이 된다고 해서 전체적으로 일대일대응이 되는 것은 아닙니다.
여기서는 두 반직선을 연결한 그래프가 f(x)의 그래프이므로 f(x) 전체가 일대일 대응이 되려면 양쪽의 그래프를 통틀어서 함숫값이 중복되면 안됩니다. 따라서 왼쪽에서 증가하면 오른쪽에서도 증가해야하고 왼쪽에서 감소하면 오른쪽에서도 감소해야합니다. 그래서 왼쪽과 오른쪽 두 반직선의 기울기가 같은 부호여야 하죠.