[의견][이야기 둘]직교성(orthogonality)과 complete set 에 관한 이야기

[00 릴라~!]

어디서 부터 어떻게 시작할지 고민하다가

제가 궁금해하기만 하다가 그냥 넘어갔던 기억이 나서 거기서 부터 시작하려 합니다.

제가 물리교육과를 입학하고 1학년때 과학수학이나 수리물리학이라는 과목을 통해

물리에 쓰이는 수학적 툴을 배웠습니다.

(1학년때라 열심히 하지 않았지만;;;;;)

그 중에 푸리에 전개가 있습니다. 

주기성을 가진 모든 함수는 sin, cos 함수의 합으로 표현 가능하다고 배웁니다.

(물론 주기성이 없어도 가능합니다..무한대에서 부터 무한대를 하나의 주기라고 두고 풀기도 하거든요)

여기서 왜 그럴까 하면서 어떻게 가능할까?

고민해보셨는지요??

그냥 궁금해 하다가....그냥 그려려니 하고 넘어가시지 않으셨는지요?

저도 그냥 넘어갔지요.

그리고 군대를 갔다 와서 2학년때인가 3학년때인가

변수분리를 교수님이 사용하다가 교수님께서 그러시더군요

변수분리가 가능하고 이렇게 전개 할 수 있는 이유가 궁금하면 대학원을 가면 된다고...

네...그때도 궁금해 하다가 그냥 또 넘어갔으면 대학원에 가면 배우겠지....생각하며...

물론 여기 계시는 분들중 위 내용에 대해 아시는 분도 계실거라고 생각합니다.

제가 이걸 이해했을때 대학원 동기한테 물어보니

정말 열심히 공부하고 똑똑한 아이들은 이 내용은 고등학교때 알고 대학교에 입학하기도 한다고 들었습니다.

그리고 좀 똑똑한 학생들은 대학교 2학년때 쯤 이해를 한다고 합니다.

그리고 그 친구가 나를 치켜세워 주려고 한것인지 모르지만

물리학과 대학원을 졸업해도 이해를 못하고 그냥 암기식으로 쓰고 마는 사람이 있을 거라고 하더군요.

푸리에 전개가 가능한 이유는 sin 과 cos 들의 합이 무한대 차원에서 complete set 이기 때문입니다.

complete set 이 무엇이냐

우리는 알게 모르게 사용하고 있습니다.

3차원을 기술 할때 x,y,z 축을 이용해서 기술 하지 않습니까?

3차원에 대해 x,y,z 는 complete set 입니다.

x,y,z는 서로 수직이며, 3차원을 다  표현해준다는 이야기입니다.

함수에서 좌표축 처럼 차원이 있으며, 직교성(수직)이 있습니다.

그럼  sin, cos 함수를 봅시다.

sin(nㅠ/L), cos(nㅠ/L) (n=1,2,3,4....)

이 함수들은 모두 서로 수직입니다.

(이번 임용 마지막 문제에 사용할 수 있는 내용이죠)

궁금해 하시면 두개를 곱해서 주기 구간으로 적분해보시면 0 이 나옵니다.

내적을 해서 0 이 나오면 수직인것을 알잖아요..

0 이 나왔기에 수직입니다.

따라서 n 차원에 대해 우리는 함수로 표현이 가능해진겁니다.

따라서 주기를 가진 모든 함수들을 .sin,cos 함수로 표현이 가능한 것을 알 수 있습니다.

(3차원에서 어떤 함수들 x,y,z 좌표계로 표현이 가능한것 처럼요.)

전자기나 양자에서 변수분리는 한뒤

특수 함수들로  표현 하는 것도

특수 함들도 n 차원에 대해 complete set을 이루기 때문입니다.

e^(x) + e^(-x) (익스포넨셜)

sin + cos
P (르장드르 다항식)   <- 구면좌표계에서 나옴 (세타에 대한 것)
J ( 베셀 함수) + N (뉴만 함수)   <- 원통좌표계에서 나옴 (r에 대한 것)
Y ( spherical harmonics ) <- 르장드르 다항식과 e^(파이) 함수를 합쳐놓은것 (세타와 파이에 대한 것)

따라서 이런 함수들로 얼마든지 모든 함수들을 표현 가능하다는 것이죠.

직교성에 대해 좀더 이야기를 해보자면

수업시간 양자 교수님이 그러시더군요

우리는 1+1=2 라는 것을 거의 초등학교,중학교 통해 9년동안을 통해 이해하고 배우고

벡터 A + 벡터 B = 벡터 C 라는 것을 고등학교, 대학교 저학년까지 6년을 통해 이해하고 배우는데

엄청 더 어려운 |A> + |B> = |C> 이것은 고작 대학교 2~3년 안에 배우려고 하니깐 어렵다고...

 1+1=2에 한단계 업그레이 된것이 벡터 A + 벡터 B = 벡터 C 이고

벡터 A + 벡터 B = 벡터 C 에 또 업그레이 된것이 |A> + |B> = |C>  인데

벡터 A + 벡터 B = 벡터 C 은 칠판에 그릴 수 있어 학생들이 쉽게 이해 하지만

|A> + |B> = |C> 이건 우리가 모르는 세계이고 칠판에 그릴 수가 없어서 학생들이 이해를 못한다고 하시더군요.

(참고 |A> 는 어떤 상태(state)를 말합니다.)

예를 들어

|C> = a|A>+b|B> 로 표현이 되는데

|A>와 |B> 를 basis 라고 합니다.

basis 를 보통 직교하는 eigenstate 로 표현을 하는데

아닐 수도 있다고 말 하고 싶네요.

즉, |A> 와 |B> 가 직교하는지 안하는지 확인을 해야 한다는 것입니다.

뭐 물론 직교하는 것으로 표현 하는게 정상이고..

행렬식(determinant)으로 구한 eigenstate(=eigenvector)는 수직이기에 보통 수직이지요.

결론은

함수에도 직교성(orthogonality)과 complete set이 있다는 것이고

우리는 알게 모르게...이해 한채..이해를 못한채...

사용하고 있다는 것입니다.

[00 릴라~!]

직교랑 1차독립이랑 다릅니다....직교랑 독립이랑 비교하면......독립이라는 영역 안에 직교라는 의미가 포함되어 있습니다...즉...직교는 독립이지만....독립은 직교가 아닙니다............sin , cos 등 특수함수들의 각각의 자기 짝꿍들(?)은 서로 직교합니다.......complete set 은 직교성으로 표현된 완전한 차원을 말합니다.

[00 릴라~!]

좀더 보충하자면.....물론 독립된 3개의 차원으로도 3차원을 모두 표현을 할 수는 있습니다....아마 독립도 3차원을 표현할수 있어서 야호야호님이 그렇게 말씀하신듯 보이는군요........쉽게 그림을 그리자면....정사면체에서...한 모서리에서 나오는 세개의 변이 독립된 3차원이 될 수 있습니다.(서로 수직하지 않지요)..그런 좌표계로 3차원 공간을 얼마든지 표현할 수 있습니다....하지만...직교성보다 자유롭지 않은(?) 녀석들입니다...... 직교한 3차원 좌표계는 다들 아셔서 어떤 모습인지 설명하지 않겠습니다.^^

[00 릴라~!]

complete set에 대해 좀더 보충을 하면...complete set 이 확실하게 쓰이는 것은 ..양자역학에 오퍼레이터중 '아이덴티티'가 있습니다..기호로는 알파벳 아이(I) 를 사용합니다...아이덴티티는...곱하기에서 숫자 1과 같은 역할을 합니다....얼마든이 이 오퍼레이터를 곱해도 값이 그대로라는 뜻 입니다..즉 , <n|m> = <n| I |m> 입니다..그럼 아이덴티티는 어떤 모양인가??? 여기서 complete set 의 의미가 사용됩니다..모든 state에 대해 곱해도 원래 값이 되기 위해서는... I = 시그마 |n'><n'|...이렇게 표현되어야겠죠....여기서 시그마는 무한대까지 합니다..|n'> 들은 서로 직교하며...무한대까지 합입니다..

[00 릴라~!]

아이덴티티가 complete set 이랑 관련이 있어... 보통 completeness relation 또는 closure 이라고도 합니다.....양자역학책 중 사쿠라이책 앞부분에 좀 간단하게 되어 있지만 수식이 있으니 참고하시기 바랍니다...물론 다른 양자책에도 있긴합니다......그런데 complete set 에 관한 내용은 잘 없습니다....교수님이 수업시간에 이야기를 해주신것 이라....

[00 릴라~!]

다음 글은....자세하게 직교성과 독립에 대해 써봐야겠군요.