[질문]환의 연산에 관한 질문입니다.

[정통파]

안녕하세요. 가입한지 얼마 안된 신입학도입니다.

물론 대수학을 공부하고 있고, 여러가지 의문점을 가지고 있습니다.

가장 궁금한 것은 환을 이루는 조건중에서 두가지의 연산에 관한 것인데요,

보통 두가지의 연산을 "덧셈"과 "곱셈"으로 명칭하더군요. 그 연산의 기호도 일반적으로

사용하던 덧셈과 곱셈의 기호를 그대로 따르고 있구요.



이 부분에서 저의 궁금점은 두 연산이 실제 일반적인 덧셈과 곱셈이 아니더라도,

<Q,+,*>에서 첫번째 나오는 연산을 관용적으로 "덧셈", 나머지 연산을 "곱셈"이라고

명명하는 것인지요?



만약에 첫번째 연산이 일반적으로 사용하는 곱셈을 표현하는 연산을 포함하는 환이라면,

첫번째 연산도 그냥 "덧셈"이라고 명명하는 건지요..?




대수학을 공부하는 과정에 연산들의 추상화가 굉장히 힘들면서도 매력적이네요..

읽어 주셔서 감사합니다. 제 질문의 의도를 제대로 표현했는지 걱정되네요..꾸벅

[대수어렵다]

질문에 답을 뭐라고 해드려야할지 모르겠네요. 일단 ring은 덧셈에 관해 정의되야하고 즉 임의의 원소를 꺼내서 덧셈한것이 다시 그 집합에 들어가야하죠. 그리고 결합법칙, 교환법칙이 성립해야하고 덧셈에대한 항등원이 존재해야하고 덧셈에대한 역원이 존재해야하고 곱셈에 관해 결합법칙 분배법칙이 성립해야 합니다. 그러면 ring라고 합니다. 위에 적어주신 유리수는 이것이 다 성립할뿐 아니라 field가 됩니다. field 조건은 아시죠? 설명이 잘되었는지 모르겠네요. 질문의 의도가 이것이 아니었으면 다시 글 남겨주세요. 저도 대수학 배우는 3학년 학생입니다.

[정통파]

우선 답변 주신것 잘 읽었구요, 답글달아 주셔서 너무 감사합니다. 그런데 제 의도는 만약에 일반적인 덧셈에 대한 연산대신 다른 임의의 연산..예를 들면 합집합이나 교집합 등으로 잘 정의된 새로운 두가지의 연산을 만들어서 ring을 이루도록 했을 경우에...보통 그 두가지의 연산을 "덧셈",과 "곱셈"등으로 관용적(?) 인지,,아니면 어떠한 약속때문인지 덧셈과 곱셈으로 통칭해서 부르는 것 같아서, 그러한 경우에 연산의 명칭에 관하여 질문을 한 것입니다. "덧셈"과 "곱셈"이라는 명칭이 저를 괴롭히네요..^^ 아무튼 답변 감사합니다.

[ㅜㅜ..ㅜㅜ..]

환에서 말하는 덧셈은 가환군이에요. 님께서 궁금해 하시는 것; 연산이 덧셈과 곱셈연산이 아니라도 ; 환이라면 두개의 연산이 주어지는데 그중 하나는 가환군을 만족해야 하고 다른하나는 결합법칙, 분배법칙을 만족해야 합니다. 그러니깐 굳이 기호에 연연할 필요는 없습니다. 일반적으로 가환군이 되는 연산을 덧셈군으로 표현하는 이유도 있고, 덧셈과 곱셈연산에서부터 대수학이 추상화된 이유도 있습니다.

[정통파]

답변 감사합니다.^^ 꾸벅