교재에서 질문입니다~

[쪼코우유]

현대대수 이론강의 교재에서 질문입니다~

1. p.42 정의 2.2 에서요

   강의 중에 직합표시를 x 표시로 써도 무관하다고 하셨는데, 그럼 직적과 직합이 같아지는거 아닌가요? (차이가 있는지요?)  

   즉, x 기호가 나왔을때 직적인지 직합인지는 어떻게 구분하나요?

     - 그리고 가환군에서의 연산은 항상 덧셈연산인가요?

2. p.42 예제 2.3 에서요

증명 중에서 빨간색으로 표시된 부분을 부분군 기호로해서 증명을 완성하셨는데

순환부분군이고 위수가 같으니깐 동형기호 써도 되지 않나요?

- 부분군 기호쓴 이유가 문제에서 부분군H가 존재함을 보여야 하기 때문에 그렇게 쓴 것 뿐인가요?

3. p.49 정의 2.7 에서요

'중심화부분군 C(a)' 와 이전에 배운 '중심 Z(G)' 이 비슷하게 생겼는데 차이점이 무엇인가요?

- C(a)는 원소a에 관해서만 교환되는 g들을 모아놓은 것이고, Z(G)는 모든 G의 원소들에 관해서 교환되는 g들을 모아놓은 것

  같은데 맞나요?

- 그리고 위에 말이 맞다면 모든 C(a) 들을 모아놓은 집합이 Z(G) 가 되는건가요?

4. p.49 정리 2.17 에서요

명제 중에 '켤레 원소' 라는 말이 나오는데, 이 용어의 정확한 뜻과 기호표시가 궁금해요~

C(a)의 원소인건지 [a]의 원소인건지 등등....

- 켤레류의 원소, 켤레 원소, ㅣ[a]ㅣ의 의미, ㅣC(a)ㅣ의 의미, [G : C(a)]의 의미 등등 어떤게 무엇을 의미하고

   어떤게 서로 같은 기호와 뜻인지 너무 헷갈리네요ㅜ.ㅜ

5. p.50 정리 2.19 에서요

문제에서는 p^k 가 됨을 보이라고 했는데, 강의하실때 아래 증명처럼 p의 배수가 되서 성립한다고 증명 마무리하셨는데

p의 배수이면 pm 꼴이 되는거 아닌가요?

-p의 배수가 된다는 것이 어떻게 p^k 꼴이 된다는 것을 보인것과 같은건지 모르겠습니다~

6. p.50 따름정리 2.20 에서요

1) 왜 기준을 G = Z(G) 인 것과 아닌 것으로 나누는 건가요?

   - 명제를 보고 이렇게 기준을 잡아서 풀어야 겠다고 생각하는 것이 어려운 것 같아서요.. 그냥 idea 인건가요?

2) G의 위수는 p^n 이면 n이하의 i에 대해 p^i 꼴이 다 부분군이 될 수 있는것 아닌가요?

   - 왜 증명에서 위수 p인 부분군이 존재한다고 했는지요? (왜 위수 p 라고 정하게 됬는지요)

7. p.52 정리 2.25 에서요

강의 마지막에 위수 2~15 까지 동형인 군 정리해주신것 중에서요

위수가 8일때는 D4와, 위수가 12일때는 D6와 동형이 된다고 하셨는데,

이 정리 2.25에 의하면 위수가 8과 12일때는 '홀수인 소수 p에 대하여~Dp와 동형이다' 에 어긋나는 것 아닌가요?

아직 기본을 잡아가는 단계라서 질문이 좀많네요ㅜ.ㅜ 항상 답변 감사합니다!!!

[정현민]

3_2. 그리고 위에 말이 맞다면 모든 C(a) 들을 모아놓은 집합이 Z(G) 가 되는건가요?
--> 아닙니다. 구체적인 예를 들어보시면 금방 알 수 있습니다.

4. a의 켤레원소는 x∈G에 대하여 x{-1}ax을 의미합니다. 나머지 부분은 교재에 정의가 나와 있습니다. 익숙치 않은 용어들이 갑자기 많이 나와서 어려울 수 있는데, 용어를 정확히 숙지 하고 읽어보면 생각보다 어려운 내용은 아닙니다.

5. G의 위수가 p의 거듭제곱꼴이므로 부분군인 중심의 위수 역시 p의 거듭제곱꼴 입니다.

[정현민]

6. 단순군이 아님을 보이는 것이므로 항등원도 전체도 아닌 정규부분군의 존재성을 밝혀야 합니다. 중심이 대표적인 정규부분군이구요. 그래서 중심을 사용하여 접근한 것입니다. 2)에서 가환군의 모든 부분군은 정규부분군이므로 항등원도 전체도 아닌 정규부분군을 선택해 주어야 합니다. 그래서 위수가 1도 전체도 아닌 p를 사용한 것입니다.

7. 정리 2. 25는 2에 홀수인 소수가 곱해져 있는 경우에 쓸 수 있는 정리 입니다. 따라서 8, 12인 경우에는 적용할 수 없습니다.

[정현민]

글로 적는 답변에는 한계가 있습니다. 가능하다면 직접오셔서 질문을 주시는 편이 좋을듯 합니다!

[쪼코우유]

우선 죄송합니다ㅜ.ㅜ 질문이 많이 생겨서 여러 게시글로 올리면 글을 너무 많이 남기게 될 것 같아서 한 번에 올린 것이었는데, 글이 길어지고 질문수가 많아지면 답변 달아주시는게 힘드실거 같다는 생각을 미처 하지 못했습니다ㅜ.ㅜ..
질문이 너무 많아지게 되면 다음부터는 직접 질문하는쪽으로 하도록 하겠습니다!! 답변 정말 감사합니다!!!!

[정현민]

쪼코우유 네 ㅎㅎ 직접 질문주시면 조금 더 상세하고 정확한 답변을 얻을 수 있습니다. 시간도 절약되구요~ 열공하세요! ^^