현대대수 이론 4.3 소아이디얼 (강의록 필기)

[주근깨주스]

Q1. 

교재에 보면 R에서 소아이디얼 P를 정의할 때 "R:가환환"이라고 조건이 있는데 필기 내용을 보면 "R:환"이라고 적혀있습니다. 그러면 소아이디얼을 정의할 때 반드시 R:가환환일 필요는 없는건가요?

Q2. 

참고 내용이 소아이디얼의 정의와 동치가 될 수 있는 이유는 무엇인가요? (특히 (2)번)

아래 사진과 같이 증명해보았는데 저렇게 생각해도 괜찮을까요?

과정중 틀린 내용이 있다면 정정 부탁드립니다

[쿨여누]

(2) 역방향증명에서 IJ⊂P 라는 보장을 할수없습니다.(잘못된 증명입니다)

역방향증명은 "가환환"의 조건을 사용해야합니다. 그리고 "가환환에서의 단항이데알의 성질"을 이용해야합니다.(첨부한 내용의 (3)번 참고)

역방향증명에서 a, b∈R에 대하여 ab∈P 이라하고,
이후에 I=<a>, J=<b>로 놓고 세팅해보세요.
그리고 이때, R은 가환환이므로
I=<a>={ra+na|n∈Z, r∈R}
J=<b>={rb+nb|n∈Z, r∈R} 가 성립합니다.
또한 R의 이데알 IJ는
IJ={i_1•j_1+•••+i_n•j_n|n∈N, i_k∈I, j_k∈J} 입니다.
이를 가지고 IJ⊂P 임을 만족함을 보여서, 주어진 가정을 이용하는 과정으로 증명을 이어나가보시기바랍니다.

[주근깨주스]

1. 알려주신대로 수정해서 다시 증명해보았습니다. 잘못된 부분이 있는지 확인 부탁드립니다.

[주근깨주스]

2.
(1) 정방향증명에서 "(ii) j∉P 인 j∈J 가 존재하고, i*∈P 인 경우" 에서 i*∈I에 대해서는 i*∈P 인 것을 확인한 후,
(i*와 다른) i0∈I에 대해서도 마찬가지로 (i),(ii) 경우로 나누어서 J⊂P 또는 i0∈P인 것을 확인한 후 i0∈P인 경우에 계속해서 i*, i0와 다른 I의 원소들에 대해 같은 과정을 반복하면 J⊂P 또는 I⊂P라고 이끌어낼 수는 없을까요??
혹시 틀렸다면 잘못된 부분 정정 부탁드립니다ㅜ

[쿨여누]

주근깨주스 1. 잘 풀어주셨습니다.
2. 가능합니다. 다만 논리가 복잡하고 헷갈릴수있는부분이있습니다. 그래도 이해를 정확하게 하신것같네요 :)

[주근깨주스]

쿨여누 휴 그렇군요 다행이네요! 꼼꼼히 알려주셔서 감사합니다 :)