문풀 98번 및 원분확대체 관련 질문

[22년초수생]

다음문제에서 원분확대체의 갈로아군과 동형인 Z_n*를 이용해서 풀지않고 갈로아군의 원소를 직접 구해보고 싶었는데요.
1번 동그라미를 보시면 106번 풀이 때 말씀해 주신것처럼 갈로아군의 대응하는 제타들이 16과 서로소인 정수들만 대응이 남는다고 언급해주셨습니다.
그런데 1번 동그라미 윗줄의 빨간 표시와 같이 같이 x^16-1의 모든 16개의 근이 정리에 의해 시그마값이 될 수 있는데 왜 서로소인 정수들의 대응만 남는건지 알 수 있을까요?

[유현미]

ζ=e^(2πi/n)라 하면 n과 서로소인 i에 대하여 irr(ζ,Q)=irr(ζ^i,Q)=Φn(x) 입니다.
그러면 σ_i(ζ)=ζ^i인 σ_i∈G(Q(ζ)/Q)가 존재하고 |G(Q(ζ)/Q)|=deg(Φn(x))=φ(n)이므로 그 원소들이 전부입니다.