유한 가환군의 기본정리에 관한 질문입니다.

[fpdltrh]

1,2월 현대 강의 교재에 57p 내용 관련해서 질문드립니다.

Z9는 유한 가환군이니까 Z3 X Z3 과 동형이지 않을까라고 생각이 들었는데요 동형이 맞나요??         -> 1번 질문

제가 지금 헷갈리는 것이 유한가환군의 기본정리와 이 정리 바로 밑에 있는 보조정리 2.5 입니다.

Zn은 어차피 유한 가환군이니까 서로소라는 전제가 없어도 나눈 것과 동형이 되지 않나요??             -> 2번 질문

질문 : 1,2번 질문이 같은 맥락인 거 같은데 동형의 여부(1번 질문)와 두 정리에 대해 다른게 뭔지 제가 모르고 있는 점(2번 질문)을 지적해주시면 감사하겠습니다.

[쿨여누]

Z3×Z3과 Z9는 둘다 가환군이지만(+연산에대한) 서로 동형이아닙니다. 유한가환군 기본정리를 유심히 살펴보면 p1, p2, •••들이 서로 다른소수라는조건이 없습니다. 즉 p1, p2가 같은 소수일수 있습니다.

간단하게 Z4와 Z2×Z2는 (+연산에대해) 서로 동형인가요?? 이 둘은 서로 동형이아닙니다. Z4는 순환군이지만 Z2×Z2는 순환군이 아닙니다(직접 확인해보세요)
유한 가환군의 기본정리는 예를들어 위수4인 가환군G가 주어졌을때 Z2^2(=Z4) 또는 Z2×Z2로 나타낼수있다는 정리를 의미합니다.
그리고 밑에있는정리에의하면 덧셈군 Z6와 Z2×Z3가 서로동형임을 의미하는정리입니다(그 이유는 2와 3이 서로소 이기때문입니다)

[fpdltrh]

이제 정확히 이해했네요 감사합니다!!
하나만 더 질문이 생겨서 드려요~~
저 보조정리에서 만일 소수 m과 n이 서로소가 아니면 나눈것과 동형이 안된다가 아니라 동형일 될지 안 될지 모르는 거 맞죠??

[쿨여누]

서로소가아니면 동형이 아닙니다.
n, m이 서로소가 아닌 2이상의 자연수라합시다. 그러면 Znm은 덧셈연산에 대해서 위수nm인 순환군입니다. 그런데 Zn×Zm은 위수nm인 군이지만 순환군이 되지않습니다.(이유는 위수가nm인 원소가 존재하지않기때문입니다) 한번 구체적인 예를가지고 생각해보세요.
간단한 예로 Z24는 순환군이고, 즉 위수24인 원소가 존재하지만 Z4×Z6는 계산해보면 위수24인 원소는 존재하지않습니다.