R 유클리드 공간 이 무엇인가요

[똑또]

R에 보통위상을 준 것이 유클리드 공간 맞나요..?
보통위상에서 좌측닫힌 위상? 을 주는데 이게 연속함수라면.. 답은

상수함수라는데 어떻게 풀어야하나요?ㅜㅜ

[유현미]

네, 유클리드 공간은 R에 보통위상이 주어진 것이 맞습니다.

상수함수가 아니라고 가정하면 f(x)<f(y)인 실수 x,y가 존재하고 G=(-∞,f(y)), H=[f(y),∞)는 하한위상공간에서 열린집합입니다.
f:연속이므로 f^(-1)(G), f^(-1)(H)가 R의 분리가 되어 R이 비연결, 모순입니다.