위상수학 연결 성분에 관한 질문입니다

[수학교육과]

문제는 댓글에 남기겠습니다

이 문제 같은 경우엔 f가 연속임을 이용해서 연결의 연속 상은 연속이다를 이용해서 보였는데요

전 그걸 이용하지 않고 바로 t(타오)에서 보이려고 했습니다

근데 어떻게 접근해야 좋은 방법일지 고민해봐도 명확한 해결이 안 돼서 여쭤봐요...

제가 그동안 사용해오던 알고리즘 방식은 이렇습니다

x포함하는 성분을 구하는 문제에서
1. 전체집합이 연결인지 확인
2. 전체집합이 연결이 아닐 경우 A : 연결집합 가정하고 관찰
ㄱ. 한점집합일 경우 연결
ㄴ. 두점 이상일 경우 관찰
이 경우엔 A가 직접 뭔지 일일이 파악하고 경우에 따라 나누는 건 너무 시간이 많이 든다고 생각했습니다.
원래 A에 따라 상대위상을 구한 후에 관찰하는 게 정석이지만 너무 시간이 많이 들어서 전체집합에서 대략적으로 전체집합 X의 분리를 파악한 뒤에
{a}. X-{a}가 열린집합일 경우 a에 따라서 A가 어떤 형태인지 케이스에 따라 나눴습니다

근데 이 문제에선 이 방법으론 안 좋더라구요.. 그래서 수정이 필요할 듯 싶은데 연결성분이 한점집합이 아닐 경우에 어떻게 관찰해야 좋을지 궁금합니다

[유현미]

강위상의 경우 f(X)는 개폐집합이므로 성분은 Y가 아니라 f(X)의 부분집합에서 생각하셔야 합니다. Y가 아니라 f(X)에서 분리를 찾아보시면 좀 더 쉽게 알 수 있을 거라 생각됩니다.

[수학교육과]

강위상의 경우 f(X)는 개폐집합이므로 성분은 Y가 아니라 f(X)의 부분집합에서 생각하셔야 합니다. 라고 하신 부분 조금만 더 자세하게 설명 부탁드려도 될까요?..
1. f(X)가 개집합인 건 알겠는데요 폐집합인 건 어떻게 알 수 있을까요?
2. f(X)가 개폐집합인 것과 성분을 Y가 아닌 f(X)에서 구하는 게 무슨 연관이 있나요?
성분은 x를 포함하는 가장 큰 연결집합으로 알고 있습니다. Y가 연결집합<=>개폐집합이 될 수도 있지 않나요?

[유현미]

수학교육과 강의록 답안 (ⅱ) ②를 참고해보세요.
1 Y-f(X)의 역상이 공집합(열린집합)이므로 Y-f(X)가 열린집합이고 따라서 f(X)는 폐집합입니다.
2 f(X)⊂A⊂Y에 대하여 f(X)∩A와 (Y-f(X))∩A가 A의 분리가 되므로 f(X)보다 큰 연결집합은 존재하지 않습니다.

[수학교육과]

유현미 아하 그렇네요 알려주셔서 감사합니다 ㅎㅎ
약위상일 땐 한번 제가 생각해보고 다시 질문드리겠습니다

[수학교육과]

유현미 선생님 고민해봤는데 약위상에서는 선생님이 말씀하신 것처럼
f(X)가 개폐집합이 아니라서 성분을 구할 때 Y의 부분집합에서 찾는 게 맞나요?
f(X)가 반드시 공역에서 열린집합이라고 보장을 못 하니까 약위상에서 열린집합인지 모른다고 생각합니다...