선대 1차독립예제에서요

[수악]

x 랑 sin x 는 x=0에서 둘다 0이되어서 1차 종속아닌가요? ㅠ 수업에서는 정리를 이용하여 sin x가 x의 스칼라곱이 아니라서 일차독립이라고 하셨습니다.

또한 뒤에서 론스키안을 사용하여 보면 행렬식 값이 xcos -sinx 가 나오는데 실수에서 항등적으로 0이 아니면 일차독립이 되는데 수업에선 x에 1을 대입하셨지만 이것 역시 x=0에서 값이 0이 됩니다

어느부분에서 잘못된것인지 말씀해주세요 ㅠㅠ

[쿨여누]

함수의 관점에서 생각해야합니다.
R(실수)에서의 연속함수들을 모아놓은 벡터공간V(스칼라는 실수)에서 V의 원소인 연속 함수 f(x)=x , g(x)=sinx 를 생각해봅시다. 만약 함수 f와 g가 1차 종속이라하면 c×f(x)=g(x)인 스칼라c가 존재합니다. 즉, R에 포함되는 임의의 x에 대해서 c×x=c×f(x)=g(x)=sinx 가 성립한다는 말입니다. 그러면 x=1에 대해서도 성립하므로 c=c×1=c×f(1)=g(1)=sin1 이고 따라서 c=sin1 입니다. 그리고 x=(파이)에 대해서도 성립하므로 c×(파이)=c×f(파이)=g(파이)=0 이므로 c=0 입니다. 따라서 sin1=c=0 모순
그러므로 f(x)와 g(x)두 벡터는 서로 스칼라배가 되지않습니다. 따라서 1차독립입니다

[쿨여누]

마찬가지로 론스키안을 사용하여 보면 행렬식 값이 xcos -sinx 가 나오는데 여기서 정의역R(실수)에서 항등적으로 0이 아니라는것은 함수 f(x)=xcos-sinx가 영함수가 아니라는것을 의미합니다. 따라서 론스키안의 값 xcos-sinx은 실수에서 항등적으로는 0이 아니기 때문에 일차독립임을 알수있습니다.